空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题 空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题 考点目录 动点问题 边长缺失问题 最值与范围问题 考点一 动点问题 【知识点解析】 类型一 动点所在直线与坐标轴平行或重合 根据动点与哪个坐标轴平行或重合，直接设出动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. 类型二 动点所在直线与坐标轴不平行也不重合 根据动点与所在线段两个端点三点共线，设出动点坐标. 若点是线段上一个动点，，. ①写出. ②利用三点共线，得到. ③利用的坐标得到点坐标，或者利用的坐标直接得到所需向量的坐标. 类型三 平面上的动点 ①若动点所在平面与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，则动点的中有一个为定值，两个为变量，可直接设出. ②若动点所在平面不与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，可直接设为，计算过程中利用该动点与面内另一点连线所在直线的向量与法向量垂直得到的关系. 【例题分析】 1．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 2．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， ， 故， 解得， 故. 故答案为： 4．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. (1)证明：平面； (2)当点为棱的中点时，证明：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2）易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （3）设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量，则，即， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 6．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点是线段上的动点（不包含端点）. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值的最大值； (3)若二面角的正弦值为.求线段的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）在四棱柱中，，而平面，平面， 所以平面. （2）取中点，连接，在梯形中，，得，， 四边形是，，由，得，而平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，在中，， 则， ， 设平面的法向量为，可得，取，得， 设点到平面的距离， 设直线与平面的夹角为，则，即， 而，且平面，所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值. （3）由（2）得，， 由，令，，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 由二面角的正弦值为，则， 则，整理得，而，解得， ，，所以线段的长为. 7．（25-26高三上·贵州·阶段练习）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. (1)当点N为线段AD的中点时，求证：平面； (2)线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【详解】（1）取的中点为，连接，， 因为点为线段的中点，且，所以. 因为，， 由，所以为等腰直角三角形， 所以，同理，， 故在等腰梯形中，. 由，所以. 又，而平面， 故平面. 又平面，所以. 因为，，平面， 故平面. （2）解：设正方形的中心为，分别取的中点为. 设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接，平面，故. 又平面，故平面平面， 且平面平面. 由题意可知四边形为等腰梯形，故， 平面，故平面. 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，则. 又，故，设到底面的距离为， 四边形，为两个全等的等腰梯形，且，故. 又， 故则 . 设 设平面的一个法向量为， 则令， . 设平面的一个法向量为， 则令， . 故， 解得，即存在点，且是线段AD上靠近点A 的四等分点， 使得平面和平面的夹角为． 8．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)存在， 【详解】（1）底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2，． 侧面为菱形，. D为AC的中点，. 点在底面上的投影为AC的中点D，底面. 即为直线与底面所成角， 在中，有，. 即直线与底面所成角为. （2）由（1）知，平面. 平面，故， 又底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为AC的中点，， 又，平面，故平面， 平面，故. （3）由（1）（2）知，平面，， 故以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，，，则. 在中，有， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 则点C到侧面的距离为：. （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则， 由（3）知，平面的一个法向量为， 因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 9．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为．    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【详解】（1）∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为， ∴. （2）取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则， ， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， ∴点到平面的距离. （3）假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 10．（24-25高三上·天津·阶段练习）如图几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点H在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，由图知平面的一个法向量是， 因为，所以，又平面， ∴平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， ，又，∴， ∴平面与平面所成角的大小为； （3）在上，设，，则， ，解得（舍去）， 所以． 考点二 边长缺失问题 【知识点解析】 边长缺失问题 （1）识别 “缺失边长” 的角色（如棱锥的高、特殊四边形的边长、棱柱的侧棱长、球的半径等）. （2）找到它与已知条件的几何联系（如在直角三角形中、在相似三角形中、在面面垂直的交线上等）. （3）用字母表示未知边长，通过方程或几何公式推导其值. （4）可以直接设未知边长的长度，也可以通过设角度，利用三角函数表示边长. 【例题分析】 1．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）2；（ii） 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则. 因为， 故，所以. 由已知，且，平面. 所以平面. （2）（i）设平面的法向量，因为， 所以，所以，令，得； 设平面的法向量， 所以，所以，令，得； 设平面与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以， 解得（取正），所以长为2. （ii）由（1）可知，故是直线与平面所成角的一个平面角， 在直角中，， 又，则与互余， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为    (1)求的长; (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面 （i）求； （ii）求直线PQ到平面的距离. 【答案】(1)2； (2)（i）；（ii） 【详解】（1）如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 记，则，，，，BC中点 因为平面ABC，平面ABC，所以，又， 由且都在平面内，所以平面， 所以为平面的一个法向量，又，， 设为平面的法向量，有，则， 令，所以平面的一个法向量， 所以,，解得. （2）（i）由（1）知，， 设，则，， 因为平面，所以，由（1）知 所以，解得，所以. （ii）因为平面，所以点P到平面的距离，即为直线PQ到平面的距离， ，所以点P到平面的距离为，即直线PQ到平面的距离为    4．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. (1)证明：为PD的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求PA的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接BD交AC于，连接OE， 因为底面ABCD是菱形，所以是BD中点， 又平面，平面PBD，平面平面，所以， 故为PD中点. （2）取的中点，连接，易知，则平面， 在菱形中，易知，由，，则，， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 设，则，，，， 由为的中点，则， 取，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量； 设平面的法向量，则， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设二面角的平面角大小为，则， 即，解得. 5．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)答案见解析 (2)① 2；② 【详解】（1） 如图，连接,由于分别是中点， 则平面,平面, 则平面. （2）①因是矩形，故是的中点，又，所以， 又平面平面，平面平面平面， 故平面，如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 设，所以 故， 设平面的法向量为，又， 所以由，故可取， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以， 解得，所以； ②如图，因为， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面的一个法向量为，又， 所以，故可取， 设平面与平面的夹角为， 所以. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 6．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）如图，连接，在正四棱柱中， 由与平行且相等，得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，是中点， 所以是的中点； （2）以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， ，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以的长为． 7．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在圆锥中，为底面圆的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为. (1)若，平面与平面的交线为，证明：∥； (2)若与平面所成角的正切值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为直径，则， 且，则且， 又因为，则，即. 且，平面，可知， 且平面平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2）方法一：由题意知，， 如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，过与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可知，设， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为， 则，可得， 且，解得， 即， 整理得，解得，即； 方法二：以点为坐标原点，所在直线分别为和轴，在平面内过垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 设，可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设与平面所成角为，则，可得， 且，解得， 即， 整理得，解得， 所以，即. 8．（2025·湖北·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，平面分别为与的重心． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【详解】（1）由题意, 从而， 如图所示，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意平面， 所以以点为坐标原点，分别为轴，因为，所以轴所在直线与直线成角，如图建立空间直角坐标系， 因为四边形为菱形，，设， 则， 所以，因为平面， 所以可取为平面的一个法向量， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得或（舍去）， 所以， 由（1）可知， 由， 得， ， 设平面的法向量分别为， 则，即， 则，即， 令，解得， 故平面的法向量分别为， 故所求为. 考点三 最值与范围问题 【知识点解析】 求解方法 求解思路 单调性法 讨论函数的单调性与定义域，进而得到最值. 二次函数法 讨论二次函数的开口、对称轴与定义域，进而得到最值. 三角函数法 利于三角函数的有界性求最值，注意讨论角度的范围. 基本不等式法 ，注意一正二定三相等. 换元法 通过换元将函数变为常见的函数，换元过程中注意新元的范围 分离常数法 将分子分母含未知数的函数转化为只有分母含参的函数，讨论分母范围进而得到整体范围. 判别式法 将函数视为方程，整理为二次方程，利用判别式非负得到参数的范围. 【例题分析】 1．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以梯形是等腰梯形，因为， 所以， 由余弦定理可知：， ，或舍去， 因为， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以：平面； （2）由（1）可知平面，而平面， 所以，而四边形为矩形， 所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有， 设平面的法向量为， 则有， 设平面与平面所成角为， ； （3）设，即， ， 设平面的法向量为， 则有， 由（2）可知平面的法向量为， 所以， 当时，函数单调递减，此时， 于是有，即，即. 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)直线在平面内，理由见解析 (3) 【详解】（1）因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3）由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 3．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则 (1)若，证明； (2)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥外接球的体积； (3)记平面与平面的夹角为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）已知，，. 在中，根据勾股定理，故. 已知，可得. 所以，根据勾股定理的逆定理，所以，即. 已知，，且，平面. 所以平面，又平面，所以. （2）先确定体积最大条件：三棱锥体积，固定，当平面时，，体积最大.   已知，在平面内，所以平面，则.   再找外接球心：在里，是中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，所以. 又因为，所以到、、、距离相等，是外接球心.   设，，由勾股定理， 半径. 按公式算体积. （3）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则，，为BD中点，则. 因为，设，由，根据两点间距离公式可得，即. 已知，，设平面ABD法向量. 由法向量性质且，得，由得，令，代入得，解得，所以. 已知，，设平面AMD法向量. 由且，得，令，由得，代入得，解得，所以. 根据向量夹角公式，，，，又， 则. 设，对求导得. 当，，递减；当，，递增. 所以时，取最小值，最小值为. 4．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，，则，故， 由四边形为正方形，则，而都在平面内， 所以平面； （2）由平面，为等边三角形，将三棱锥补成正三棱柱， 设的中心为点，的中心为，则的中点为外接球球心， 所以的外接圆半径，， 所以外接球的半径， 因此三棱锥的外接球的表面积； （3）由，以为原点，所在直线为轴，建立如下图示的空间直角坐标系， 则，设，连接， 由平面，则平面平面， 则点到的距离等于，而，所以且， 由，，若异面直线所成角为， 则， 所以 ， 当且仅当时取等号，则， 所以异面直线与所成角的余弦值的最大值. 5．（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1），，所以， 又，， 又，，，. 在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取 ，又平面与平面不重合， 平面平面. （2）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）.    (1)求的长； (2)记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 【答案】(1)； (2)；点与点重合 【详解】（1）设， 依题意，， 则， 由图知：， 则， 故的长为. （2）因动点在线段上（含端点），设， 则， 则 ， 而，， 则， 于是， 因，则，则，故， 因，而余弦函数在单调递减，故当时， 取得最大值，此时点与点重合. 7．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． （2）（ⅰ）如图，连接． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，为中点， 所以点是外接圆的圆心． 因为是等边三角形，是中点，所以外接圆的圆心在上． 又平面平面，所以球的球心即为外接圆的圆心． 因为球的表面积，所以球的半径， 所以，，， 所以三棱锥的体积． （ⅱ）如图，以为原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则． 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设直线与平面所成角为， 则. 令，则， 当时，， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 8．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)的大小为 (3)线AQ与直线所成角的范围为 【详解】（1）证明： 延长交于点Q，连接， 因为，是中点，所以是的中位线，则点是中点， 又因为是圆柱的母线，所以平行且相等， 所以易得相交与点，是的中点，则在中，， 又因因为，在延长线上，所以可得平面，而不在平面内， 所以平面. （2） 由题意可知面，且因为直径，所以则，三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，所以设，则， 可得点坐标为，，，， 则， 由题意平面在平面内，所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则解得，所以， 又因为平面与平面所成夹角的余弦值，解得或（舍）， 且因为，则，即. （3）因为过点的平面与直线所成的角为，又因为过点作平面的垂线（垂足为） 所以为直角三角形，且， 所以点是绕旋转的圆，且半径，圆心距离点的长度为 所以设点且，又因为点为，所以， 而，所以， 又因为，所以， 且因为，所以， 所以直线AQ与直线所成角的范围为. 9．（2025·江西·模拟预测）如图，四棱锥中，四边形是边长为6的正方形，. (1)当四棱锥的体积取得最大值时. （i）求的值； （ii）证明：平面平面； (2)若，求二面角正弦值的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【详解】（1）（i）由四边形是边长为6的正方形，可得， 记与交于点，易知点为的中点， 故由可知， 记点到平面的距离为，则 故，当且仅当平面时等号成立， 故. （ii）显然，由平面，平面，可知， 而平面，平面，，故平面， 而平面，故平面平面. （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，不妨设， 则，，， 由，可知，即，① 由，可知，② ②①得，，且， 得到，故. 设平面，平面的法向量分别为， 则，即，可取， 同理可得，即，可取 记二面角的大小为， 则 ， 而，故， 于是，取等时点坐标为， 综上，二面角正弦值的最小值为. 10．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取的中点，连接, 因为，,且的中点，所以， 又平面，故平面， 由于平面，故, （2）当时，由则， 取的中点，连接 故到四点的距离相等，故为三棱锥外接球的球心， 因为故， 设到平面的距离为,到平面的距离为， 由等体积法可得 而 由于故， 所以从而 故到平面的距离为， （3）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 过点作平面的垂线，垂足为， 设为翻折过程中所旋转的角度，则， 故， ， 则, 设平面的法向量为，则 ， 取则， 设平面的法向量 , 取则， 设平面平面与的夹角为， 故 , , 令，，故， 由于，故 当且仅当即时取等号， 故平面与平面夹角余弦值的最小值为，此时. 课后提升训练 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 2．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习·多选）如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．存在点，使得平面 D．若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 【答案】ABD 【详解】不妨设正方体的棱长为， 对于A选项，， 三棱锥的体积， 点到平面的距离为，所以三棱锥的体积为定值，故A选项正确； 对于B选项，取、中点，连接、、、， 由且，知是平行四边形，所以， 因为平面，平面，平面， 同理可得平面， 因为，、平面，所以平面平面， 又平面，则平面，而Q在平面上， 且平面平面，则点的轨迹为线段，故B选项正确； 对于C选项，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 若平面，则，即存在，使得，则， 解得，故不存在点使得平面，故C选项错误； 对于D选项，平面的一个法向量为，， 若直线与平面所成角的正切值为，则此角的正弦值是， 所以，所以， 因为点为正方形内一动点（含边界）， 所以点是以为圆心，为半径的圆弧（正方形内），即圆心角为的圆弧，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高二上·山东临沂·期末·多选）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 【答案】BCD 【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 设， 对于选项A：因为， 令， 可得，显然该方程无解， 所以不存在点，使得，故A错误； 对于选项B：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若直线平面， 则，可得， 且，则，即， 所以存在点，使得直线∥平面，故B正确； 对于选项C：因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 若平面平面， 则， 显然时，上式成立， 所以存在点，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：设直线与平面的所成角为， 若，则， 可得：， 整理可得， 构建， 因为在内连续不断，且， 可知在内有零点，即在内有根， 所以存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 5．（24-25高二上·江西宜春·期末·多选）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】BC 【详解】对于A，底面正方形的面积不变， 当P在平面上运动时，P到平面的距离不变， 即四棱锥的高为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，因为，所以与所成角即为与所成角， 因为，所以为等边三角形， 显然，当P在端点A，时，所成角最小，最小角为， 当P在中点时，由三线合一可知，⊥，此时所成角最大为， 所以与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故平面的一个法向量为， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，C正确. 对于D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大， 最大值为，其他位置均不合要求， 同理，若点在平面内，此时当与重合时， 直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置不合要求， 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆，其弧长为， 故的轨迹长度为，故D错误； 故选：BC 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，设，则， 设平面BEF的法向量为，则即 令，则，所以， 解得，即． 故答案为：1. 7．（2024·宁夏吴忠·一模）已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是 ，二面角的余弦值是 （用表示）. 【答案】 【详解】 如图所示，由题意当点在位置时，即与共面时，分别有最大值和最小值， 当在时，； 当在时，作于，在中由等面积可得， 所以， 由对称性可得， 所以的取值范围是； 在矩形中，作于交于，作于， 因为，由等面积可得， ，， 翻折后，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则二面角的平面角为，设， ， ， 解得， 故答案为：； 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 由题意可设，，其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 化简得， 显然（否则矛盾）， 从而，解得， ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，. (1)棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； (2)点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点的位置. 【答案】(1)存在， (2)点在点处，与点重合 【详解】（1）如图，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 则，， 由于，故. 设，，则， 则，要使平面， 则，解得， 故存在点，当时，. （2）设，，则， 设平面的一个法向量为， 故，，， ， 令，则. 设平面的一个法向量为， 故，， ， 令，则，设二面角为， ， ， 因为，所以，令， 则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 则，则当时，最大，此时二面角夹角最小， 故点在点处，与点重合. 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【详解】（1）证明：因为， 所以由题在和中，，故， 所以， 所以可得，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又由直三棱柱性质可得，平面， 所以平面. （2）由题意和（1）可以C为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 若，则可设， 则,设， 则， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，， 则，， 取，则， 所以， 解得（舍去）或 ， 所以若，在线段上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时为线段的中点. 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，.    (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）在四棱锥中，，平面，平面， 因此平面，而平面平面，平面， 所以. （2）（i）取中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，，是外接圆圆心， 又四边形是等腰梯形，则点在外接圆上，即点与点重合， 取中点，连接，由为直角三角形，，得为外接圆圆心， 而是四棱锥外接球球心，于是平面，又平面， 所以平面平面.    （ii）由（i）得，，，， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设，则， 由与平面所成角的正弦值为，得， 整理得，而，解得，则， 所以的长为. 12．（25-26高三上·广东·阶段练习）如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. (1)证明：是等边三角形； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）取为的中点，连接，又为母线的中点，则， 由题意，知，故，又，， 又平面，则平面，平面， 所以，即，为的中点，易知，且， 所以是等边三角形； （2）由题意，点到底面的距离，即为的长度，设，则， 如图构建空间直角坐标系，，则， 所以， 若是平面的一个法向量，则， 取，，，则， 令直线与平面所成角为，则， 所以，可得，故， 所以点到底面的距离. 13．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明见解析 (2)点为线段的靠近的三等分点 【详解】（1）因为四边形为梯形，，，， 所以，，则，即 又因为平面，面ABCD，所以. 因为、都在平面内，， 所以面. （2）取中点，连结，，由，知， 由（1）知，共面且不共线，所以， 故直线与所成角为. 由平面，面ABCD，所以，又， 在面内，且，故面， 所以面，面，则， 在中，，，所以， 在，易得， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图所示， 则，，， ，， 设为平面的法向量，则 ，即，取，则. 所以 由题可知，是平面的一个法向量， 所以. 因为，解得或（舍去）. 当点为线段的靠近的三等分点时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 14．（2024·青海·一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． (1)当平面DAF时，求线段的长度； (2)设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为四边形ABCD为边长是4的正方形，所以， 所以，所以，，四边形为平行四边形， 所以， 因为面，且不在平面内， 所以面， 所以当两点重合时，面， 因为面， 可以以为轴，建立一个空间直角坐标系， 所以， 则， . （2）设， ， 因为，则， 由直径对应的圆周角为直角，易得面，所以面的法向量， 设与平面DAF所成角为，则 ， 化简可得，解得或. 15．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        又因为面，所以面面． （2）方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 所以E在线段上．                       过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角                 ．                   取最短时，取最大， 在中，， 为中点时，，此时最短， ．              方法二： 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设．      由， 可得面的一个法向量为，        由， 可得面的一个法向量为．                       于是由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ．                                 因此当时取到最大值．    16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.      (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以. 取的中点，连接、， 因为是棱的中点，所以，且， 因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接. 因为是正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以， 设，其中， 则， 设平面的法向量， 所以， 令，得， 设点到平面距离为，. 当时，； 当时，，则， 当且仅当时等号成立. 综上，点到平面距离的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题 空间向量与立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值与范围问题 考点目录 动点问题 边长缺失问题 最值与范围问题 考点一 动点问题 【知识点解析】 类型一 动点所在直线与坐标轴平行或重合 根据动点与哪个坐标轴平行或重合，直接设出动点坐标. ①若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. ②若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. ③若动点所在直线与轴平行或重合，则动点的坐标可设为，其中为常数，为变量. 类型二 动点所在直线与坐标轴不平行也不重合 根据动点与所在线段两个端点三点共线，设出动点坐标. 若点是线段上一个动点，，. ①写出. ②利用三点共线，得到. ③利用的坐标得到点坐标，或者利用的坐标直接得到所需向量的坐标. 类型三 平面上的动点 ①若动点所在平面与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，则动点的中有一个为定值，两个为变量，可直接设出. ②若动点所在平面不与轴任意两条轴所形成的平面重合或平行，可直接设为，计算过程中利用该动点与面内另一点连线所在直线的向量与法向量垂直得到的关系. 【例题分析】 1．（24-25高二上·广东广州·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为棱上一个点，若，则 . 3．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 4．（24-25高二下·河南·阶段练习）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. (1)证明：平面； (2)当点为棱的中点时，证明：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求的值. 5．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点是线段上的动点（不包含端点）. (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值的最大值； (3)若二面角的正弦值为.求线段的长. 6．（25-26高三上·贵州·阶段练习）如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. (1)当点N为线段AD的中点时，求证：平面； (2)线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2． (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 8．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 9．（24-25高三上·天津·阶段练习）如图几何体中，四边形为正方形，平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)已知点H在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 考点二 边长缺失问题 【知识点解析】 边长缺失问题 （1）识别 “缺失边长” 的角色（如棱锥的高、特殊四边形的边长、棱柱的侧棱长、球的半径等）. （2）找到它与已知条件的几何联系（如在直角三角形中、在相似三角形中、在面面垂直的交线上等）. （3）用字母表示未知边长，通过方程或几何公式推导其值. （4）可以直接设未知边长的长度，也可以通过设角度，利用三角函数表示边长. 【例题分析】 1．（24-25高二上·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的正弦值为， （i）求长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 4．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，在直三棱柱中，，，M是AB的中点，已知平面与平面的夹角为 (1)求的长; (2)若N是的中点，P是与的交点，Q是线段上一点，且平面 （i）求； （ii）求直线PQ到平面的距离. 5．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，点在线段PD上，平面AEC. (1)证明：为PD的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求PA的长. 6．（24-25高二上·四川南充·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，与相交于点，，平面平面，且，点分别是棱的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成的角的正弦值为. ①求的长； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 7．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求的长． 8．（2025·湖南岳阳·二模）如图，在圆锥中，为底面圆的一条直径，为底面圆周上不同于的两点，圆锥母线长为. (1)若，平面与平面的交线为，证明：∥； (2)若与平面所成角的正切值为，求的长. 9．（2025·湖北·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，平面分别为与的重心． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值. 考点三 最值与范围问题 【知识点解析】 求解方法 求解思路 单调性法 讨论函数的单调性与定义域，进而得到最值. 二次函数法 讨论二次函数的开口、对称轴与定义域，进而得到最值. 三角函数法 利于三角函数的有界性求最值，注意讨论角度的范围. 基本不等式法 ，注意一正二定三相等. 换元法 通过换元将函数变为常见的函数，换元过程中注意新元的范围 分离常数法 将分子分母含未知数的函数转化为只有分母含参的函数，讨论分母范围进而得到整体范围. 判别式法 将函数视为方程，整理为二次方程，利用判别式非负得到参数的范围. 【例题分析】 1．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的大小； (3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围. 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． (3)设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 3．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）国家耗资727亿建设的广西平陆运河让南宁成为了“临海城市”，将带动广西经济腾飞．平陆运河作为西南地区陆海新通道的关键工程，在某标段施工中涉及可用于支撑航道照明及水文监测的航道监测塔架的空间结构非常复杂，可抽象为空间四边形，如图所示．在空间四边形中，，，且，，，设为的中点，则 (1)若，证明； (2)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥外接球的体积； (3)记平面与平面的夹角为，求的最小值． 4．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的外接球的表面积； (3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值． 5．（24-25高三下·江苏连云港·阶段练习）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 6．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）. (1)求的长； (2)记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 7．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）如图，三棱锥中，平面平面，是等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，，分别是，的中点，是上一点（不含端点）． (1)证明：平面； (2)若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且球的表面积为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 8．（2025·湖南郴州·三模）如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小； (3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围. 9．（2025·江西·模拟预测）如图，四棱锥中，四边形是边长为6的正方形，. (1)当四棱锥的体积取得最大值时. （i）求的值； （ii）证明：平面平面； (2)若，求二面角正弦值的最小值. 10．（24-25高三下·湖北·开学考试）如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点. (1)证明：； (2)若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上，求球心到平面的距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的最小值. 课后提升训练 1．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·阶段练习·多选）如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．存在点，使得平面 D．若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧 4．（24-25高二上·山东临沂·期末·多选）如图，该几何体是四分之一圆柱体（点，分别是上、下底面圆的圆心），四边形是正方形，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点（含端点），则（   ） A．存在点，使得 B．存在点，使得直线∥平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得直线与平面的所成角的余弦值为 5．（24-25高二上·江西宜春·期末·多选）点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 7．（2024·宁夏吴忠·一模）已知矩形，沿对角线将折起（点在平面外），若，则的取值范围是 ，二面角的余弦值是 （用表示）. 8．（24-25高三上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 9．（24-25高二下·湖南·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，. (1)棱上是否存在点，使平面，若存在，请求出的值； (2)点在线段运动（包括端点，不包括端点），当二面角夹角最小时，试确定点的位置. 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，且. (1)证明：平面. (2)若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 11．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，. (1)设平面平面，证明：； (2)已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 12．（25-26高三上·广东·阶段练习）如图，圆锥的顶点为为底面圆直径，为中点，为母线的中点，点在底面圆周上，且. (1)证明：是等边三角形； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求点到底面的距离. 13．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）如图所示，在梯形中，，，.四边形为矩形，且平面. (1)求证：平面； (2)若直线与所成角的正切值为，点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 14．（2024·青海·一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动． (1)当平面DAF时，求线段的长度； (2)设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值． 15．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点． (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点. (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$