专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-2026届高三数学一轮复习

专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 题型1 角及其表示 1 题型2 扇形的弧长与面积 5 题型3 扇形中的最值问题 9 题型4 三角函数的概念 12 题型5 三角函数值在各象限的符号 14 知识点一 任意角的概念、表示及分类 1.角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的分类 规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，如图(1)； 按顺时针方向旋转形成的角叫作负角，如图(2). 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么如图(3). 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 知识点二 象限角，轴线角及终边相同的角 1.象限角 (1)象限角的概念：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2.轴线角 (1)轴线角的概念：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，这样的角叫作轴线角. (2)轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴上 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴上 终边落在坐标轴上 3.终边相同的角 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 注：(1)当角的始边相同时，若角相等，则其终边一定相同.始边相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. (2)终边相同的角的表示方式不唯一.对于集合和集合，它们是两个相等的集合，由此可以说明，终边相同的角的表示方式不唯一. 知识点三 角度制与弧度制 1.角度制 角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.角度制单位用符号“”表示. 2.弧度制 (1) 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，叫作弧度的角. (2)弧度制: ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图， 的长等于半径， 所对的圆心角就是弧度的角.特别地：在单位圆(半径为的圆)中， 的长等于,就是弧度的角. 3.弧度数 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点四 角度与弧度的换算 1.角度与弧度之间的互化 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 度 弧度 3.用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为.这些角所组成的集合为. 知识点五 弧长公式及扇形面积公式 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 注意事项 是扇形的半径，是圆心角的角度数. 是扇形的半径，是圆心角的弧度数. 知识点六 任意角的三角函数 1.直角坐标系内用点的坐标表示的锐角三角函数 如图，设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点，它与原点的距离.过点作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为. 根据初中学过的三角函数定义，有 2.利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点. (1)把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； (2)把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； (3)把点的纵坐标与横坐标的比值叫作的正切，记作，即 是以角为自变量，以单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 3.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数 如图，设是一个任意角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离 是，那么： (1)比值叫做的正弦，记作即 (2)比值叫做的余弦，记作，即 (3)比值叫做的正切，记作，即 4.三角函数值在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号导出的.因为原点到角的终边上任意一点的距离总是正值，所以根据三角函数的定义知： (1)正弦值的符号与纵坐标的符号一致； (2)余弦值的符号与横坐标的符号一致； (3)正切值的符号由纵坐标与横坐标的符号共同确定，同号为正，异号为负； (4)各三角函数值在每个象限中的符号如图. 拓展1 角的终边所在象限的确定 已知角的终边所在的象限，要确定的终边所在象限的常用方法有以下两种： 一是分类讨论.先利用已知条件写出的范围(用表示)，由此确定的范围，然后对进行分类讨论，从而确定角所在的象限. 二是几何法.先把各象限均分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四、一、二、三、四……则原来是第几象限角，对应的标号所在的区域即为终边所在的区域. 例如，已知是第三象限角，则是第几象限角? 解法如下：如图，先将各象限均分成2等份，再从轴正方向的上方起， 依次将各区域标上一、二、三、四、一、二、三、四，则标有三的区域 即为-的终边所在的区域，故为第二或第四象限角. 拓展2 角的终边的对称与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中的任两个角，当它们的终边具有对称性或垂直时，对应的角就有一定的关系.一般地，有如下结论： 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边关于直线对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 题型1 角及其表示 1．与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 4．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   5．（2025高三�全国�专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 6．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 题型2 扇形的弧长与面积 7．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 9．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 10．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 12．（多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 题型3 扇形中的最值问题 13．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 14．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 15．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 16．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 题型4 三角函数的概念 17．（2024·黑龙江·二模）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河北保定·三模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 20．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ． 21．（多选）（2023�湖南长沙�模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 题型5 三角函数值在各象限的符号 22．（2025·黑龙江·模拟预测）若且同时成立，则是（    ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 23．（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 1．（2015·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． 3．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 4．（2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 8．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 9．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 10．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 基础巩固 一、单选题 1．把化成的形式是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角度与弧度的互化 【分析】先把写成的偶数倍再加上到之间的角的形式，然后化为弧度制即可. 【详解】，故选D. 【点睛】弧度制与角度制的换算. 2．若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上 【答案】A 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】由题意可得，继而表示出，即可判断角的终边所在象限，可得答案. 【详解】由角的终边在轴的负半轴上可知，, 故， 而在第一象限内，故角的终边在第一象限， 故选：A 3．已知角的终边与单位圆交于点，则(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角的三角函数定义即可求得. 【详解】根据三角函数的定义，. 故选：A. 4．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义求某角的三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据余弦函数的定义即可求解. 【详解】解：由题意，， ， 又，显然， ， ， 故选：A 5．如果已知，，那么角的终边在（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第四或第三象限 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【解析】，，则，可得在第二象限，进而得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴在第二象限， ∴． ∴， 当时，在第一象限，当时，在第三象限 那么角的终边在第一或第三象限． 故选：B． 6．（2024�广西来宾�模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据图形分析，利用扇形的圆心角、半径、弧长的关系，即可求解. 【详解】由已知，． 得， 则莱洛三角形的周长是 故选：A． 7．（2025·重庆·模拟预测）高为2的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，以及圆锥的高、底面圆的半径、母线之间的关系列出方程组求出底面半径和弧长，利用圆锥的体积公式进行求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为，体积为，侧面展开图扇形的圆心角为， 则根据题意可知，， 所以，即，解得，， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 8．（2024�内蒙古呼和浩特�一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、余弦定理解三角形、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据扇形的面积及弧长求出母线及底面圆半径，再由余弦定理求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为， ∵扇形的圆心角为 ，解得， ∵扇形的弧长等于它围成的圆锥的底面周长， ， 所以圆锥的轴截面中，，， 由余弦定理可得， 故选：B 9．（2024�山东潍坊�三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，求出劣弧的长，再利用扇形面积公式计算即得． 【详解】由圆与圆外切，得， 又圆，圆与轴分别相切于原点和点，则， 所以劣弧长等于， 所以劣弧对应的扇形面积为. 故选：B 10．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形的半径与半圆的半径之比为    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【解析】扇环形的面积等于扇形的面积减扇形的面积；设半径代入求解. 【详解】设，半圆的半径为，扇形的半径为， 依题意，有，即， 所以，得. 故选：B. 【点睛】本题考查弧度制下扇形面积计算问题. 其解题策思路： (1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解． 二、多选题 11．下面说法正确的有（    ） A．角与角终边相同. B．终边在直线上的角的取值集合可表示为，. C．若角的终边在直线上，则的取值为. D．化成弧度是. 【答案】AD 【知识点】找出终边相同的角、角度化为弧度、利用定义求某角的三角函数值 【解析】利用角的推广和三角函数的定义逐一判断即可. 【详解】角与角相差，终边相同，故A正确 终边在直线上的角的取值集合可表示为，，故B错误 若角的终边在直线上，则的取值为，故C错误 化成弧度是，故D正确 故选：AD 12．下列说法正确的是（    ） A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B．如果，是第一象限的角，且，则 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为 【答案】AD 【知识点】确定已知角所在象限、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、三角函数的定义域 【分析】由象限角的概念判断A；举反例判断B；由扇形弧长、面积公式计算判断C，D作答. 【详解】对于A，是第一象限的角，即，则， 是第四象限的角，A正确； 对于B，令，，是第一象限的角，且，而，B不正确； 对于C，设扇形所在圆半径为r，则有，解得，扇形面积，C不正确； 对于D，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长，D正确. 故选：AD 三、填空题 13．已知角的终边在第四象限，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据角终边所在象限，判断三角函数的正负，可得答案. 【详解】由角的终边在第四象限，则，，， 故. 14．（1）已知角的终边与角重合，则 ． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    【答案】 【知识点】找出终边相同的角、根据图形写出角（范围） 【分析】（1）利用相差角度的角的终边重合即可得出的值； （2）根据图象即可得出角. 【详解】（1）由题意，， ∴ （2）由题意及图可知， 故答案为：；. 四、解答题 15．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【答案】(1)； (2)当时，y的值最大，最大值为． 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】 (1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式； (2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值． 【详解】（1） 根据题意，弧的长度为米，弧的长度米， ， ． （2） 依据题意，可知， 化简得：，， 当，． ∴当时，y的值最大，且最大值为． 能力提升 16．（2025�宁夏陕西�模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据点的坐标可求出圆的半径和，再根据点在圆上移动的距离可求出的大小，然后由结合两角和的余弦公式可求得结果. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点， 所以圆半径， 所以， 因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点， 所以， 所以 . 故选：B 17．（多选）已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ） A． B．α为钝角 C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限 【答案】ACD 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，先算出和，进而逐个选项判断即可 【详解】角θ的终边经过点，，A正确． θ与α的终边关于x轴对称，由题意得α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，，B错误，C正确． 因为tan θ=>0，，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确． 故选：ACD 18．（多选）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（    ）    A．在末，点的坐标为 B．在末，扇形的弧长为 C．在末，点在单位圆上第二次重合 D．面积的最大值为 【答案】BCD 【知识点】弧长的有关计算、单位圆与周期性、诱导公式一、三角形面积公式及其应用 【分析】求出末点和的坐标可判断选项AB;求出末点和的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】在末,点的坐标为，点的坐标为；，扇形的弧长为； 设在末，点在单位圆上第二次重合， 则，故在末，点在单位圆上第二次重合； ,经过s后，可得，面积的可取得最大值. 故选:BCD. 19．（2025高三�全国�专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是（    ） A．该函数的值域为 B．该函数的图象关于原点对称 C．该函数的图象关于直线对称 D．该函数为周期函数，且最小正周期为 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数新定义 【分析】根据函数的定义得，结合正弦型函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】由题意知，， 所以，故A正确； 所以，显然图象不关于原点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 由上所得解析式，易知函数为周期函数，且最小正周期为，故D错误． 故选：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 题型1 角及其表示 1 题型2 扇形的弧长与面积 5 题型3 扇形中的最值问题 9 题型4 三角函数的概念 12 题型5 三角函数值在各象限的符号 14 知识点一 任意角的概念、表示及分类 1.角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. 2.角的分类 规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角，如图(1)； 按顺时针方向旋转形成的角叫作负角，如图(2). 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么如图(3). 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 知识点二 象限角，轴线角及终边相同的角 1.象限角 (1)象限角的概念：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. (2)象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2.轴线角 (1)轴线角的概念：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，这样的角叫作轴线角. (2)轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴上 终边落在轴的非负半轴上 终边落在轴的非正半轴上 终边落在轴上 终边落在坐标轴上 3.终边相同的角 一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 注：(1)当角的始边相同时，若角相等，则其终边一定相同.始边相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍. (2)终边相同的角的表示方式不唯一.对于集合和集合，它们是两个相等的集合，由此可以说明，终边相同的角的表示方式不唯一. 知识点三 角度制与弧度制 1.角度制 角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.角度制单位用符号“”表示. 2.弧度制 (1) 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，叫作弧度的角. (2)弧度制: ①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. ②记法：弧度单位用符号表示，读作弧度. 如图， 的长等于半径， 所对的圆心角就是弧度的角.特别地：在单位圆(半径为的圆)中， 的长等于,就是弧度的角. 3.弧度数 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 知识点四 角度与弧度的换算 1.角度与弧度之间的互化 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 弧度 度 弧度 3.用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角终边相同的角的一般形式为.这些角所组成的集合为. 知识点五 弧长公式及扇形面积公式 角度制 弧度制 弧长公式 扇形面积公式 注意事项 是扇形的半径，是圆心角的角度数. 是扇形的半径，是圆心角的弧度数. 知识点六 任意角的三角函数 1.直角坐标系内用点的坐标表示的锐角三角函数 如图，设锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点，它与原点的距离.过点作轴的垂线，垂足为，则线段的长度为，线段的长度为. 根据初中学过的三角函数定义，有 2.利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆相交于点. (1)把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； (2)把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； (3)把点的纵坐标与横坐标的比值叫作的正切，记作，即 是以角为自变量，以单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数. 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数. 3.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数 如图，设是一个任意角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离 是，那么： (1)比值叫做的正弦，记作即 (2)比值叫做的余弦，记作，即 (3)比值叫做的正切，记作，即 4.三角函数值在各象限的符号 三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内点的坐标的符号导出的.因为原点到角的终边上任意一点的距离总是正值，所以根据三角函数的定义知： (1)正弦值的符号与纵坐标的符号一致； (2)余弦值的符号与横坐标的符号一致； (3)正切值的符号由纵坐标与横坐标的符号共同确定，同号为正，异号为负； (4)各三角函数值在每个象限中的符号如图. 拓展1 角的终边所在象限的确定 已知角的终边所在的象限，要确定的终边所在象限的常用方法有以下两种： 一是分类讨论.先利用已知条件写出的范围(用表示)，由此确定的范围，然后对进行分类讨论，从而确定角所在的象限. 二是几何法.先把各象限均分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四、一、二、三、四……则原来是第几象限角，对应的标号所在的区域即为终边所在的区域. 例如，已知是第三象限角，则是第几象限角? 解法如下：如图，先将各象限均分成2等份，再从轴正方向的上方起， 依次将各区域标上一、二、三、四、一、二、三、四，则标有三的区域 即为-的终边所在的区域，故为第二或第四象限角. 拓展2 角的终边的对称与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中的任两个角，当它们的终边具有对称性或垂直时，对应的角就有一定的关系.一般地，有如下结论： 与的终边关于轴对称 与的终边关于轴对称 与的终边关于原点对称 与的终边关于直线对称 与的终边在一条直线上 与的终边垂直 题型1 角及其表示 1．与角终边相同的最小正角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、弧度的概念 【分析】先把化成弧度制，再写成，的形式， 确定选项. 【详解】因为. 所以与角终边相同的最小正角是. 故选：B 2．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】找出终边相同的角、直线的倾斜角 【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集. 【详解】 根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，； 为第三象限角时，； 综上，角的取值集合是. 故选：D. 3．（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【知识点】确定已知角所在象限、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】由已知可得，然后逐个分析判断即可 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 4．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】分是奇数、偶数两种情况讨论即可求解. 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 5．（2025高三�全国�专题练习）如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围）、用弧度制表示角的集合 【分析】方法一：根据终边在上的角的集合、终边在轴非正半轴上的角的集合可得答案；方法二：根据在内，终边落在阴影部分内的角α的集合可得答案. 【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为 由于终边在轴非正半轴上的角的集合为， 因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为； 方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为， 所以所求角α的集合为. 故答案为：. 6．已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围 . 【答案】 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. 题型2 扇形的弧长与面积 7．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥母线长为，利用侧面面积求得圆锥的母线长，进而可求圆锥的侧面展开图的圆心角. 【详解】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为， 由题意可得，解得， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角为. 故选：D. 8．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算 【分析】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可. 【详解】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为， 所以弧长为 故答案为： 9．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，. 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 10．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】由题意可得曲边三角形的面积为3个扇形面积减去2个三角形的面积． 【详解】因为勒洛三角形ABC的周长为π， 所以每段圆弧长为，解得， 即正三角形的边长为1， 由题意可得， 故选：C 11．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据圆和扇形面积的计算方法，分别求出弓形的面积和半圆的面积，作差可得月牙形面积. 【详解】 如图所示，根据已知和图形知， 设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即， 在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知， 由扇形面积公式可得， 易知以直径的半圆的半径为，即，于是， 故选：A. 12．（多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（   ） （参考数据：） A． B．若，且扇形的半径，则 C．若扇面为“美观扇面”，则 D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为 【答案】AC 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式来求解各选项即可. 【详解】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，， 所以，故A正确： 对于B，因为，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC. 题型3 扇形中的最值问题 13．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 14．已知扇形的面积是，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的大小为（单位：rad）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先表示出扇形的面积得到圆心角与半径的关系，再利用基本不等式求出周长的最小值，进而求出圆心角的度数. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为， 则由题意可得， ∴ ， 当且仅当时 , 即时取等号， ∴当扇形的圆心角为2时 , 扇形的周长取得最小值8. 故选：D. 15．体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【详解】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 16．立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：题意可得，，得是解决本题的关键. 题型4 三角函数的概念 17．（2024·黑龙江·二模）已知角的终边与单位圆的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由单位圆求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据题意可知，利用诱导公式运算求解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点，可知， 所以. 故选：B. 18．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可. 【详解】由题意， 从而. 故选：AD. 19．（2025·河北保定·三模）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式 【分析】根据三角函数的定义可求角的正切，再结合二倍角公式及齐次化可得. 【详解】设为直线上异于原点的点且在直线上，则， 则. 故选：B. 20．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】由题意作图，根据三角函数的定义，利用余弦函数的差角公式，可得答案. 【详解】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线． 由题意可知，，，． 故． 所以点的横坐标为． 故答案为： 21．（多选）（2023�湖南长沙�模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】弧长的有关计算、三角函数线的应用 【分析】根据弧长公式可判断A的正误；由正弦线余弦线的定义即可判断B的正误；当时，可知可判断C的正误；当时成立，故也一定满足，此时可判断D的正误. 【详解】由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有，所以A正确． 由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，是对应∠AOB的正弦值，即，所以是对应∠AOB的余弦值，即，所以B错误． 当时，，，所以C错误． 反过来，当，即时，一定成立，所以D正确． 故选：AD． 题型5 三角函数值在各象限的符号 22．（2025·黑龙江·模拟预测）若且同时成立，则是（    ） A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】利用三角函数值的符号判断所在象限即可. 【详解】因为，， 所以，即是第三象限角，故B正确. 故选：B 23．（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 24．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知角终边上点坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】先确定角的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解. 【详解】因为， 所以角的终边在第二象限， 又因为 ， 且， 所以. 故选：B. 1．（2015·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴线角 【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解 【详解】终边在轴正半轴上的角的集合是 故选：A 2．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 3．（2022·全国甲卷·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 4．（2019·北京·高考真题）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用 【分析】由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值， 此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+ . 故选B. 【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、特殊角的三角函数值 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、直线的斜截式方程及辨析 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. 【详解】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 7．（2020·全国II卷·高考真题）若α为第四象限角，则（    ） A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 【答案】D 【知识点】由三角函数值的正负判断其他三角函数值的正负 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 9．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可） 【知识点】三角函数定义的其他应用 【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解. 【详解】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 10．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）． （Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 . 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得， 所以. （Ⅱ）由角的终边过点得， 由得. 由得， 所以或. 点睛：三角函数求值的两种类型 (1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念 基础巩固 一、单选题 1．把化成的形式是 A． B． C． D． 2．若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上 3．已知角的终边与单位圆交于点，则(　　) A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．如果已知，，那么角的终边在（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．第四或第三象限 6．（2024�广西来宾�模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆·模拟预测）高为2的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024�内蒙古呼和浩特�一模）用一个圆心角为，面积为的扇形（为圆心）围成一个圆锥（点恰好重合），该圆锥顶点为，底面圆的直径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024�山东潍坊�三模）如图，半径为1的圆与轴相切于原点，切点处有一个标志，该圆沿轴向右滚动，当圆滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为)，标志位于点处，圆与轴相切于点，则阴影部分的面积是（    ）    A．2 B．1 C． D． 10．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆中作出两个扇形和，用扇环形（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形的面积为，扇形的面积为，当与的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形的半径与半圆的半径之比为    A． B． C． D． 二、多选题 11．下面说法正确的有（    ） A．角与角终边相同. B．终边在直线上的角的取值集合可表示为，. C．若角的终边在直线上，则的取值为. D．化成弧度是. 12．下列说法正确的是（    ） A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B．如果，是第一象限的角，且，则 C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为 三、填空题 13．已知角的终边在第四象限，则的值为 ． 14．（1）已知角的终边与角重合，则 ． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．    四、解答题 15．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 能力提升 16．（2025�宁夏陕西�模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则（    ） A． B．α为钝角 C． D．点(tan θ，tan α)在第四象限 18．（多选）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（    ） A．在末，点的坐标为 B．在末，扇形的弧长为 C．在末，点在单位圆上第二次重合 D．面积的最大值为 19．（2025高三�全国�专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知任意角以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是（    ） A．该函数的值域为 B．该函数的图象关于原点对称 C．该函数的图象关于直线对称 D．该函数为周期函数，且最小正周期为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$