函数 知识梳理-2026届高三数学一轮复习

第二单元 函数 第1课时 函数的概念及其表示 一、函数的有关概念 1.函数的概念 前提 集合,是两个① 对应关系 对于集合中的② 一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有③ 确定的数和它对应。 名称 称为从集合到集合的一个函数。 记法 ④ 。 2. 构成函数的三要素 定义域 在函数,中，叫作⑤ ，的取值范围叫作函数的⑥ 值域 与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的⑦ 三要素 ⑧ 、⑨ 、⑩ 是构成函数的三要素 3.表示函数的常用方法 解析法 一般情况下，必须注明函数的定义域。 列表法 选取的自变量要有代表性，能反映定义域的特征。 图象法 注意定义域对图象的影响：与轴垂直的直线与函数图象最多有一个公共点。 二、分段函数 定义 若函数在其定义域的不同子集上，因⑪ 而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 相关概念 分段函数的定义域等于各段函数定义域的⑫ ，其值域等于各段函数值域的⑬ ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示同一个函数。 知识 拓展 注意以下几个特殊函数的定义域： （1）分式型函数：分母不为零的实数集合. （2）偶次方根型函数：被开方式非负的实数集合. （3）当为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. （4）若，则定义域为. （5）正切函数的定义域为. 诊断 求函数定义域的类型及解题策略 求具体函数的定义域 （1）求给定函数的定义域：已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，根据函数的解析式列出自变量满足的不等式（组），再求解即可. （2）实际问题：由实际意义及函数解析式存在的意义列出自变量满足的不等式（组），再求解即可 求抽象函数的定义域 若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； 若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域. 求函数解析式的四种方法 配凑法 由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后用替代，即可得的表达式，注意自变量的取值范围. 换元法 已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围，新元的取值范围即原函数的定义域. 待定系数法 若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则可用待定系数法. 方程组法 已知关于与或等函数的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出. 第2课时 函数的单调性与最值 一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当时，都有① ，那么就称函数在区间上单调递增，特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 当时，都有② ，那么就称函数在区间上单调递减，特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调区间的定义 如果函数在区间上③ ，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，④ 叫作的单调区间. 【提醒】函数单调性是函数的局部性质,单调区间为定义域的子集. 二、函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1），都有⑤ ； （2），使得⑥ （1），都有⑦ ； （2），使得⑧ 结论 为最大值 为最小值 知识 拓展 对，且，有或在区间上单调递增（减）. 求函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论 图象法 若函数是以图象形式所给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下降的情况确定函数的单调区间. 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增增增，增-减增，增减，减减减，减-增减，减增”来判断. 复合法 对于复合函数，先将函数分解成和，然后分别讨论（判断）这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断. 求函数最值的五种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值. 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件，然后用基本不等式求出最值. 导数法 先求出导函数，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 利用函数的单调性求参数的解题策略 1.视参数为已知数，根据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，先与已知单调区间比较，再求参数. 2.若函数在上是单调的，则该函数在的任意子集上也是单调的. 3.分段函数的单调性需要分段研究，不仅要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小. 第3课时 函数的奇偶性、周期性与对称性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且① ，那么函数就叫作偶函数. 关于② 对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且③ ，那么函数就叫作奇函数. 关于④ 对称 二、函数的周期性 周期函数 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有⑤ ,那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. 最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个⑥ 的正数，那么这个⑦ 就叫作的最小正周期. 三、函数的对称性 轴对称 若函数满足⑧ ，则函数的图象关于直线对称. 中心对称 若函数满足，则函数的图象关于点 ⑨ 中心对称 . 两个函数图象的对称 函数与的图象关于轴对称；函数与的图象关于轴对称；函数与的图象关于原点对称. 知识 拓展 周期性、对称性的常用结论 函数式满足关系 对称轴 对称中心 周期 ， ， ， ， 函数奇偶性的判断方法 定义法 图象法 性质法 设,的定义域分别是,,则在它们的公共定义域上:奇奇奇,奇×奇偶,偶偶偶,偶×偶偶,奇×偶奇. 函数奇偶性的应用类型及解题策略 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出的解析式或充分利用奇偶性构造关于的方程（组），从而得到的解析式. 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求参数值 利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值.对于在处有定义的奇函数，可考虑列等式求解 . 解不等式 利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致、偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间上求解，涉及偶函数时常用，将问题转化到在上求解. 函数周期性的判定与应用的解题策略 判定 判断函数的周期只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 . 应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意，若是函数的周期，则且也是函数的周期 . 函数对称性问题的解题策略 1.求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心. 2.解决函数对称性有关的问题时，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题. 第4课时 幂函数与二次函数 一、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数① 叫作幂函数，其中是自变量， 为有理数. 2.常见的五种幂函数的图象 3.幂函数的性质 （1）幂函数在上都有定义. （2）当时，幂函数的图象都过点② ，且在上单调递增. （3）当时，幂函数的图象都过点③ ，且在上单调递减. （4）当 为奇数时，为④ ；当 为偶数时，为⑤ . 二、二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 一般式： . 顶点式：，顶点坐标为⑦ . 零点式：，，为的⑧ . 2. 二次函数的图象和性质 函数 图象（抛物线） 定义域 值域 ⑨ 对称轴 顶点坐标 ⑩ 奇偶性 当时是偶函数，当时是非奇非偶函数 单调性 在 上单调递减； 在上单调递增 在 上单调递增； 在上单调递减 1.幂函数的形式是,其中只有一个参数 ,因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.在上,幂函数的指数越大,函数图象越靠近轴（简记为“指大图低”）；在上,幂函数的指数越大,函数图象越远离轴. 3.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式,一般选择规律如下： 识别二次函数图象应学会“三看” 二次函数的单调性与最值问题的解题策略 1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 2.二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论并求解. 不等式恒成立求参数范围的问题，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是直接借助函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题. 第5课时 指数与对数的运算 一、根式的概念及性质 1.概念：式子叫作① ，其中叫作根指数，叫作被开方数. 2.（1）负数没有偶次方根. （2）0的任何次方根都是0，记作. （3）且，使有意义. （4）为大于1的奇数. （5）为大于1的偶数. 二、分数指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义是，，，且. 2.正数的负分数指数幂的意义是，，，且. 3.0的正分数指数幂等于0. 4.0的负分数指数幂没有意义. 三、指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： ； ； ，其中，，，. 四、对数的概念 一般地，如果，且，那么数叫作以为底的对数，记作 ，其中叫作对数的底数，叫作真数. 五、对数的性质、运算性质与换底公式 1.对数的性质：（1） ； （2），且 2.对数的运算性质 如果，且，，，那么 （1）⑪ ； （2）⑫ ； （3）⑬. 3.换底公式：⑭且，，且. 知识 拓展 换底公式的两个重要结论 （1）； （2）; （3）. 其中,,,,且,,,,,. 1.当进行指数幂的运算时，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意：（1）必须同底数幂相乘,指数才能相加；（2）运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 对数式化简与求值的基本原则和常用方法 1.基本原则：对数式的化简与求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. 2.两种常用的方法 （1）“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数； （2）“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. 解决指数、对数运算的实际应用问题的两个步骤 1.理解题意，弄清楚条件和所求之间的关系； 2.运用指数或对数的运算公式、性质进行运算，把题目条件转化为所求. 第6课时 指数函数 夯实 一、指数函数的定义 一般地，函数且叫作指数函数，其中指数是自变量，定义域是. 二、指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 ① 性质 过定点 当时，； 当时， 当时，； 当时，② 在上是增函数 在上是减函数 与的图象关于轴对称 有关指数函数图象问题的解题思路 1.已知函数的解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除. 2.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数与1的大小关系不确定时,应注意分类讨论. 3.有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 4.根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线与图象的交点进行判断. 比较指数幂大小的常用方法 单调性法 因为不同底的指数幂化为同底后可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间值法 不同底、不同指数的指数幂比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，然后得出大小关系 函数图象法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 解指数不等式的常用方法 性质法 解形如的不等式，可借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，那么需要分与两种情况进行讨论 转化法 解形如的不等式，可先将转化为以为底数的指数幂的形式，再借助函数的单调性求解 图象法 解形如的不等式，可利用对应的函数图象求解 指数函数性质的综合应用问题的解题策略 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，在涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质进行分析判断. 第7课时 对数函数 一、对数函数的定义 一般地，函数且叫作对数函数，其中是自变量，定义域是. 二、对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域：① 值域：② 过定点③ 当时，；当时， 当时，；当时， 在上是④ 在上是减函数 三、反函数 一般地，指数函数,且与对数函数,且互为反函数，它们的图象关于直线⑤ 对称,它们的定义域和值域正好互换. 知识 拓展 对数函数的图象与底数大小的比较：如图,作直线,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故. 规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 对数函数图象的识别及应用方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 比较对数函数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，则先化为同底 中间量过渡法 寻找中间数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 对数不等式的常见类型及解题策略 1.解形如的不等式，常借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，那么需要分和两种情况讨论. 2.解形如的不等式，应先将化为以为底的对数式，再借助函数的单调性求解. 3.解形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于0. 在利用对数函数的性质求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 第8课时 函数的图象 夯实基 一、利用描点法作函数图象的步骤 1.确定函数的定义域； 2.化简函数的解析式； 3.讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）； 4.列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线. 二、利用图象变换法作函数的图象 1.平移变换 2.对称变换 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的图象； 的图象的④反函数的图象. 3.伸缩变换 . . 4.翻折变换 的图象⑤的图象； 的图象⑥的图象. 知识 拓展 1.记住几个重要结论 （1）函数与的图象关于直线对称. （2）函数与的图象关于点中心对称. （3）若函数对定义域内任意自变量满足，则函数的图象关于直线对称. （4）函数与函数的图象关于直线对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于而言，如果的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 3.函数图象平移变换八字方针 （1）“左加右减”，要注意加减指的是自变量. （2）“上加下减”，要注意加减指的是函数值. 函数图象的画法 辨别函数图象的策略 1.从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置. 2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势. 3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 4.从函数的周期性，判断图象的循环往复. 5.从函数的特征点，排除不符合要求的图象. 利用函数图象研究函数性质的三个方向 1.从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值. 2.从图象的对称性分析函数的奇偶性. 3.从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 利用函数的图象解不等式的解题策略 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两个函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解. 求解函数图象应用问题的解题流程 拓展教材 深度学习 对勾函数与飘带函数 人教版必修第一册第92页的【探索与发现】中讨论了函数的图象和性质.这里，我们将这一函数一般化，讨论它的图象和性质. 一、对勾函数的图象和性质 形如的函数为对勾函数. 1.图象如图1所示. 2.定义域：. 3.值域：. 4.奇偶性：奇函数. 5.对勾函数与基本不等式：图象在第一、三象限，当时，，当且仅当时取等号，即在时取得最小值，最小值为，由奇函数的性质知，当时，在处取得最大值，最大值为. 6.单调性：单调递增区间为 ，，单调递减区间为，.当，时，的图象如图2所示. 二、飘带函数的图象和性质 形如的函数为飘带函数. 1.当，时， （1）图象如图3所示. （2）定义域：. （3）值域：. （4）奇偶性：奇函数. （5）单调性：单调递增区间为，. 2.当，时， （1）图象如图4所示. （2）定义域：. （3）值域：. （4）奇偶性：奇函数. （5）单调性：单调递减区间为，. 第9课时 函数的零点与方程的解 基础知识·诊断 一、函数的零点与方程的解 1.函数零点的概念 对于一般函数，我们把使① 的实数叫作函数的零点. 2.函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解 函数有② 函数的图象与轴有③ . 3.函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有④ ，那么函数在区间⑤ 内至少有一个零点，即存在，使得⑥ ，这个也就是方程的解. 【提醒】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点. 二、二分法 对于在区间上图象连续不断且⑦ 的函数，通过不断地把它的零点所在区间⑧ ，使所得区间的两个端点逐步逼近⑨ ，进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 确定函数零点所在区间的两种方法 利用函数零点存在定理 首先看函数在区间上的图象是否连续，再看是否有.若有，则函数在区间内必有零点。 数形结合法 通过画函数图象，观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断。 判断函数零点个数的三种方法 直接求零点 令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数零点存在定理 利用该定理不仅要求函数在上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质（如单调性） 数形结合法 画出两个函数的图象，其交点的个数有几个，就有几个不同的零点 由函数零点个数求参数的取值范围的两种方法 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，把求函数零点的个数问题转化为求函数图象的交点个数问题加以解决 由函数零点的范围求参数的三种方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组）确定参数的取值范围 分离参数法 先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决 数形结合法 将函数解析式（方程）适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质求解 求解有关函数零点的和、积问题的三个关键点 1.判断两零点是否“轴对称”，若满足了对称性，则两零点之和为定值. 2.判断两零点之积是否为定值. 3.以数形结合的方法确定零点的取值范围. 第10课时 函数的模型及其应用 一、几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ,为常数， 二次函数模型 ,,为常数， 反比例函数模型 ,为常数且 指数函数模型 ,,为常数，,且 对数函数模型 ,,为常数，,且 幂函数模型 ,,为常数，, “对勾”函数模型 二、三种函数模型的性质 函数 性质 在上的增减性 单调① 单调② 单调③ 增长速度 越来④ 越来⑤ 相对平稳 图象的变化 随的增大，逐渐表现为与⑥ 平行 随的增大，逐渐表现为与⑦ 平行 随的值变化而变化 值的比较 存在一个，当时，有⑧ 【提醒】对于幂函数模型,当时，增长较慢；当时，增长较快. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 1.构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象. 2.验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案. 已知函数模型解决实际问题的要点 1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. 2.根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 在应用函数解决实际问题时需注意的四个步骤 审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型 求解 将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型 求解 求解函数模型，得出数学结论 还原 将数学结论还原为实际问题的答案 2 学科网（北京）股份有限公司 $$