精品解析：广东省深圳市中荟中学2025-2026学年高三上学期初期调研考试数学试卷

广东省深圳市中荟中学2026届高三初期调研考试 数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】求出，又，可得即可求解. 【详解】，，， 所以，又， 所以，则. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算法则以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：A 3. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知数列满足，则（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法，结合等差数列求和公式计算即可． 【详解】因为，则． 故选：B 5. 已知，，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】结合同角三角函数关系，利用数量积的坐标运算化简计算即可. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：A 6. 已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，求得函数的周期，得到，再由，得出为的一条对称轴，利用正弦函数的对称轴结论及求得. 【详解】由题意得图象的相邻两条对称轴间的距离为3， 可得，所以，所以， 又由，可得为的一条对称轴， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：D 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导研究函数单调性，结合不等式判断即可． 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以， 则，所以，所以； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以， 则，所以；综上可得：． 故选：B 8. 甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得抽中6号的概率为，未抽中的概率为，再列出递推式求解即可. 【详解】由题知抽中6号的概率为，未抽中的概率为， 则，解得， ，解得， 所以. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式性质可判断BC选项. 【详解】对于A，若，且，则，即，不知道的符号， 则的符号无法确定，即不一定成立，A错； 对于B，若，则，且，所以，所以，B对； 对于C，若，且，则，所以，C对； 对于D，，若，且，则，， 所以，所以，D错. 故选：BC 10. 李老师用3D打印技术制作了一个北极星金属图标（如图），该图标的外部轮廓曲线在平面直角坐标系中可以用曲线E表示，已知曲线E上的任意一点M到两个坐标轴距离的算术平方根之和为2.则下列结论正确的是（ ） A. 点M到x轴的最大距离为2 B. 曲线E有4条对称轴 C. 曲线E与直线有3个交点 D. 点M到坐标原点的最小距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出曲线方程，结合方程特点可判断A,B选项，联立方程，通过解的情况可判断C选项，先表示出距离表达式，结合导数可求最小距离，进而判断D选项. 【详解】设，由题意可得， 因为，所以，所以点M到x轴的最大距离为，A不正确； 把中的换为，方程不变，所以曲线E关于轴对称， 把中的换为，方程不变，所以曲线E关于轴对称， 把中的与互换，方程不变，所以曲线E关于对称， 把中的换为，换为，方程不变，所以曲线E关于对称， 所以曲线E有4条对称轴，B正确； 因为，所以， 联立，得，移项平方可得， 当时，上式化为，解得； 当时，上式化为，解得； 当时，上式化为，解得； 所以曲线E与直线有3个交点，C正确； 点M到坐标原点的距离为，由图形的对称性可知，只需研究时即可. 由得代入 可得 令，则， 令，则， 因为，所以时，，为减函数， 时，，为增函数， 所以有最小值，即有最小值，D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（ ） A. 平面//平面 B. 当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 三棱锥外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得∥，∥，然后根据面面平行的判定定理证明即可，对于B，延长交延长线于，延长交延长线于，连接交于，延长交延长线于，连接，可判断截面形状，对于C，利用计算判断即可，对于D，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断. 【详解】对于A：因为，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面//平面，所以A正确； 对于B：当时，由，正方体的棱长为4， 得，则为等腰直角三角形， 延长交延长线于，延长交延长线于，连接交于， 延长交延长线于，连接， 因为为等腰直角三角形，所以， 所以和均为等腰直角三角形，所以， 因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，因为平面，平面， 所以∥平面， 因为平面，平面平面，所以∥， 所以∥，所以，所以， 所以和为等腰直角三角形， 所以，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以， 设分别交直线于，则和均为等腰直角三角形， 所以，所以点在线段上，点在线段上， 所以平面截该正方体所得的截面为六边形，所以B错误； 对于C：因为，正方体的棱长为4， 所以， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值，所以C正确； 对于D：以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为为直角三角形，为斜边，所以外接圆的圆心为的中点， 设三棱锥外接球的球心为，则平面， 所以设，则， 因为，所以， 化简整理得， 所以当时，取得最小值，此时三棱锥外接球的半径取得最小值为 ，所以D正确. 故选：ACD 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 13. 若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 14. 使不等式成立的实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，易知，再分，，三种情况进行符号判定即可解不等式. 【详解】由，即， 令，易知， 当时，， 当时，， 当时， ， 又，所以， 则， 综上，不等式的解为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为的内角的对边，且满足，. （1）若，求a； （2）设角A的内角平分线交边BC于点D，若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理和二倍角公式将正弦函数化为相应的边，求解即可； （2）由（1）得，，利用余弦定理求出，进一步利用二倍角公式和两角和的正弦公式求得及，然后利用正弦定理求出的长，再利用三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，由得， 又，所以， 所以，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，，化简得，所以， 所以， 所以， 又，所以， 在中，， 由正弦定理得， 所以的面积为. 16. “读万卷书，行万里路”，小茗同学利用假期时间从所居住的A城市到B，C两个城市旅行，行程为：先从A城市到B城市，再从B城市到C城市，最后从C城市返回A城市.在每两个城市之间都只能选择高铁、飞机、大巴三种交通工具中的一种.为了体验沿途的不同风光，她决定不连续两次乘坐同一种交通工具.已知在每次乘坐高铁后，下一次乘坐飞机的概率为；在每次乘坐飞机后，下一次乘坐高铁的概率为；在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飞机的概率为. （1）若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，求她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率； （2）在小茗乘坐高铁从A城市到B城市的前提下，求她此次旅行乘坐高铁的次数的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知小茗应依次乘坐飞机、大巴、高铁，再利用乘法公式计算概率即可； （2）由题得可取1,2，分别计算对应概率，写出分别并计算期望即可. 【小问1详解】 根据题意若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，要从C城市返回A城市乘坐高铁， 则从B城市到C城市只能乘坐大巴。因此可知小茗应依次乘坐飞机、大巴、高铁， 所以她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率. 【小问2详解】 因为小茗乘坐高铁从A城市到B城市， 所以从B城市到C城市可选乘飞机、大巴， 可知从B到C，再从C到A的交通工具组合有以下四种情况：(飞机,高铁)、(飞机,大巴)、(大巴,高铁)、(大巴,飞机)。” 的所有可能取值为1,2， ， ， 则分布列为： 1 2 期望. 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面平面，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意先证平面得到，接着由平面得到，再根据线面垂直的判定定理得平面即由面面垂直判定定理证得平面平面； （2）由题可证得为等边三角形，再以为原点建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值可得，再根据线面夹角的向量法求解即可. 【小问1详解】 证明：，为中点， ，又平面平面，平面平面， 平面，又平面，， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 所以两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，为的重心， 又平面，平面，所以， 又D，E分别为AC，SC的中点，所以，则， 所以，所以为等边三角形， 故可设， 则， 则， 由题易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知，函数，. （1）若为的极值，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，分别判断函数和的零点个数； （3）当时，证明：不等式组的解集非空. 【答案】（1） （2）函数无零点，函数只有一个零点 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得，即，利用导数的几何意义，结合点斜式方程求解即可； （2）利用导数求解函数单调性，即可结合最值求解， （3）设，结合题设易得，即可求证. 【小问1详解】 由，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，函数取得极小值，极小值为，无极大值， 则，即， 此时，则， 而，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 当时，，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，则恒成立，即函数无零点； 而，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则恒成立，所以函数只有一个零点. 【小问3详解】 设， 由，得，， 所以，且函数在上连续， 则不等式组的解集非空. 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由（2）知， ， 线段的中点， 线段的中点，又， 所以的面积 为定值. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线方程，由双曲线对称性、联立直线与双曲线方程求出点坐标，进而求出. （2）由双曲线方程及斜率坐标公式列式求得，进而求出关系，求出数列通项公式. （3）由表示出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用给定的三角形面积公式计算得证. 【小问1详解】 由在双曲线上，得， 由C的离心率为，得，即，解得， 则双曲线，由数列为C的“数列”，得直线：， 由双曲线与直线的对称性得，则，直线：， 由，解得或，则，， 所以. 【小问2详解】 点，点关于轴对称点在双曲线上， 由，得， 由直线的斜率为，得，即， 则，整理得，解得， 因此，而， 则数列是首项为3，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省深圳市中荟中学2026届高三初期调研考试 数学试题 考生须知： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号. 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列满足，则（ ） A. 100 B. 101 C. 102 D. 103 5. 已知，，，，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 6. 已知函数（，）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为3，且对，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 李老师用3D打印技术制作了一个北极星金属图标（如图），该图标的外部轮廓曲线在平面直角坐标系中可以用曲线E表示，已知曲线E上的任意一点M到两个坐标轴距离的算术平方根之和为2.则下列结论正确的是（ ） A. 点M到x轴的最大距离为2 B. 曲线E有4条对称轴 C. 曲线E与直线有3个交点 D. 点M到坐标原点的最小距离为 11. 在棱长为4的正方体中，分别为棱上的动点，且.则下列结论正确的是（ ） A. 平面//平面 B. 当时，平面截该正方体所得的截面为梯形 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 三棱锥外接球半径的最小值为 非选择题部分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______. 13. 若，则________. 14. 使不等式成立的实数a的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知分别为的内角的对边，且满足，. （1）若，求a； （2）设角A的内角平分线交边BC于点D，若，求的面积. 16. “读万卷书，行万里路”，小茗同学利用假期时间从所居住的A城市到B，C两个城市旅行，行程为：先从A城市到B城市，再从B城市到C城市，最后从C城市返回A城市.在每两个城市之间都只能选择高铁、飞机、大巴三种交通工具中的一种.为了体验沿途的不同风光，她决定不连续两次乘坐同一种交通工具.已知在每次乘坐高铁后，下一次乘坐飞机的概率为；在每次乘坐飞机后，下一次乘坐高铁的概率为；在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飞机的概率为. （1）若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，求她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率； （2）在小茗乘坐高铁从A城市到B城市的前提下，求她此次旅行乘坐高铁的次数的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，平面平面，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知，函数，. （1）若为的极值，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，分别判断函数和的零点个数； （3）当时，证明：不等式组的解集非空. 19. 定义：已知双曲线，过C的上支上一点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为，……，以此类推，过点斜率为k的直线与C的下支交于点，点关于x轴的对称点为.记，则称数列为C的“k数列”. 引理：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点，，若O，A，B三点可以构成三角形，则的面积. 利用上述定义和引理求解下列问题：若为双曲线的上支上一点，且C的离心率为，数列为C的“数列”. （1）求，，； （2）求数列的通项公式； （3）记线段，的中点分别为，证明：的面积为定值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $