2.4用因式分解法求解一元二次方程 教学设计2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.4用因式分解法求解一元二次方程 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是九年级上册第二章一元二次方程第四节，核心内容包括：理解“若ab=0，则a=0或b=0”的因式分解法基本原理，掌握用“提公因式法”“平方差公式”“完全平方公式”分解因式求解一元二次方程的步骤，能根据方程特点选择合适的因式分解方法，对比因式分解法与配方法、公式法的适用场景。 （二）教学内容解析 本节课是一元二次方程解法的“便捷补充”，是代数运算中“因式分解”知识的实际应用，在解法体系中具有独特价值： • 方法本质：核心是“降次”——通过因式分解将二次方程ax2+bx+c=0转化为两个一次方程mx+n=0和px+q=0，利用“乘积为0的性质”求解，本质是“转化思想”在方程中的又一体现（二次→一次）。 • 知识关联：紧密衔接七年级“因式分解”（提公因式、公式法）和前两节“配方法/公式法”，既是对旧知识的巩固应用，也是对解方程方法的丰富，形成“公式法（通用）、因式分解法（便捷）、配方法（基础）”的完整解法体系。 • 应用价值：相比公式法的复杂计算、配方法的多步操作，因式分解法在处理“能轻松分解因式的方程”时更高效，是后续学习“二次函数与x轴交点”“分式方程化简”的重要基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的一元二次方程. 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能说出“若ab=0，则a=0或b=0”的数学依据，理解因式分解法解一元二次方程的核心原理。 2、能根据方程特点（含公因式、平方差、完全平方形式），选择提公因式法、公式法分解因式，独立求解相应的一元二次方程。 3、能对比因式分解法与配方法、公式法的优缺点，根据方程结构选择最优解法（如可分解的选因式分解法，不能分解的选公式法）。 （二）教学目标解析 1、关键是突破“乘积为0的性质”——需明确“只有乘积为0时，才能推出至少一个因式为0”（与“乘积为5时，不能推出因数为5或1”形成对比），避免出现“将(x+1)(x-2)=3直接拆分为x+1=3或x-2=3”的错误。 2、核心是“先整理，再分解”——学生易直接对非标准形式方程（如(x-2)2=4(x-2)）分解，需强化“移项化为右边为0的一般形式（(x-2)2-4(x-2)=0）后再提公因式”的步骤；同时需熟练识别可分解的方程特征（如含相同公因式、左边是平方差/完全平方形式）。 3、需通过实例对比形成认知——如解x2-4x+3=0，因式分解法（拆为(x-1)(x-3)=0）比公式法更快捷；解x2-2x-2=0，因无法分解，只能选公式法，从而理解“因式分解法是‘特殊方程’的便捷解法，非通用解法”。 三、学生学情分析 1、已熟练掌握因式分解的三种基本方法：提公因式法（如2x2-4x=2x(x-2)）、平方差公式（如9x2-1=(3x+1)(3x-1)）、完全平方公式（如x2-6x+9=(x-3)2）； 2、理解“等式基本性质”，能将一元二次方程移项化为“右边为0”的形式（如x2=3x→x2-3x=0）； 3、已学配方法和公式法，对“解方程需降次”有基本认知（如配方法将方程化为平方形式，本质也是降次）。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】学生对于因式分解法解一元二次方程的步骤理解与灵活应用。 四、教学策略分析 1、原理具象化：用“生活实例”类比“乘积为0的性质”——“若两个盒子里的糖果总数为0，说明什么？”（至少一个盒子为空），再对应到数学上“若ab=0，则a=0或b=0”，通过具象场景突破抽象原理；同时对比“若ab=6，则a和b有无数种可能”，强化“右边必须为0”的关键前提。 2. 分类示范：按“因式分解方法”分类设计例题，每类例题突出“整理→分解→求解”三步。 五、教学过程分析 （一）复习引入 问题1：我们已经学过了运用哪些方法解一元二次方程？ 问题2：用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为什么的形式. 问题3：用公式法解一元二次方程应先将方程化为什么形式？ . 问题4：什么是因式分解？因式分解有哪些方法？ 问题5：将下列各式因式分解： （1）x2+7x （2）x2-16 （3）x2-4x+4 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一： 思考：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x. 小颖：设这个数为x. 根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0. ∵a=1,b=-3,c=0,∴b2-4ac=9.∴x=. ∴x1=0,x2=3. ∴这个数是0或3. 小明:设这个数为x. 根据题意,可列方程x2=3x,∴x2-3x=0. x2-3x+=,=. ∴x-=,或x-=-. ∴x1=3,x2=0. ∴这个数是0或3. 小亮:设这个数为x. 根据题意,可列方程x2=3x, ∴x2-3x=0,即x(x-3)=0. ∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3. ∴这个数是0或3. 学生D:设这个数为x. 根据题意,可列方程x2=3x, 两边同时约去x,得x=3, ∴这个数是3. 思考： (1)以上三种解法对吗？为什么？ (2)三种解法分别用的是什么方法？ (3)小亮的解法是我们以前学过的哪种变形？利用这种方法解方程的依据是什么？ (4)你能总结一下什么是因式分解法吗？对于这道题，哪种解法更简便？ 例 解下列方程： （1） （2） 解：（1）原方程可变形为 ， ∴， ∴或， ∴,. （2）原方程可变形为 ， ∴ ， ∴ 或， ∴ ，. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1、解方程:(1)(x+2)(x-4)=0;　 (2)x2-4=0; 　　 (3)4x(2x+1)=3(2x+1). 　 　　 2、一个数平方的两倍等于这个数的7倍,求这个数. 3、用适当的方法解下列方程　 （1）4（x－5）²=16 （2）3 x²＋2x－3=0 （3）（x＋3）(x＋1)=5 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $