4.6 利用相似三角形测高 （教学课件）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高 学习目标 1．通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深对相似三角形的理解和认识． 2．在分组合作活动及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验，增强数学学习的自信心． 【教学目标】 1．通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深对相似三角形的理解和认识． 2．在分组合作活动及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验，增强数学学习的自信心． 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 生活中有许多宏伟的建筑，运用现在的科学技术要测出它们的高度是件很轻而易举的事．但是在古代，没有这样先进的科学技术，人们是怎样测出它们的高度的呢？ 情景引入 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，那么现在我们也学习了相似三角形的知识，我们可不可以运用相似三角形的知识去测量建筑物的高度呢？这节课我们就拿最贴近我们生活的旗杆来研究，怎样测量旗杆的高度呢？ 情景引入 1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度． 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处，测出该同学的影长和此时旗杆的影长，就可以求出旗杆的高度． ∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB． ∴∠AEB=∠CBD． 探究新知 【探究新知】教师点拨：把太阳的光线看成是平行的． 教师讲解． 5 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 ∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE=∠CDB=90°． ∴△ABE∽△CDB． ∴ ，即 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 探究新知 教师讲解． 6 2．利用标杆测量旗杆的高度． 操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆的顶部、标杆的顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部以及与标杆底部的距离即可求出旗杆的高度． 探究新知 教师讲解． 7 如图，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M． ∵EF⊥BD，CD⊥BD， ∴∠EFB=∠CDB=90°． ∴EF∥CD． ∴∠AME=∠ANC=90°． 又∵∠EAM=∠CAN， ∴△AME∽△ANC． ∴ ，即 探究新知 教师讲解． 8 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 又∵AB⊥BD， ∴∠ABF=∠CDF=∠AND=90°， ∴四边形ABDN为矩形． ∴DN=AB，AN=BD． ∴CD=CN+ND=CN+AB． 因此，只要测量出人眼与地面的距离AB，人到旗杆的距离BD，人到标杆的距离BF，标杆的高度EF，就可以求出旗杆CD的高度了． 探究新知 教师讲解． 9 3．利用镜子的反射测量旗杆的高度． 操作方法：选一名学生作为观测者，在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆的顶端，测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度． 探究新知 教师点拨：在光的反射中，入射角=反射角． 10 ∵入射角=反射角， ∴∠AEB=∠CED． ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠B=∠D=90° ∴△ABE∽△CDE． ∴ ∴ 因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人眼到地面的距离AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 探究新知 教师讲解． 设计意图：培养学生学数学的兴趣和用数学的意识． 11 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 典例精析 例 如图所示，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20 m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜子中看到楼顶M点．若AC=1.5 m，小明的眼睛离地面的距离为1.6 m，请你帮助小明计算一下楼的高度（结果精确到0.1 m）． 【典例精析】 师生活动；教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 12 典例精析 解：∵BC⊥CA，MN⊥NA，∴∠BCA=∠MNA=90°． ∵∠BAC=∠MAN，∴△BCA∽△MNA． ∴ ，即 ． ∴MN≈21.3（m）． 答：楼的高度约为21.3 m． 师生共同完成解题过程． 设计意图：让学生运用所学知识，解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力． 13 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 1．如图，身高为1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2 m，CA=0.8 m， 则树的高度为（ ）． A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m C 课堂练习 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题． 14 2．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（ ）． A．增大1.5米 B．减小1.5米 C．增大3.5米 D．减小3.5米 D 课堂练习 设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 15 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 课堂练习 3．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）． A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米 A 16 4．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.4 m，BP=2.1 m，PD=12 m．那么该古城墙CD的高度是_______m． 课堂练习 8 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 课堂练习 5．如图所示，九年级（1）班的课外活动小组利用标杆测量学校的旗杆的高度．已知标杆CD=3 m，标杆与旗杆的水平距离BD=15 m．人的眼睛距地面的高度EF=1.6 m， 人与标杆CD的水平距离DF=2 m．求旗杆的高度． 课堂练习 解：设EH与CD交于点G． ∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD//AB． ∴△CGE∽△AHE． ∴ ，即 ∴ ∴AH=11.9． ∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5（m） 师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题． 设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解． 深入理解时钟问题有助于学生更好地代数化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解恒等式证明的本质有助于更好地量化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三角形垂心的学习，可以培养学生的优化能力。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，箱线图是一个核心概念，学生需要学会实验化。 本节课我们主要学习了三种测量旗杆高度的方法： 1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度； 2．利用标杆测量旗杆的高度； 3．利用镜子的反射测量旗杆的高度． 课堂小结 【课堂小结】 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系． 20 再见 $$