重难点01：整式的加减十大典型问题 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）（ 2024）七年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 整式的加减十大典型问题 题型01：整式的加减及求值 【例1】如果x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是（　　） A．1 B．5 C．6 D． 【分析】先去括号合并同类项，再把x+2y＝1代入计算即可． 【解答】解：∵x+2y＝1， ∴原式＝3x+y﹣2x+y+5 ＝x+2y+5 ＝1+5 ＝6． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 【例2】先化简，再求值：．其中a是绝对值最小的数，b是最大的负整数． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将原式去括号、合并同类项，再把，代入化简后的式子，计算即可． 【详解】解：原式． 由题意，知，， 所以原式． 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是去括号原则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号原则．原式遵循从里到外的顺序，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，合并得到最简结果后，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ． 当，时， 原式． 【例4】先化简，再求值：，其中，且． 【答案】； 【分析】本题考查的知识点是整式的化简求值、去括号、绝对值的意义、有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握整式的化简求值． 先化简整式，再根据绝对值的意义、有理数的混合运算确定、的值，最后代入求值． 【详解】解： ， 其中，且， ，， 当，时， 原式， ， ． 题型02：几个整式的和差问题 【例5】一个多项式加上的和是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：该多项式为： ． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． 【例6】一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】用差加减式即得被减式，再去括号合并同类项即得答案． 【解答】解：根据题意得这个多项式是： ， 答：这个多项式是． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 【例7】一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【答案】． 【分析】用差加减式即得被减式，再去括号合并同类项即得答案． 【解答】解：根据题意得这个多项式是： ， 答：这个多项式是． 【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 题型03：mA-nB型 【例8】先化简，再求值： 已知，，其中．求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的加减—化简求值，利用整式的加减法的法则进行化简，再把相应的值代入运算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 当时， 原式 【例9】已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则． （1）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简后，再代入计算即可； （2）根据题意列出算式，去括号、合并同类项化简即可． 【详解】（1）解：， ； （2） ． 【例10】已知整式，，当时，求： 【答案】186 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算出，再代入，，根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当时，原式． 【例11】已知，． (1)化简：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式加减的运算法则． （1）将与代入，然后去括号、合并同类项进行化简； （2）把代入化简后的式子计算出结果． 【详解】（1）解：已知，将其代入可得： ； （2）解：当时，将值代入可得： ． 【例12】已知A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2． （1）化简：2B﹣A； （2）已知﹣a|x﹣2|b2与aby是同类项，求2B﹣A的值． 【分析】（1）把A与B代入2B﹣A中，去括号合并即可得到结果； （2）利用同类项的定义求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）∵A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2， ∴2B﹣A＝2（2xy﹣3y2+4x2）﹣（3x2+3y2﹣5xy）＝4xy﹣6y2+8x2﹣3x2﹣3y2+5xy＝5x2+9xy﹣9y2； （2）∵﹣a|x﹣2|b2与aby的同类项， ∴|x﹣2|＝1，y＝2， 解得：x＝3或x＝1，y＝2， 当x＝3，y＝2时，原式＝45+54﹣36＝63； 当x＝1，y＝2时，原式＝5+18﹣36＝﹣13． 【点评】此题考查了整式的加减，以及同类项，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型04：整式加减中的不含某项问题 【例13】若多项式不含x的三次项和一次项，求代数式的值． 【答案】37 【分析】本题考查了整式的加减运算、乘方、合并同类项，根据整式的加减运算先对整式化简，求出与，再代入求解，熟练掌握整式的加减运算、乘方、合并同类项法则是解决本题的关键． 【详解】解：原式． ∵多项式不含x的三次项和一次项， ∴，， ∴，， ∴ ． 【例14】代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、代数式求值． （1）利用整式的加减运算法则可得，根据不含一次项和二次项可得，，进而可求解； （2）先化简，再将代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ， 的结果中既不含x的一次项，也不含x的二次项， ，， 解得：，； （2）解： ， 将代入得：原式． 题型05：整式加减中的和某项某字母无关 【例16】若多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值与x，y的取值无关，则m+n的值为 　　 ． 【分析】依题意，先去括号再合并同类项，进一步令x项和y项的系数为0，可得解． 【解答】解：依题意，原式＝2x2﹣my+12﹣nx2﹣3y+6 ＝（2﹣n）x2﹣（m+3）y+18， ∵多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值与x，y的取值无关， ∴2﹣n＝0，m+3＝0， ∴n＝2，m＝﹣3， ∴m+n＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了整式的加减和与某些取值无关的题型，做题的关键是令某项的系数为0． 【例17】若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1）的值与字母x的取值无关（a，b为常数），则代数式a+2b的值为（　　） A．1 B．0 C．2或﹣2 D．﹣1 【分析】直接去括号合并同类项，再利用关于x的系数为0，即可得出答案． 【解答】解：（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1） ＝2x2+ax﹣y+6﹣2bx2+3x+5y+1 ＝2x2﹣2bx2+ax+3x﹣y+5y+6+1 ＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+（﹣1+5）y+（6+1） ＝（2﹣2b）x2+（a+3）x+4y+7， 由条件可知a+3＝0，2﹣2b＝0， 解得：a＝﹣3，b＝1， ∴a+2b＝﹣3+2＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了整式的加减，解一元一次方程，正确理解多项式与x取值无关的意义是解题的关键． 【例18】已知，，且的值与y的值无关，求的值 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据整式的加减法则计算，进而得到含y的项的系数为0，即可求解． 解： ， ∵的值与y的值无关， ∴，， ∴，． 【例19】已知，且的值与x的取值无关．若，则A的值是（　　） A．2 B．3 C．10 D．6 【答案】D 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，利用整式加减的运算法则求出，根据的值与x的取值无关，求出的值，根据，求出的值，进而求出A的值即可． 解： ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得， ∵， ∴， 即． ∴． 故选：D． 题型06：整式加减中的污染/遮住等问题 【例20】小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成3，请你化简； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】(1)； (2)原题中的“■”是4． 【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是a，将a看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是a， 则原式 ， ∵标准答案的结果是常数， ∴， 解得：． 原题中的“■”是4． 【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． 【例21】已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染． (1)若■是，则_______．（用含x的式子表示） (2)当时，的值为18． ①_______． ②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？ 【答案】(1) (2)①2；②3,1 【分析】本题考查了倒数，整式的加减运算，化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，列式，再化简，即可作答． （2）①依题意，列式，再计算，即可作答． ②先得或．再结合，然后代入，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 故答案为：． （2）解：①依题意，，， ∴； ∴， 故答案为：2； ②的倒数等于它本身， 或． 则， 当时，． 当时，． 当时，． 【例22】老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 【答案】(1)不正确． (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； （1）通过移项再相加减求解即可； （2）先求出，结果整理为，根据与无关，则为0求解即可． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 根据题意得， 小明说法不正确，正确的整式； （2），， 的值与x的取值无关， ， 【例23】小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)13 (2)， 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，整式的加减化简求值，熟练掌握整式的加减化简求值是解答本题的关键． （1）在数轴上找出在和之间的数中的最大整数和最小整数，即为a，b的值，再代入计算即得答案； （2）先化简代数式的值，然后利用a，b的值求出m，n的值，再代入化简后的代数式计算即得答案． 【详解】（1）在和之间的数中， 最大的整数是2，则， 最小的整数是，则， ； （2）原式 ， ， ， 原式． 题型07：整式加减中的看错问题 【例24】（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1） ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【例25】在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b+2ab2，嘉淇错将“2A+B”看成“2A﹣B”，所算的错误结果是4a2b+3ab2．请你解决下列问题． （1）求出整式B； （2）求该题的正确计算结果． 【分析】（1）根据2A﹣B的结果，即可计算整式B； （2）直接将整式A、B代入2A+B，利用整式的加减法则即可求解； 【解答】解：（1）2A﹣B＝4a2b+3ab2，A＝3a2b+2ab2， B＝2（3a2b+2ab2）﹣（4a2b+3ab2） ＝6a2b+4ab2﹣4a2b﹣3ab2 ＝2a2b+ab2； （2）2A+B＝2（3a2b+2ab2）+2a2b+ab2 ＝6a2b+4ab2+2a2b+ab2 ＝8a2b+5ab2． 【点评】本题考查了整式的加减以及求代数式的值，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【例26】老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 【分析】（1）由题意得A＝x2+5x﹣6﹣3B，求出A，即可求解； （2）先由C＝x2﹣7x﹣3﹣A求出C，再计算A﹣C，即可求解． 【解答】解：（1）A＝x2+5x﹣6﹣3B ＝x2+5x﹣6﹣3（3x2+3x﹣2） ＝﹣8x2﹣4x， ∴A中被遮挡的二次项系数为﹣8； （2）C＝x2﹣7x﹣3﹣A ＝x2﹣7x﹣3﹣（﹣8x2﹣4x） ＝9x2﹣3x﹣3， ∴A﹣C ＝﹣8x2﹣4x﹣（9x2﹣3x﹣3） ＝﹣17x2﹣x+3． 【点评】本题考查了整式的加减混合运算，多项式项的系数；掌握整式加减运算的步骤是解题的关键 题型08：作差法比较整式的大小 【例27】若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 【分析】因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，所以M﹣N＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a）＝a2+1，因为a2≥0，所以a2+1≥1，所以M﹣N＞0，所以M＞N． 【解答】解：因为M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a， 所以M﹣N ＝﹣2a2+4a+1﹣（﹣3a2+4a） ＝﹣2a2+4a+1+3a2﹣4a ＝a2+1， 因为a2≥0， 所以a2+1≥1， 所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 故选：C． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题额关键是求出M﹣N． 【例28】已知A＝3x2+3x，B＝3x2+2x+3，比较A与B的大小，并说明理由． 【分析】求出B﹣A＝3﹣x，分成x＞3、x＝3、x＜3三种情况讨论A与B的大小关系． 【解答】解：A＝3x2+3x，B＝3x2+2x+3， B﹣A＝3x2+2x+3﹣（3x2+3x） ＝3x2+2x+3﹣3x2﹣3x ＝3﹣x， 当x＞3时，3﹣x＜0，B＜A， 当x＝3时，3﹣x＝0，B＝A， 当x＜3时，3﹣x＞0，B＞A． 答：当x＞3时，3﹣x＜0，B＜A；当x＝3时，3﹣x＝0，B＝A；当x＜3时，3﹣x＞0，B＞A． 【点评】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是求出A与B的差． 【例29】已知关于x的多项式：， (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． （1）把代入，然后去括号合并同类项； （2）用作差法求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ （2）∵ ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【例30】数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用作差法比较M，N的大小； （2）直接列式计算，并将结果化为完全平方的形式进行判断． 本题主要考查了整式的运算．核心素养表现为运算能力和推理能力． 【详解】（1）解： ， 因为，即， 所以， （2）解：因为， 所以 即， 所以不论为何值时，一定大于或等于0， 所以不可能小于0． 题型09：整式加减中的定值问题 【例31】已知M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5当a为任意数值时，5M﹣3N的值为定值，则b的值为　　 ． 【分析】根据整式的加减运算法则计算出5M﹣3N的值，由题意可知5M﹣3N的值与a的值无关，则a的系数为零，由此即可求解． 【解答】解：5M﹣3N ＝5（2ab﹣3a+1）﹣3（a+3ab﹣5） ＝ab﹣18a+20， 由条件可知5M﹣3N的值与a的值无关， ∵ab﹣18a+20＝a（b﹣18）+20， ∴b﹣18＝0， ∴b＝18． 故答案为：18． 【点评】本题主要考查整式的运算，掌握整式的混合运算方法，以及与某未知数无关则该未知数的系数为零的计算方法是解题的关键． 【例32】已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题； 本题先求出的代数式，然后根据取任意数值时，的值一定是定值，求得和的值，进而求解定值； 【详解】解： ， ∵当取任意数值时，的值一定是定值， ∴，， ∴，， 即当，时，取任意数值时，的值一定是定值，定值. 【例33】化简求值：已知，． (1)求； (2)无论x取任何数时，的结果都为定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是按照整式的计算法则计算． （1）将A、B代入到中，去括号、合并同类项计算即可； （2）根据无论x取任何数时，的结果都为定值，得到x项的系数是0，据此求出y． 【详解】（1）解：因为， 所以有： ； （2）解：， 因为无论x取任何数时，的结果都为定值， 所以， 即． 题型10：求图形的周长或面积 【例34】如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，代数式求值： （1）根据列式求解即可； （2）根据，结合（1）所求分别计算出与面积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：当时，， ， ∴． 【例35】如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握三角形面积公式和长方形周长公式，是解题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长， （3）根据三角形的面积公式，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ； （2）解：长方形的宽为：， 长为：， 则长方形的周长为： ． （3）解：当时， ． 【例36】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 一、选择题 1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据加减法互为逆运算，只需要求出的结果即可得到答案． 解： ， ∴这个多项式是， 故选：C． 2．如果，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算进而得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键． 2、 填空题 3.已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先把，代入，进行化简，然后根据的值与x的取值无关，列出关于n的方程，解方程求出n即可． 解：∵，， ∴ ， ∵的值与x的取值无关， ∴， 解得：， 故答案为：． 4.已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 三、解答题 5.已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项法则，是解题的关键． （1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可； （2）先根据去括号，合并同类项得出，然后根据代数式的值与字母的取值无关，得出，，最后代入求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 代数式的值与字母的取值无关， ∴，， 解得：，， ∴． 6.某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算的运算方法是解题关键 ． （1）根据题意可知，再减去即可求出的式子； （2）利用先去括号再合并同类项的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ； （2），， ， 当时， 原式． 7.【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 8.小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则． （1）原式去括号、合并同类项即可得； （2）设“■”是，将看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为，据此得出的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“■”是， 则原式 ， ∵标准答案的结果是常数， ∴， 解得：． 原题中的“■”是． 9.如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 10.学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：设， 由题意得，， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． 11.如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    【答案】正方形的边长为，正方形的边长为 【分析】本题考查了列代数式、整式的混合运算，正方形的面积、长方形的面积，由于正方形分割成四个长方形、、、，所以四个长方形面积的和为正方形的面积，进而求出正方形的边长；再根据，求出，根据，求出，然后利用求出正方形的边长． 【详解】解： 所以，正方形的边长为 所以，正方形的边长为 12.如图，已知正方形的边长为，在正方形的上方挖去一个半圆， (1)用含的代数式表示阴影部分的面积． (2)当时，求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，代数式求值，解题的关键是掌握正方形的面积，半圆的面积． （1）用正方形的面积减去半圆的面积即可； （2）将代入（1）中阴影面积的代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：阴影部分的面积为， （2）解：当时，阴影部分的面积为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 整式的加减十大典型问题 题型01：整式的加减及求值 【例1】如果x+2y＝1，那么代数式（3x+y）﹣（2x﹣y﹣5）的值是（　　） A．1 B．5 C．6 D． 【例2】先化简，再求值：．其中a是绝对值最小的数，b是最大的负整数． 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【例4】先化简，再求值：，其中，且． 题型02：几个整式的和差问题 【例5】一个多项式加上的和是，求这个多项式． 【例6】一个多项式减去的差是，求这个多项式． 【例7】一个多项式减去的差是，求这个多项式． 题型03：mA-nB型 【例8】先化简，再求值： 已知，，其中．求的值． 【例9】已知：． (1)当时， 求的值； (2)计算：； 【例10】已知整式，，当时，求： 【例11】已知，． (1)化简：； (2)已知，，求的值． 【例12】已知A＝3x2+3y2﹣5xy，B＝2xy﹣3y2+4x2． （1）化简：2B﹣A； （2）已知﹣a|x﹣2|b2与aby是同类项，求2B﹣A的值． 题型04：整式加减中的不含某项问题 【例13】若多项式不含x的三次项和一次项，求代数式的值． 【例14】代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 题型05：整式加减中的和某项某字母无关 【例16】若多项式（2x2﹣my+12）﹣（nx2+3y﹣6）的值与x，y的取值无关，则m+n的值为 　　 ． 【例17】若代数式（2x2+ax﹣y+6）﹣（2bx2﹣3x﹣5y﹣1）的值与字母x的取值无关（a，b为常数），则代数式a+2b的值为（　　） A．1 B．0 C．2或﹣2 D．﹣1 【例18】已知，，且的值与y的值无关，求的值 【例19】已知，且的值与x的取值无关．若，则A的值是（　　） A．2 B．3 C．10 D．6 题型06：整式加减中的污染/遮住等问题 【例20】小杰准备完成题目：化简，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成3，请你化简； (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．通过计算说明原题中的“■”是多少？ 【例21】已知两个整式，其中整式B的x的系数■被污染． (1)若■是，则_______．（用含x的式子表示） (2)当时，的值为18． ①_______． ②若a的倒数等于它本身，则的值是多少？ 【例22】老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个整式，形式如下： (1)设所遮住的整式为A，小明认为整式，你认为正确吗？如果正确，请说明理由：如果不正确，请求出正确的整式A： (2)在（1）的条件下．设．若的值与x的取值无关，求m的值 【例23】小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住了数轴和之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型07：整式加减中的看错问题 【例24】（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【例25】在整式的加减练习课中，已知A＝3a2b+2ab2，嘉淇错将“2A+B”看成“2A﹣B”，所算的错误结果是4a2b+3ab2．请你解决下列问题． （1）求出整式B； （2）求该题的正确计算结果． 【例26】老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 题型08：作差法比较整式的大小 【例27】若代数式M＝﹣2a2+4a+1，N＝﹣3a2+4a，则M和N的大小关系是（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．与a的值有关 【例28】已知A＝3x2+3x，B＝3x2+2x+3，比较A与B的大小，并说明理由． 【例29】已知关于x的多项式：， (1)试求的值； (2)试比较M、N的大小． 【例30】数学课上，老师在黑板上书写了、两个整式：；． (1)通过计算的结果，比较与的大小； (2)若，说理：不可能小于0． 题型09：整式加减中的定值问题 【例31】已知M＝2ab﹣3a+1，N＝a+3ab﹣5当a为任意数值时，5M﹣3N的值为定值，则b的值为　　 ． 【例32】已知，，当取任意数值时，的值一定是定值，请求出这个定值. 【例33】化简求值：已知，． (1)求； (2)无论x取任何数时，的结果都为定值，求y的值． 题型10：求图形的周长或面积 【例34】如图，正方形和正方形的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B、C、G在一条直线上，将依次连接D、E、F、B所围成的阴影部分的面积记为． (1)试用含a的代数式表示； (2)当时，比较与面积的大小． 【例35】如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 【例36】如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 一、选择题 1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（   ） A． B． C． D． 2．如果，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 2、 填空题 3.已知代数式，，若的值与的取值无关，则的值为 ． 4.已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 三、解答题 5.已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 6.某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 7.【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 8.小杰准备完成题目“求整式：■与整式：的差”，发现系数“■”印刷不清楚． (1)他把“■”猜成，求与的差； (2)小明说：“你猜错了，我看到该题的标准答案结果是常数”．请通过计算说明原题中的“■”是多少？ 9.如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 10.学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分)，设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 11.如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、，图中阴影部分是正方形．请用含有、的代数式分别表示正方形和正方形的边长．(其中)    12.如图，已知正方形的边长为，在正方形的上方挖去一个半圆， (1)用含的代数式表示阴影部分的面积． (2)当时，求阴影部分的面积．（取3.14） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$