2.1 认识实数 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“认识实数”核心内容，通过剪拼边长为1的小正方形得到大正方形，结合勾股定理引出a²=2，从讨论a是否为整数、分数过渡到无理数，搭建从有理数到实数的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以动手操作和问题链驱动，通过表格逐步逼近探索a的小数表示，培养数学眼光中的几何直观和数学思维中的推理意识。如课堂练习证明等边三角形高为√3不是有理数，用推理强化运算能力，实数与数轴一一对应将抽象概念直观化，学生能主动探究，教师教学逻辑清晰，提升教学效率。

图中是两个边长为1的小正方形剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。 (1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件? (2)a可能是整数吗？ (3)a可能是分数吗？ 1 1 1 1 a 由勾股定理，得a2=12+12=2 。 不能，因为12=1,22=4, 所以1＜a2＜4， 所以1＜a＜2,a不是整数。 不能，因为一个最简分数的平方仍是分数,它不等于2。 满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 (1)如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 1 2 (2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ (3)b是有理数吗？ 正方形的面积是5 b2=22+12=5 因为b不是整数，也不是分数，所以b不是有理数。 尝试•思考 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ （1）如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。 思考•交流 （3）小明将他的探索过程整理如下: 思考•交流 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 可以 不可能 （4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？ b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 思考•交流 事实上，a=1.414 213 56…,b=2.236 067 977…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 1.如图，等边三角形ABC的边长为 2，高为h,h可能是有理数吗？ C A B h 2 解：h不可能是有理数，理由如下： 证明：在等边三角形ABC中，BC边上的高满足“三线合一” ∴BD=CD 在直角三角形ABD中，根据勾股定理： D 一般地，不是有理数的数都是无限不循环小数吗？为了研究这个问题，我们不妨看看有理数的小数表示有什么共同特征。 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 无限不循环小数称为无理数。 除了像上面所述的数a， b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率π=3.141 592 65…也是一个无理数。 再如0.585 885 888 588 885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1），也是无理数。 例 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数? 3.14， ，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)。 解: 3.14, 是有理数。 0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)是无理数。 有理数和无理数统称实数， 即实数可以分为有理数和无理数。 （1）请你把上面例题中的各数填入下面相应的集合内。 尝试•思考 … … 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 正数集合 负数集合 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 尝试•思考 （2）还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 尝试•思考 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义完全一样。 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 前面讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5。 （1）如图,0A=OB，数轴上点A对应a，b中的哪个数？ 思考•交流 a 前面讨论的两个正方形，边长分别是a，b，且满足a2=2，b2=5。 （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？ 思考•交流 解：① 作直角边长为1和2的直角三角形； ② 以原点O为圆心，以、斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 2.比较-3.14与-π的大小。 -3.14＞-π 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若a≠0,则它的倒数如何表示? 解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a|； 1、 事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 无限不循环小数称为无理数。 2、 有理数和无理数统称实数， 即实数可以分为有理数和无理数。 无理数和有理数一样，也有正、负之分。 3、 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 作业一：习题2.1 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$