精品解析： 江苏省连云港市海州区凤凰学校2024-2025学年九年级下学期第一次段考数学试卷

2024-2025学年江苏省连云港市海州区凤凰学校九年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 2023年5月1日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约人，这个数可用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】A、原式＝6x3，不符合题意； B、原式不能合并，不符合题意； C、原式＝x6y3，符合题意； D、原式＝x2+2x+1，不符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义． 5. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角性质，用外角和除以正多边形的一个外角度数即可求解，掌握正多边形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角都相等 又∵该正多边形的一个外角为， ∴这个正多边形的边数为， 故选：． 6. ，，5三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形，，比较24，25，27的大小即可． 【详解】因为，，且24＜25＜27， 所以即， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，化成二次根式比较被开方数的大小是解题的关键． 7. 如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，根据五边形是正五边形，可求出的度数，由，可得的度数，再根据圆周角定理进一步求解即可． 【详解】如图，连接，，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定，再求出直线与轴交于点，通过联立求出纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形的对角线，过作轴，过作轴，直线与轴交于点，如图所示： 根据直线、与双曲线交点的对称性可得四边形是平行四边形， ， 直线与轴交于点， 当时，，即， 与双曲线分别相交于点， 联立，即，则，由，解得， ，即，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】根据题意得≠0， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 10. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11. 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式求解． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式． 12. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为α、β，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，直接代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为α、β， ∴． 故答案为：2． 14. 如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象的性质可得：图中两个阴影面积的和是圆的面积，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于坐标原点对称，是中心对称图形， ∴图中两个阴影面积的和是圆的面积， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的性质和勾股定理，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系． 15. 如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解． 【详解】解：如图，延长到H， 四边形内接于， ， ， ，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度． 16. 已知，在中，，平分．点E、F分别在边、上，，当时，则与的面积之和S为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解直角三角形，把绕点D顺时针旋转得到，再解直角三角形是做题的关键； 过点D作于点M，于点N，可先证明，推出，把绕点D顺时针旋转得到，，过点B作于点H，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】解：过点D作于点M，于点N． ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 把绕点D顺时针旋转得到，， 过点B作于点H， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据非零数的零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负指数幂的运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查实数的综合运算，掌握非零数的零次幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负指数幂的运算法则是解题的关键． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再由不等式组解集求法口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得 原不等式组的解集为． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 20. 有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字、，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为． （1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标； （2）在平面直角坐标系中，求点P在第四象限的概率． 【答案】（1），，，，，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了画画树状图法求概率，象限内点的坐标特征，正确画出树状图是解题关键． （1）先画出树状图，再写出坐标即可； （2）根据树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下： ∴点P的坐标可能为：，，，，，； 【小问2详解】 解：由树状图可知，共有6种等可能出现的结果，其中点P在第四象限的有2种， ∴点P在第四象限的概率为． 21. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图． 学生参加周末活动人数统计表 活动名称 人数 A．课外阅读 40 B．社会实践 48 C．家务劳动 m D．户外运动 n E．其它活动 26 请结合图表中提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）扇形统计图中A对应的圆心角是________度； （3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数． 【答案】（1）24，62 （2）72 （3）估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名 【解析】 【分析】（1）先根据的扇形统计图和统计表信息可求出抽取调查的学生总人数，再根据的扇形统计图可求出的值，然后利用抽取调查的学生总人数减去其他活动的人数可得的值； （2）利用乘以的学生人数所占百分比即可得； （3）利用该校九年级的学生总人数乘以周末参加家务劳动的学生人数所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：抽取调查的学生总人数为（人）， 则（人）， （人）， 故答案为：24，62． 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中对应的圆心角是72度， 故答案为：72． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名． 【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 22. 如图，、、、是直线上的四点，． （1）求证：； （2）点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴． 在和中 ∴． （2）①如图： ② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键． （1）可证得，结合，即可证明结论． （2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点． ②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知． 故答案为：． 23. 某商场销售甲、乙两种商品，其中甲商品进价40元/件，售价50元/件；乙商品进价50元/件，售价80元/件．现商场用12500元购入这两种商品并全部售出，获得总利润4000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ 【答案】该商场购进甲种商品250件，乙种商品50件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设购进甲种商品件，乙种商品件，根据商场用12500元购入这两种商品并全部售出，获得总利润4000元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设该商场购进甲种商品件，乙种商品件， 由题意得：， 解得：， 答：该商场购进甲种商品250件，乙种商品50件． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与双曲线在第一象限的一支交于点C，且． （1）求k的值； （2）设点D是x轴上的一个动点，线段与双曲线交于另一点E，连接，当平分的面积时，直接写出点D的坐标是 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线解析式求出、两点的坐标，由，得出．过点作轴于点，则，得出，根据相似三角形对应边的比相等求出，，进而得出，，然后利用待定系数法求出的值； （2）设点的坐标是．由平分的面积，得出为的中点，根据中点坐标公式得出，，由点在双曲线上，列出方程，求出即可． 【小问1详解】 解：直线与轴、轴分别交于、两点， ，， ，． ， ． 如图，过点作轴于点，则， ， ， ， ，， ， ，， 双曲线过点， ； 【小问2详解】 解：设点的坐标是． 平分的面积， 为的中点， ，， 点在双曲线上， ， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，三角形中线的性质，线段中点坐标公式，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强，难度适中． 25. 如图为某影院的剖面图，水平地面，斜坡的坡度，小丽从A处沿斜坡走了到B处，入座后，眼睛D观察屏幕最高处仰角为，屏幕最低处俯角为． （1）小丽从A处走到B处，沿垂直方向上升了几米？ （2）求屏幕的高度？（，，，，结果精确到） 【答案】（1）上升了5米 （2）屏幕的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角函数的应用，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）作辅助线构造出直角三角形，根据坡度得线段的比例关系，结合勾股定理即可求解； （2）由仰角和俯角的定义确定题目中的相关角度，结合三角函数即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点 设米，则米 在直角中，米 米，即， 米， 米， 故沿垂直方向上升了5米； 【小问2详解】 如图，作，由题意得， 则四边形是矩形， ， ， ， 在直角中，， ， 在直角中， 故屏幕的高度约为米． 26. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； （3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）把代入即可求解； （2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线， 平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解； （3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， 故答案为； 【小问2详解】 解：过点D作DM⊥OA于点M， ∵， ∴二次函数的解析式为 设， ∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，， ∴， 解得m=或m=8（舍去）， 当m=时，， ∴， ∵， ∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为， 把代入得， 解得a=3或a=（舍去）， ∴平移后得抛物线为 ∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降， 在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小， ∴； 【小问3详解】 解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为， ∵顶点为在上， ∴， ∴平移后的抛物线为，顶点为， ∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1， ∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q， ∴， ∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方， ∴∠PCQ与∠CQP都是锐角， ∵是直角三角形， ∴∠CPQ=90°， ∴， ∴化简得， ∴p=1（舍去），或p=3或p=， 当p=3时，， 当p=时，， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 27. 如图1，四边形中，，，，． （1）线段________； （2）如图2，点O是的中点，E、F分别是、上的点，将沿着翻折得，将沿着翻折使与重合，设，． ①求与之间的函数关系； ②当点E从点D运动到点A时，点G走过的路径长为，求的长； ③面积的最小值为________． 【答案】（1）8 （2）①②③16 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由矩形的判定和性质，三角函数即可； （2）①过点作于点，根据由翻折的性质及平行线的性质，先证明三点共线，再在中，根据勾股定理即可得出结果；②点运动的轨迹为一段弧，设弧所对的圆心角为，由弧长公式求出圆心角，根据点与点重合，再过点作交的延长线于点，再三角函数及勾股定理即可得出结果；③根据，当时，有最小值，再求出最小值即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 在中，， ， ，， ， 四边形是矩形， 故答案为：8． 【小问2详解】 解：①过点作于点， 由（1）中结论可得， 由翻折可得， ， 三点共线，， 在中，， ， 化简得： ②， 点运动的轨迹为一段弧，设弧所对的圆心角为，由弧长公式得： ，得，即， ， 如图，点与点重合，过点作交的延长线于点， ， ，， 设， 在等腰中，， 解得： 在中， ③由翻折知： ， 当时，有最小值， ，最小值为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行线的性质，基本图形变换的折叠问题，勾股定理等知识，利用函数的思想方法求最值是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省连云港市海州区凤凰学校九年级（下）第一次段考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 2023年5月1日，南京夫子庙、中山陵、玄武湖、雨花台四大景区共接待游客约人，这个数可用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A. B. C. D. 5. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. ，，5三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正五边形内接于，点F在弧上．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线、与双曲线分别相交于点．若四边形的面积为4，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：______． 11. 若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为_______． 12. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 13. 已知关于x的一元二次方程的两根分别为α、β，则_________． 14. 如图，反比例函数，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为________． 15. 如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________． 16. 已知，在中，，平分．点E、F分别在边、上，，当时，则与的面积之和S为_________． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 化简： 20. 有甲乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字、，乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字0、、，小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点P坐标为． （1）请用表格或树状图列出点P所有可能的坐标； （2）在平面直角坐标系中，求点P在第四象限的概率． 21. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图． 学生参加周末活动人数统计表 活动名称 人数 A．课外阅读 40 B．社会实践 48 C．家务劳动 m D．户外运动 n E．其它活动 26 请结合图表中提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）扇形统计图中A对应的圆心角是________度； （3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数． 22. 如图，、、、是直线上的四点，． （1）求证：； （2）点、分别是、的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是________． 23. 某商场销售甲、乙两种商品，其中甲商品进价40元/件，售价50元/件；乙商品进价50元/件，售价80元/件．现商场用12500元购入这两种商品并全部售出，获得总利润4000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线，与双曲线在第一象限的一支交于点C，且． （1）求k的值； （2）设点D是x轴上的一个动点，线段与双曲线交于另一点E，连接，当平分的面积时，直接写出点D的坐标是 . 25. 如图为某影院的剖面图，水平地面，斜坡的坡度，小丽从A处沿斜坡走了到B处，入座后，眼睛D观察屏幕最高处仰角为，屏幕最低处俯角为． （1）小丽从A处走到B处，沿垂直方向上升了几米？ （2）求屏幕的高度？（，，，，结果精确到） 26. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C． （1）_______； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； （3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标． 27. 如图1，四边形中，，，，． （1）线段________； （2）如图2，点O是的中点，E、F分别是、上的点，将沿着翻折得，将沿着翻折使与重合，设，． ①求与之间的函数关系； ②当点E从点D运动到点A时，点G走过的路径长为，求的长； ③面积的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $