精品解析：广东省2026届高三上学期综合能力测试一数学试题

广东省2026届高三年级综合能力测试一 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 故选：C. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以. 故选：B 3. 已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的定义即可得，进而推出且，反之不成立，即可判断. 【详解】数列为等比数列设其公比为，则， 若，即数列不一定为等比数列， 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 又，所以，所以， 所以， 故选：D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有， 所以， 故选：B. 6. 某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 【答案】B 【解析】 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设，由几何关系得，再根据双曲线定义知，联立即可求出离心率. 【详解】由题意设， 因为为线段的中点，所以， 又，所以，则， 根据双曲线定义知，所以， 解得，故双曲线的离心率为. 故选：C 8. 一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先求的分布列，再求的期望. 【详解】由题意，的值可以为：6,7,9 表示取出的两个球上的数字为2,4，相当于将三个球排序，2,4排在前两位，所以； 表示取出的两个球上的数字为3,4，相当于将三个球排序，3,4排在前两位，所以； 表示三个球全部取出，相当于将三个球排序，2，3排在前两位，所以. 所以的分布列为： 6 7 9 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 以为直径的圆经过点 C. 点的坐标为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将椭圆方程转化为标准方程，求出的值，再根据椭圆定义、三角形面积公式、圆的标准方程、直线斜率公式逐一分析选项即可. 【详解】已知椭圆的方程为，两边同时除以2可得， 由此，，，，，，，； 对于A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因此的周长为，选项A正确； 对于B，设点的坐标为， 则， 将代入椭圆方程得，，，， 解得或（舍），因此点的坐标为， 两点的中点为原点，可得以为直径的圆的方程为， 将的坐标代入圆的方程的左边得， 因此以为直径的圆不经过点，选项B错误； 对于C，由选项B的分析过程可得点的坐标为，选项C正确； 对于D，点的坐标为，点的坐标为， 则直线的斜率为，选项D正确. 故选：ACD. 10. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 【答案】AC 【解析】 【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明线面垂直，再得到面面垂直D.，求出 【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴ 又，且，，在平面内，在平面内， ∴平面平面，又平面， 平面，A正确 对于B，三棱锥的体积， 易知为正三角形，且边长为，故， ，到平面的距离满足：， 解得：，B错误； 对于C， 连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形， 易知， ，，， ， 为等边三角形，且为中点， ，又，且都在平面内， 平面，又在平面内， ∴平面平面，C正确； 对于D，易知，又，与全等， ，为等腰三角形， ，， ∴棱锥的体积，D错误 故选：AC 11. 记为数列的前项和，若，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 存在数列，使得 D. 存在数列，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求，再利用求，根据逐项验证即可判断. 【详解】由，当时，，当时，， 所以或， 对于A：当时，的最小值为，故A正确； 对于B：当时，， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：由题意有为奇数，当时，，， 由与的奇偶性相同，同理与的奇偶性相同，又与的奇偶性相反， 所以与的奇偶性也相反，所以为奇数，所以数列中每项均为奇数， 所以为5个奇数之和必为奇数不等于0， 所以不存在数列，使得，故C错误； 对于D：存在数列，， 且，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正切函数的周期性可求答案. 【详解】由正切函数的图象的特点，直线与函数的图象的相邻两个交点的距离，即为最小正周期； 因为最小正周期是，所以直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是. 故答案为： 13. 已知向量满足，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解. 【详解】如图： 设，，作平行四边形，则，， 因为，即，所以平行四边形为矩形. 又，所以. 所以. 故答案为： 14. 已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】令，即，得与的函数图像有4个交点，先求时，与相切的切线方程，再求时，与相切的切线方程，最后利用导数研究单调性作出的函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】由题意有：恰有4个零点，令，即，所以与的函数图像有4个交点， 当时，设与相切于点， 即，解得， 即与相切， 当时，，所以， 令，解得，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 设与相切与点， 所以， 所以切线方程为：，又过点， 所以，解得，即， 所以与相切， 作出的函数图像： 由图可知：当时，与有3个交点， 当时，与有两个交点， 所以与的函数图像有4个交点，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，结合同角三角函数平方关系即可求解； （2）先求，由正弦定理得，进而得，再由平方关系求，利用两角和的正弦公式求，进而求解. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 因为，所以， 两边取平方，可得， 解得，因，则得； 【小问2详解】 由（1）可得. 由和正弦定理，可得，， 又，故为锐角，则. 所以. 因，则. 边上的高为. 16. 如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点. （1）证明：； （2）若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，因为是线段的中点，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的概念可得线线垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取中点，连接.因为为正三角形，为中点，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. 取中点，则为外接圆的圆心. 又因为在同一个球面上，所以平面. 因为为正方形，为正三角形，，所以， 设，则，. 因为，所以， 解得，所以. . 平面的法向量为. 因为. 所以直线与平面所成角正弦值为. 17. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. （1）若，，求接收的信号为0的概率； （2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）当时，选用三次传输方案；当时，选用哪种传输方案都可以；当时，选用单次传输方案. 理由如下： 记三次传输，发送1，依次收到0，1，1为，依次收到1，0，1为， 依次收到1，1，0为，依次收到1，1，1为，且事件相互互斥. 对于三次传输，记发送1，译码为1为事件， 记单次传输发送1，译码为1为事件，则. 因为，所以. 当时，有，即，此时选用三次传输方案. 当时，有，即，选用哪种传输方案都可以. 当时，有，即，此时选用单次传输方案. 【解析】 【分析】（1）先求条件概率，结合全概率公式可得答案； （2）（i）利用独立事件的概率公式可得答案；（ii）分别表示出两种方式的概率，作差比较，分情况讨论可得答案. 【小问1详解】 设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”， 则“发送的信号为1”，“接收的信号为1”. 由题意可得. 【小问2详解】 （i）三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1， 此时依次收到1，0，1的概率为 （ii）略 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）若有两个零点，且，证明：. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 证明：当时，有， 原不等式等价于，即要证明. 设，则，此时在单调递增， 于是，不等式成立. （3） 证明：构造函数. 因为，所以，于是， 所以 于是，所以在单调递减. 因为，所以，所以， 即. 因为是的零点，所以， 即，所以. 由（1）可知在单调递增，所以，于是. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再利用导数可求单调区间； （2）先化简所证不等式，构造函数，利用导数求最值，进而可证； （3）构造函数，利用导数求解函数的最值，结合单调性和等量关系可证结论. 【小问1详解】 定义域为. 由可得或，由可得或. 所以的单调增区间为，单调减区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知曲线. （1）证明：曲线关于轴对称； （2）求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值. 【答案】（1） 设是曲线上任意一点，则有， 容易知道，即点关于轴的对称点也在曲线上. 所以曲线关于轴对称. （2）3；横坐标分别为 （3）5 【解析】 【分析】（1）设是曲线上任意一点，将代入方程化简即可得证； （2）联立直线方程和曲线方程，消去，然后因式分解即可得解； （3）联立方程消去，根据的关系可得，用表示出，利用换元法结合导数求出的最大值即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 联立，消去，可得， 即，即 因为是方程的根，所以方程有因式， 所以. 于是或，解得或. 所以交点个数为3，横坐标分别为. 【小问3详解】 联立，消去，可得， 即. 于是或，方程的两个根的乘积是， 由此可知，，，且，则 又因为，所以. 因为是方程的正根，所以. 设，则，于是. 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以. 所以的最小值为5. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2026届高三年级综合能力测试一 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是无穷数列，设甲：存在常数，使得且，乙：数列为等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（ ） A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为是双曲线上一点，为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 一个盒子里有3个相同的球，分别标有数字2，3，4，若每次不放回地从盒子中随机取出一个球，直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为，则（ ） A. B. 7 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 设为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点且在第一象限.若的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 以为直径的圆经过点 C. 点的坐标为 D. 直线的斜率为 10. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为 C. 平面平面 D. 三棱锥的体积为3 11. 记为数列的前项和，若，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 存在数列，使得 D. 存在数列，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是_____. 13. 已知向量满足，则_____. 14. 已知函数.若恰有4个零点，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）设，求边上的高. 16. 如图，四边形为正方形，为正三角形，平面平面是线段的中点. （1）证明：； （2）若，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的. （1）若，，求接收的信号为0的概率； （2）现有两种传输方案：单次传输和三次传输，单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. （i）若采用三次传输方案，若发送1，求依次收到1，0，1的概率； （ii）若发送的信号为1，译码为1，则选用单次传输和三次传输哪种传输方案更好，请说明理由. 18. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）若有两个零点，且，证明：. 19. 已知曲线. （1）证明：曲线关于轴对称； （2）求直线与曲线的交点个数，并求出所有交点的横坐标； （3）若直线与曲线有三个不同的交点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $