1.2空间向量基本定理(第一课时)课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2 空间向量 基本定理(1) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 平面向量基本定理 回顾 什么是平面向量基本定理？它的作用是什么？ 复习 若 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使＝＋． 若 , 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 问题1 根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 ，来表示. 类似地，空间中任意一个向量能否通过有限个向量线性表示？至少需要几个呢？ 共线 ⇒ 一个向量 共面 ⇒ 两个向量 三个？ 三个向量共面 三个向量不共面 追问2 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ ？ 追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？ 至少需要三个向量 如图，设为空间中三个两两垂直的向量， 对于任意一个空间向量=设为在 所确定的平面α上的投影向量， 则=+ 先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况讨论. 探究 猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示. P Q O α P Q O α x y z 由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序数对， 使得. 从而. 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 我们称分别为向量在上的分向量. 追问1 你能证明唯一性吗？ 证明：(反证法) 如果存在另一组有序实数组， 使得， 则， 即， 不妨设，则，所以共面，这与已知矛盾， 则，因此， 又不共线，则，. P Q O α x y z O P α Q 问题2 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？ x y z 空间向量基本定理 问题3 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 授新 一、 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. ●叫做基向量； ●叫做空间向量的一个基底； ●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把向量进行正交分解. 不共面说明它们为非零向量 基底不唯一 O 8 向量共线充要条件 平面向量基本定理 空间向量基本定理 向量 ( ≠ 0)与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 ＝λ. 如果1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使 ＝λ11＋λ22． 如果三个向量， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 ＝x＋y＋z． 一维 二维 三维 {} {1，2} { ，，} 总结 例题 O A B C M N P . . 例1 如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 Q 定基底 ↓ 将未知化归为已知 练习 书本P12 1、已知{，，}是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量=构成空间的另一个基底？ 解：已知{，，}是空间的一个基底， 所以不共面， 由共面向量的充要条件可知， 向量=均与共面， 所以应该选择. 11 练习 书本P12 2、已知，，，为空间的四个点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点，，，是否共面? 解：因为，，不构成空间的一个基底， 所以，，共面， 又有公共点，所以点，，，共面. 12 3、如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C 的中心， 且＝，＝，＝． (1)是否构成空间的一个基底？ (2)如果构成空间的一个基底， 那么用它表示下列向量：， ，，． 练习 书本P12 A C O B C′ O′ B′ A′ G 解：(2)； 是 2、若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( ) A. +，， B. ，+， C. +，， D. +，++， 习题1.2 书本P15 若三个向量中存在一个向量可用另外两个表示，则三向量共面，不能做基底. C 练习 变式：若{，，}构成空间的一个基底，则，能否构成空间中的一个基底？ 解：假设这三个向量共面，则存在， 使得， 整理得， 则，假设不成立， 则不共面，可作为基底. 判断三个空间向量是否能构成一个基底 假设三向量共面， 建立x, y的方程组， 若有解，则不可作基底； 若无解，则可作基底. 总结 1 空间向量基本定理 2 类比平面向量的研究方法 类比 猜想 证明或转化 推广 空间向量基本定理 基 底 基向量 单位正交基底 正交分解 16 $$