甘肃省酒泉市玉门四校联考2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在 ※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2024-2025学年甘肃省酒泉市玉门四校联考 八年级下学期期末数学试卷 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.为美化环境，广州市政府计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上、面两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点、，测得，则、两处的距离为(    ) A. B. C. D. 3.五边形的外角和为(    ) A. B. C. D. 4.如图是一次函数、是常数的图象，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 5.若多项式可以用平方差公式因式分解，则表示的单项式可以是(    ) A. B. C. D. 6.若表示的是一个最简分式，则可以是(    ) A. B. C. D. 7.依据所标数据，一定为平行四边形的是(    ) A. B. C. D. 8.在中，若，，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱中，，平分，交边于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 10.在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即已知，两个物体的密度之比为：，当物体的质量是，物体的质量是时，物体的体积比物体的体积大如果设物体的体积是，那么根据题意列方程为(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若分式的值为，则______． 12.如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，若，则______． 13.如图，点、在直线上，为直线外一点，连结，分别以点、为圆心，、的长为半径画弧，两弧交于点，连结、，则四边形是平行四边形的理由是______． 14.若，且，求的取值范围______． 15.如图，在中，，，，，则为______． 16.若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______． 三、计算题：本大题共1小题，共4分。 17.解分式方程：． 四、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题分 分解因式：． 19.本小题分 解不等式组：． 20.本小题分 如图，▱的对角线、相交于点，、是▱的对角线上的两点，且，连接、、、求证：． 21.本小题分 如图，已知是的平分线，将直尺如图摆放，使边与边重合，顶点落在边上，边与交于点． 猜想是______三角形． 证明你的猜想，写出解答过程． 22.本小题分 下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务． 异分母的分式加减法回顾与反思【回顾】 今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下： 下面是我在课堂上化简分式的过程： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 【反思】 总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础． 任务： 在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______； A.函数思想 B.数形结合思想 C.转化思想 D.统计思想 以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______； 我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第______步开始出现错误，化简的正确结果应该是______． 23.本小题分 如图，将绕点逆时针旋转得到已知，，，连接，求的长． 24.本小题分 【阅读材料】数学教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例：分解因式：． 解：． 例：求代数式的最小值： 解：可知当时，有最小值，最小值是． 请根据阅读材料中的方法解决下列问题： 将多项式因式分解； 求多项式的最小值． 25.本小题分 如图，在▱中，、相交于点，延长到点，使，连接． 求证：四边形是平行四边形； 连接，交于点，连接，求证：． 26.本小题分 敦煌鸣沙山月牙泉位于甘肃省酒泉市敦煌市，是级景区，占地面积为平方千米，年游客接待量突破万人次暑假来临，为了抓住暑假旅游商机，该景点决定购进、两种纪念品，其中每件种纪念品的进价比种纪念品的进价多元，用元购买种纪念品的数量与用元购进种纪念品的数量相同． 求购进、两种纪念品每件各需多少元？ 若购进两种纪念品共件，并且购进两种纪念品的总费用不超过元，则最多购进种纪念品多少个？ 27.本小题分 如图，在▱中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，同时点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为． 求的长； 是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 请直接写出为何值时，线段将▱的面积二等分． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、是中心对称图形；故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形，对所给选项进行判断即可得解． 此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键． 2.【答案】  【解析】解：点、分别为和的中点， 是的中位线， ， 故选：． 根据三角形中位线定理计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：五边形的外角和为． 故选：． 根据多边形的外角和等于即可直接得出答案． 本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：从图象得知一次函数是常数的图象经过点，并且函数值随的增大而增大， 所以不等式的解集是． 故选：． 观察函数图象，找出直线落在轴上方的部分对应的自变量的取值即可． 本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合． 5.【答案】  【解析】解：多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 多项式为，能运用平方差公式分解因式． 故选：． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 此题考查了因式分解运用公式法．熟练掌握该知识点是关键． 6.【答案】  【解析】解：、原式，不符合题意； B、原式，符合题意； C、原式，不符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：． 把选项中的各式代入分式，利用最简分式定义：分式的分子分母没有公因式，判断即可． 此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的判定方法是解本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：、由数据可知，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由数据可知，一组对边平行且相等，能判定为平行四边形，故选项B符合题意； C、由数据可知，只有一组对边平行，不能判定为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由数据可知，有三条边相等，不能判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：， ， 为等边三角形， ． 故选：． 先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个内角都相等，且都等于． 9.【答案】  【解析】解：在▱中，，平分， ，，，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 通过平行四边形的性质结合角平分线的定义求得，求得，据此求解即可． 本题主要考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 10.【答案】  【解析】解：设物体的体积是，则物体体积是， 根据题意，得． 故选：． 设物体的体积是，则物体体积是，根据“，两个物体的密度之比为：，当物体的质量是，物体的质量是”列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由条件可知且， 解得且， ． 故答案为：． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可． 12.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，对角线、交于点，， ，， ． 故答案为：． 根据平行四边形的性质得出，，进而求解即可． 本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形  【解析】解：根据尺规作图的画法可得，，， 四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 先根据分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，得出，，再判断四边形是平行四边形的依据． 本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，且， ， 则． 故答案为：． 根据题意，在不等式的两边同时乘以后不等号改变方向，根据不等式的性质，得出，解此不等式即可求解． 本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 15.【答案】  【解析】解：，， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 根据三角形内角和定理可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由三角形外角的性质可得，由等角对等边即可求解． 本题考查三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 16.【答案】且  【解析】解：由题意可得：， 去分母得：， ， 且， 且． 故答案为：且． 利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列得关于的一元一次不等式，解不等式并结合方程的增根即可求得的取值范围． 本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键． 17.【答案】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 化系数为，得， 检验：当时，， 所以原方程的解为．  【解析】本题考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．直接去分母，转化为整式方程求解，结果要检验． 18.【答案】解：． ．  【解析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 19.【答案】．  【解析】解：， 由得，， 由得，， 故此不等式组的解集为：． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 20.【答案】见解析．  【解析】证明：由题意可得：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，得证． 首先由四边形是平行四边形得到，，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可得到． 此题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质和判定． 21.【答案】解：等腰； 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形．  【解析】解：是等腰三角形， 故答案为：等腰； 证明：平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 猜想是等腰三角形，根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． 本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 22.【答案】  三  分式的基本性质  四   【解析】解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确； 故选：； 以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质． 故答案为：三；分式的基本性质； 从第四步开始出现错误， ． 因此正确结果为：． 故答案为：四；． 根据分式加减运算进行解答即可； 根据通分的定义进行解答即可； 根据分式加减运算法则，进行计算得出正确答案即可． 本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 23.【答案】  【解析】解：将绕点逆时针旋转得到． ， ， 已知，，， 由旋转得， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 的长为． 由旋转得，，根据勾股定理可以求出的长． 此题考查旋转的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质． 24.【答案】；  ．  【解析】 ， ， ； ， ， ， 当时，有最小值，最小值是． 根据题目中的例题分解因式即可求解； 根据题目中的例题方法化成，再利用完全平方公式的非负性解答即可求解． 本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，掌握完全平方公式的非负性是解题的关键． 25.【答案】见解析；   见解析．  【解析】证明：由题意可得：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 已知：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， 是的中位线， ， ， ，． 根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，即可求证； 根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，正确判断是解题关键． 26.【答案】购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元；   个．  【解析】设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元， 根据题意列分式方程得：， 整理得，， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元； 设购进种纪念品个，则购过种纪念品个， 根据题意列一元一次不等式得：， 解得， 最多购进种纪念品个． 设购进种纪念品每件需要元，购进种纪念品每件需要元，根据“用元购买种纪念品的数量与用元购进种纪念品的数量相同”，可列出关于的分式方程，解之并检验即可； 设购进种纪念品个，则购进种纪念品个，根据购进两种纪念品的总费用不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 27.【答案】；   存在，或；   时，线段将平行四边形面积二等分．  【解析】四边形是平行四边形， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； 由知，， ， ， 由运动知，，， ，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时，， ， ， 当点在边的延长线上时，， ， ， 或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； 如图，连接交于， 线段将平行四边形面积二等分， 必过的中点， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 由运动知，，， ，， ， ， 时，线段将平行四边形面积二等分． 利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； 利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； 利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义；解的关键是得出，解的关键是分类讨论的思想建立方程求解，解的关键是判断出． 第6页，共8页 第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$