1.2.2二次函数的图象 课件2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.2.2二次函数的图象 2025.7 浙教版数学 九年级上 回顾:说说二次函数y=ax2的图象的特征. 2 6 8 y 4 y=ax2 -8 -4 -2 -6 O -2 2 x 4 -4 （2）当a>0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; 当a<0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ; |a|越大，抛物线的开口 . （1）抛物线y=ax2的对称轴是 ，顶点是 . y轴 原点 向上 最低点 向下 最高点 越小 那么y=ax2+k 呢？ 【合作探究1】在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象，并观察它们有何关系？ x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = x2 y = 【合作探究1】在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象，并观察它们有何关系？ （1）开口大小相同，方向相同. （2）向左平移2个单位 【合作探究2】在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象，并观察它们有何关系？ x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 二次函数 y =a(x -m)2 顶点坐标 对称轴 开口方向 最高(低)点 有最低点 a>0最低点a<0最高点 y=ax2 y=a(x -m)2 m>0,向右平移m个单位 m<0,向左平移|m|个单位 (0,0) (-2,0) (2,0) (m,0) y轴 直线x =-2 直线x =2 直线x =m 向上 向上 向上 a>0，向上 a<0，向下 有最低点 有最低点 【思考】函数 y =a(x - m)2 (a≠0)的图象与函数 y =ax2的图象有何关系？ 左右平移规律：左加右减 一般地，函数y=a(x－m)2 (a≠0)的图象与 y=ax²的图象只有位置不同，它可由y=ax²的图象向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位得到. 函数y=a(x－m)2的图象的顶点坐标是________， 对称轴是直线_______. 【左右平移】二次函数y=a(x－m)2 (a≠0)的图象 (m，0) x=m y=ax2 y=a(x -m)2 m>0,向右平移m个单位 m<0,向左平移|m|个单位 【例2】对于二次函数 ，请回答下列问题： （1）把函数 的图象作怎样的平移变换，就能得到 函数 的图象. （2）说出函数 的图象的顶点坐标和对称轴. y=- x2 y 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 O -1 -2 -3 -4 -5 -6 6 7 8 y =- (x-4)2 (2)函数 的图象的顶点坐标是(4，0)，对称轴是直线x=4. 【课内练习】填空 y= 2x2 左 【合作探究2】在同一直角坐标系中画出下列二次函数的图象，并观察它们有何关系？ x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 函数y=a(x－m)2 +k (a≠0)的图象，可以由函数y=ax²的图象先向右(当m＞0)或向左(当m＜0)平移|m|个单位，再向上(当k＞0)或向下(当k＜0)平移|k|个单位得到. 函数y=a(x－m)2 +k的图象的顶点坐标是________， 对称轴是直线_______. (m，k) x=m 【上下平移】二次函数y=a(x－m)2 +k(a≠0)的图象 上下平移规律：上加下减 顶点式 【作业题】1、2 【课内练习】说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标 【作业题】3 【顶点式】顶点式y=a(x－m)2 +k(a≠0)求函数表达式 【例题】已知抛物线的顶点(3，－1)，且过点(2，3)，求函数表达式 解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x+m)2+k， （-m,k)=(3,-1), m=-3,k=-1 ∴y＝a(x－3)2－1(a≠0)． 把(2，3)代入，得a＝4， ∴抛物线的函数表达式为y＝4(x－3)2－1＝4x2－24x＋35. 试一试：已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式． 1.在平面直角坐标系中,二次函数 <m></m> 的图象可能是( ) D A. &1& B. &2& C. &3& D. &4& 2.一个二次函数图象的顶点坐标为 <m></m> ，且它的形状与抛物线 <m></m> 相同，则该二次函数的表达式是( ) A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> C 3. 把二次函数 <m></m> 的图象绕原点旋转 <m></m> 后得到的图象的函数表达式为_________________. <m></m> [解析] 二次函数 <m></m> 的图象开口向上，顶点坐标为 <m></m> ，图象绕原点旋转 <m></m> 后得到的图象的顶点坐标为 <m></m> ，开口向下，所以旋转后的新图象的函数表达式为 <m></m> . 【例3】已知二次函数y＝－(x＋1)2＋4的图象如图所示，请在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝－(x－3)2＋1的图象． 【几何函数】如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k(a＞0)经过点A，B. (1)求a，k的值． (2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标． 解：(1)∵直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，B， ∴点A(1，0)，B(0，3). 又∵抛物线y＝a(x－2)2＋k经过点A(1，0)，B(0，3)， 即a，k的值分别为1，－1. 【几何函数】如图，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别相交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k(a＞0)经过点A，B. (1)求a，k的值． (2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标． (2)如答图，设点Q的坐标为(2，m)，对称轴直线x＝2交x轴于点F，过点B作BE⊥QF，交FQ的延长线于点E， 则AF＝1，BE＝2，EF＝3. 在Rt△AQF中，AQ2＝AF2＋QF2＝1＋m2. 在Rt△BQE中，BQ2＝BE2＋EQ2＝4＋(3－m)2. ∵AQ＝BQ，∴1＋m2＝4＋(3－m)2，解得m＝2， ∴点Q的坐标为(2，2). $$