22.2二次函数与一元二次方程 同步练习课后作业-2025-2026学年九年级数学上册【基础过关+易错警示+中档提升+拓展延伸】（人教版）

22.2二次函数与一元二次方程 知识点1 用二次函数解一元二次方程 1．（2024春•青秀区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx+n＝0的解为（　　） A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5 2．（2023•新城区模拟）抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3 3．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似解 4．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 5．（2024春•海淀区月考）如表是若干组二次函数y＝x2﹣4x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.28 0.05 ﹣0.18 ﹣0.40 … 则下面哪个数是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）（　　） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 知识点3 用二次函数解不等式 6．（2024秋•朝阳区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表： 当y＜8时，则x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5 7．（2023秋•淮南月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表． x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 解答下列问题： （1）方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根是 　 　 ； （2）当ax2+bx+c＞﹣1时，x的取值范围是 　 　 ． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为　 　 ； （2）方程ax2+bx+c＝0的根是　 　 ； （3）不等式ax2+bx+c＞0的解集是　 　 ； 不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 　 ． （4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求常数k的取值范围为　 　 ． 【易错警示】 易错点：因不结合图形，导致考虑不周而出错。 9．（2023春•兴宁区期中）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（　　） A．﹣2＜n B．﹣3＜n C．﹣3＜n＜﹣2 D．﹣3＜n 10．（2022•松桃县模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点，若x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根，则下列结论中正确的是（　　） A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．x1≤﹣2＜1≤x2 C．x1＜﹣2＜1＜x2 D．﹣2≤x1＜x2≤1 11．（2024•招远市模拟）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如，函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣2）x+k﹣8（k≠0）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣6x+9 B．y＝﹣x2﹣6x﹣9 C．y＝﹣x2+6x+9 D．y＝﹣x2+6x﹣9 12．（2020•鄞州区自主招生）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　 　 ． 13．（2024秋•思明区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，则p的值有　 　 个． 14．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 　 ． 15．（2023•海淀区开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax的图象交于点A（1，0），B（3，2）． （1）求一次函数解析式； （2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+n与x轴存在交点，且当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝ax2﹣2ax+n的值大于函数y＝kx+b的值，请直接写出n的值． 16．（2024秋•淮南期中）如图，抛物线 y＝a（x﹣2）2+3 （a为常数且a≠0）与y轴交于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当10时，求k的值． 17．（2024秋•长春期末）利用函数图象探究方程x（|x|﹣2）的实数根的个数． （1）设函数y＝x（|x|﹣2），则这个函数的图象与直线y的交点的横坐标就是方程x（|x|﹣2）的实数根． （2）分类讨论：当x≤0时，y＝﹣x2﹣2x； 当x＞0时，y＝　 　 ； （3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象． （4）在给定的坐标系中画直线y、观察图象可知方程x（|x|﹣2）的实数根有 　 个． （5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2二次函数与一元二次方程 知识点1 用二次函数解一元二次方程 1．（2024春•青秀区期末）如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx+n＝0的解为（　　） A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5 【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0），进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2， 又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0）． ∴关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为x1＝5，x2＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．（2023•新城区模拟）抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3 【分析】抛物线必定与y轴有一交点，另一交点为x轴，根据二次函数与一元二次方程之间的关系求解． 【详解】解：抛物线y＝x2+2x+a﹣2与坐标轴有且仅有两个交点， 即与x轴有一个交点，与y轴一个交点． 令y＝0得x2+2x+a﹣2＝0， ∵与x轴一个交点时， ∴Δ＝4﹣4（a﹣2）＝0， 解得a＝3， 当与x轴有两个交点，且其中一个交点与y轴交点相重合时， 此时a﹣2＝0， ∴a＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，解题关键是明确抛物线与x轴的交点数量借助根的判别式判定． 3．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 【分析】依据题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，从而可得当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4，又点（m﹣2，n）在y2上，则的对称轴是直线m＝4，故点（2，n），（6，n）在的图象，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到， ∴当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4． ∵点（m﹣2，n）在y2上， ∴的对称轴是直线m＝4． ∴点（2，n），（6，n）在的图象上． ∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是x1＝2，x2＝6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 知识点2 用二次函数求一元二次方程的近似解 4．（2023秋•剑阁县期末）如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴x＝1，可以算出右侧交点横坐标的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为x＝1， 而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 5．（2024春•海淀区月考）如表是若干组二次函数y＝x2﹣4x+c的自变量x与函数值y的对应值： x … 0.7 0.8 0.9 1.0 … y … 0.28 0.05 ﹣0.18 ﹣0.40 … 则下面哪个数是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）（　　） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【分析】观察表格可得0.05更接近于0，得到方程的一个近似根（精确到0.1）是0.8，再由y＝x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝2得到方程x2﹣4x+c＝0的另一个近似根（精确到0.1）是3.2． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+c， ∴对称轴为直线x＝2， 观察表格得：方程x2﹣4x+c＝0的一个近似根（精确到0.1）是0.8， ∴另一个近似根m满足2， ∴m＝3.2， 故选：C． 【点睛】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 知识点3 用二次函数解不等式 6．（2024秋•朝阳区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表： 当y＜8时，则x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 18 8 2 0 2 … A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5 【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝1时与x＝3时的函数值相同，观察表格发现：当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大，即可得出当y＜8时，x的取值范围． 【详解】解：根据表格可知抛物线经过点（1，2），（3，2） ∴对称轴为， 设抛物线经过点（a，8）， 则， 解得：a＝4， 观察表格发现：当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大， ∴当y＜8时，x的取值范围是0＜x＜4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2023秋•淮南月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表． x ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 解答下列问题： （1）方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的根是 　﹣1，3　 ； （2）当ax2+bx+c＞﹣1时，x的取值范围是 　﹣1＜x＜4　 ． 【分析】（1）将方程整理，可知方程的根是二次函数和一次函数图象的交点横坐标； （2）结合表格分析抛物线的特点，求出y＝﹣1时x的值，进而得出答案． 【详解】解：（1）由ax2+（b﹣1）x+c＝0，得ax2+bx+c＝x， 可知二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝x的交点为（﹣1，﹣1）和（3，3）， 所以方程ax2+bx+c＝x的根是x1＝﹣1，x2＝3； （2）根据表格可知抛物线的对称轴是，当时，函数值y随着x的增大而增大， ∴抛物线开口向下． ， 解得x＝4， 可知当x＝﹣1和x＝4时，y＝﹣1． ∴当﹣1＜x＜4时，ax2+bx+c＞﹣1． 故答案为：﹣1，3；﹣1＜x＜4． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，从表格中获取信息是解题的关键． 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围为　x＜﹣1　 ； （2）方程ax2+bx+c＝0的根是　x1＝﹣3，x2＝1　 ； （3）不等式ax2+bx+c＞0的解集是　﹣3＜x＜1　 ； 不等式ax2+bx+c＜0的解集是　x＜﹣3或x＞1　 ． （4）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求常数k的取值范围为　k＜4　 ． 【分析】（1）求出对称轴，然后根据二次函数的增减性解答； （2）根据函数与x轴的交点写出即可； （3）根据函数图象分别写出x轴上方和下方部分的x的取值范围即可； （4）根据顶点的纵坐标写出即可． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x1， ∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大； （2）∵二次函数与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）， ∴方程的ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣3，x2＝1； （3）不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1； 不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣3或x＞1； （4）∵y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，常数k的取值范围为k＜4． 故答案为：（1）x＜﹣1；（2）x1＝﹣3，x2＝1；（3）﹣3＜x＜1，x＜﹣3或x＞1；（4）k＜4． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便，难点在于求出抛物线对称轴． 【易错警示】 易错点：因不结合图形，导致考虑不周而出错。 9．（2023春•兴宁区期中）如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（　　） A．﹣2＜n B．﹣3＜n C．﹣3＜n＜﹣2 D．﹣3＜n 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0， 即x2﹣4x+3＝0， 解得x＝1或3， 则点A（1，0），B（3，0）， 由于将C1向右平移2个长度单位得C2， 则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5）， 当y＝x+n1与C2相切时， 令y＝x+n1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2， 即2x2﹣15x+30+n1＝0， Δ＝﹣8n1﹣15＝0， 解得n1， 当y＝x+n2过点B时， 即0＝3+n2， n2＝﹣3， 当﹣3＜n时直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 10．（2022•松桃县模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点，若x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根，则下列结论中正确的是（　　） A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．x1≤﹣2＜1≤x2 C．x1＜﹣2＜1＜x2 D．﹣2≤x1＜x2≤1 【分析】把方程的根转化为抛物线和直线的交点，结合图象得出结论． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点， ∵x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根， ∴x1，x2（x1＜x2）是二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣m2的交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得，x1≤﹣2＜1≤x2， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是把方程的根转化为抛物线和直线的交点． 11．（2024•招远市模拟）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如，函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣2）x+k﹣8（k≠0）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为（　　） A．y＝﹣x2﹣6x+9 B．y＝﹣x2﹣6x﹣9 C．y＝﹣x2+6x+9 D．y＝﹣x2+6x﹣9 【分析】依据题意，由两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”，从而两个“Y函数”上的点关于y轴对称，故可设所求“Y函数”上任意一点为（x，y），则其关于y轴的对称轴点为（﹣x，y）必在函数y＝kx2+2（k﹣2）x+k﹣8上，可得y＝kx2﹣2（k﹣2）x+k﹣8为“Y函数”的解析式，再由“Y函数”图象与x轴只有一个交点，进而Δ＝4（k﹣2）2﹣4k（k﹣8）＝0，求出k后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”， ∴“Y函数”上的点关于y轴对称． 设所求“Y函数”上任意一点为（x，y）， ∴其关于y轴的对称轴点为（﹣x，y）必在函数y＝kx2+2（k﹣2）x+k﹣8上． ∴y＝kx2﹣2（k﹣2）x+k﹣8为“Y函数”的解析式． 又“Y函数”图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝4（k﹣2）2﹣4k（k﹣8）＝0． ∴k＝﹣1． ∴“Y函数”的解析式为y＝﹣x2+6x﹣9． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12．（2020•鄞州区自主招生）二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（b、t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 　﹣1≤t＜8　 ． 【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x＝﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答． 【详解】解：对称轴为直线x1， 解得b＝﹣2， 所以，二次函数解析式为y＝x2﹣2x， y＝（x﹣1）2﹣1， x＝﹣1时，y＝1+2＝3， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， ∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故答案为：﹣1≤t＜8． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键，作出图形更形象直观． 13．（2024秋•思明区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，则p的值有　3　 个． 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝1，得到，解得b＝﹣2a．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0）．得到c＝0．则y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，对称轴x＝1，最大值k＝﹣a，得到顶点坐标为（1，﹣a），则当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（0，0）与（2，0），ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，以及常函数直线y＝p，p≥0，结合图象进行分析即可得到答案． 【详解】解：已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝1， ∴， 解得b＝﹣2a， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点为（2，0），将（2，0）代入得： 0＝4a﹣4a+c， 解得c＝0， ∴y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a， 对称轴为直线x＝1，最大值k＝﹣a， 如图，顶点坐标为（1，﹣a）， ， ∴另一个交点为（0，0）， ∴当a＜0时，抛物线始终与x轴交于（0，0）与（2，0）， ∵ax2+bx+c＝p（p≥0）有整数根，以及常函数直线y＝p，p≥0， ∴0＜y≤﹣a， 由图象得当0＜y≤﹣a时，0＜x＜2， 其中x为整数时，x＝1或2或0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝p（p≥0）的整数解有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 14．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是 　x1＝﹣2，x2＝5　 ． 【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解． 【详解】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0， 因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）， 所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4， 对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5， 所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5． 故答案为x1＝﹣2，x2＝5． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 15．（2023•海淀区开学）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax的图象交于点A（1，0），B（3，2）． （1）求一次函数解析式； （2）若抛物线y＝ax2﹣2ax+n与x轴存在交点，且当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝ax2﹣2ax+n的值大于函数y＝kx+b的值，请直接写出n的值． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先利用待定系数法求得抛物线的解析式为yx2﹣x，再根据题意列出不等式组，即可求得答案． 【详解】解：（1）把A（1，0），B（3，2）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x﹣1； （2）把A（1，0）代入y＝ax2﹣2ax，得：a﹣2a0， 解得：a， ∴yx2﹣x， ∵抛物线yx2﹣x+n与x轴存在交点，且当x＞3时，对于x的每一个值，函数yx2﹣x+n的值大于函数y＝x﹣1的值， ∴， ∴n． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、抛物线与x轴的交点、二次函数与不等式等知识点．根据题意列出不等式组是解题关键． 16．（2024秋•淮南期中）如图，抛物线 y＝a（x﹣2）2+3 （a为常数且a≠0）与y轴交于点 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x1，x2，当10时，求k的值． 【分析】（1）将点A（0，）代入抛物线y＝a（x﹣2）2+3求出a即可求解析式； （2）由已知联立方程kx（x﹣2）2+3，由韦达定理可得x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3，则有（4﹣3k）2+6＝10，求出k即可． 【详解】解：（1）∵抛物线 y＝a（x﹣2）2+3 （a为常数且a≠0）与y轴交于点 ， ∴4a+3， ∴a， ∴y（x﹣2）2+3； （2）∵直线y＝kx（k≠0）与抛物线有两个交点， ∴kx（x﹣2）2+3， 整理得x2+（3k﹣4）x﹣3＝0， ∴Δ＝（3k﹣4）2+12＞0， ∵x1+x2＝4﹣3k，x1•x2＝﹣3， ∴（4﹣3k）2+6＝10， ∴k或k＝2， ∴k的值为2或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用二元一次方程的根与系数的关系是解题的关键． 17．（2024秋•长春期末）利用函数图象探究方程x（|x|﹣2）的实数根的个数． （1）设函数y＝x（|x|﹣2），则这个函数的图象与直线y的交点的横坐标就是方程x（|x|﹣2）的实数根． （2）分类讨论：当x≤0时，y＝﹣x2﹣2x； 当x＞0时，y＝　x2﹣2x　 ； （3）在给定的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象． （4）在给定的坐标系中画直线y、观察图象可知方程x（|x|﹣2）的实数根有　3　 个． （5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是　﹣2＜m＜0　 ． 【分析】（1）函数y＝x（|x|﹣2）的图象与直线y的交点的横坐标就是方程x（|x|﹣2）的实数根． （2）根据绝对值的性质去掉绝对值整理即可，注意x的取值范围； （3）通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象即可； （4）根据两个函数图象交点的个数，找出方程解的个数； （5）根据两个函数图象相交产生的交点，比较交点横坐标的特征，加以分析即可求得． 【详解】解： （1）函数y＝x（|x|﹣2）的图象与直线y的交点的横坐标就是方程x（|x|﹣2）的实数根． （2）当x＞0时，y＝x（|x|﹣2）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x， 故答案为x2﹣2x； （3）如图： （4）如（3）题图，直线y的图象与y＝x（|x|﹣2）的图象有三个交点，则可知方程x（|x|﹣2）的实数根有 3个． 故答案为3； （5）根据题意画出图象： 直线y＝m与函数y＝x（|x|﹣2）的交点的横坐标x1＜0＜x2＜x3，且x2+x3＝2，x1＜﹣2， ∴x1+x2+x3＜0， ∴﹣2＜m＜0 ∴关于x的方程x（|x|﹣2）＝即2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是﹣2＜m＜0， 故答案为﹣2＜m＜0． 【点睛】本题考查了方程与函数的关系．函数表达式就可以看成是方程，一元方程，两端都可以看成是函数，两个图象的交点就是方程的解．方程和函数的相互转化，深入的渗透在初中数学的解题过程中，需要同学们加强学习． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$