15.3 等腰三角形 练习 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.3 等腰三角形 练习 一、单选题 1．如图，是等腰三角形，是的高线，且．点，分别是上任意一点，连接，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C． D． 2．如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在中，，是的平分线，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，交于点F，，则（  ） A． B． C． D． 5．如图，和都是等腰三角形，．，相交于点F，连接．给出下列结论∶①；②；③平分；④平分；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，在四边形中，，，，相交于点E．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 7．如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 8．如图，等边三角形的边长为，D，E分别是上的点，将沿直线折叠，点A落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，点在边上，且．若，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 10．如图，在中，，，是的角平分线，如果点到的距离为2，那么的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、填空题 11．如图，的平分线与的平分线相交于点F，过F作交于D，交于E，若，则的长为 ． 12．如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ． 13．如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 14．如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 15．如图，点在的平分线上，于点，点在上，若，，则 ． 三、解答题 16．如图，在中，，为的中点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 17．如图，已知：在中，是的角平分线，垂直平分分别交于点E、F，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点F作交边于点G，如果，求的周长． 18．如图，已知在和中，与交于点E，过点E作于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分； (3)若，求的度数． 19．如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 20．如图，等边中，，垂足为点． (1)尺规作图：在右侧作，且使． (2)连接、，试说明和的位置关系，并证明． 《15.3 等腰三角形 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B C B C C A C C 1．C 【分析】利用等腰三角形的对称性，将转化为，则，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即的长度，再通过三角形面积公式求出．本题主要考查了等腰三角形的性质以及垂线段最短，熟练掌握等腰三角形三线合一和利用面积法求线段长度是解题的关键． 【详解】解：连接、， ∵ ，， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ ． 根据垂线段最短，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度． ∵ ， ，，， ∴ ， 解得． ∴ 的最小值为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．在上截取，连接，通过证明得到，，结合得到，利用三角形外角的性质推出，推出，最后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查平行线性质、等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质、等腰三角形性质是解题的关键； 根据两直线平行，同旁内角互补，求出，再由对顶角相等得．根据等边对等角，可知．最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 5．B 【分析】首先，结合等腰三角形的性质先证明，再由全等三角形的性质可推得①正确；结合三角形内角和定理可证②正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形对应高相等，结合角平分线的判定定理可证④正确；结合已证的②④即可推得⑤正确；若③成立，推得的条件与题意不符，则③错误，综上即可得到答案． 【详解】解：∵和都是等腰三角形，， ∴，，，即， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴，故②正确； 作交于点P，交于点Q   ∵，   ∴， 即， ∴， ∴点A在的角平分线上， 即平分，故④正确； 又∵， ∴，故⑤正确； 若③成立，则， 由②⑤可知，，， ∴，， 即， ∵在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，推出， 由题意可知，不一定等于，故③错误。 综上可知正确的有①②④⑤ 故选：B 【点睛】本题考查了等腰三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由，可得垂直平分，推出，通过证明是等边三角形，得到，再利用三线合一性质即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 7．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 8．A 【分析】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 根据等边三角形的性质可得，再根据折叠的性质，即可得，从而得到阴影部分图形的周长为：，即可求解． 【详解】解：∵等边三角形的边长为， ∴， ∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴， ∴阴影部分图形的周长为： ． 故选：A 9．C 【分析】本题考查了等腰三角形，含的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，作辅助线，是解题的关键． 过点A作于点E，设，根据三线合一可得，然后根据，得到，得到求得，得到． 【详解】解：过点A作于点E，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，进而得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 11．10 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握角平分线的定义和平行线的性质得证是关键． 根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质得到，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 15． 【分析】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解．根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，过点作，交于点 点在的平分线上，， ， 故答案为：． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的定义可得，即可求证； （）先根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得平分，从而可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴平分， ∴， ∴． 17．(1)55° (2)16 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到，得到，根据三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （3）求出，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴平分， ∴， 由（2）得， ∴ ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 19．(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形； （2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴． 20．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （2）由等边三角形的性质可得，则，进而可得为等边三角形，垂直平分，，则，，可得，，即，则可得． 本题考查作图复杂作图、等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，先在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点， 则即为所求． （2）解：． 证明：设与相交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即． ， 为等边三角形， 垂直平分，， ，， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$