1.1第1课时　三角形的边和角 课件 2025-2026学年 苏科版（2024）八年级数学上册

第1章 三角形 1.1　三角形中的线段和角 第1课时 三角形的边和角 1.三角形的概念是什么? ② 因为两点之间线段最短. 知识回顾 2. 如右图哪条线最短，为什么? 三角形是由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形. 我们已经知道三角形的三个内角之和为180°，那么三角形的三条边之间有什么关系呢? 文字语言 几何语言 图形 三角形三个内角 的和等于180° 在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180° 3.三角形内角和定理 知识回顾 2cm、3cm、6cm ∵2cm+3cm<6cm， ∴无法构成三角形。 6cm 3cm 2cm 1.能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 尝试练习 3cm、4cm、7cm ∵3cm+4cm=7cm， ∴无法构成三角形。 7cm 4cm 3cm 2.能否画出以下列长度的线段为边的三角形？为什么？ 尝试练习 3. 从长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小木棒 ( 如图 ) 中任意取3根，能否构成一个三角形？为什么？ 3cm 4cm 5cm 能构成一个三角形，且是直角三角形。 3cm 4cm 5cm 8cm ① 3cm、4cm、5cm 尝试练习 3. 从长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小木棒 ( 如图 ) 中任意取3根，能否构成一个三角形？为什么？ ② 3cm、4cm、8cm ∵3cm + 4cm < 8cm， ∴不能构成三角形。 8cm 4cm 3cm 尝试练习 3. 从长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小木棒 ( 如图 ) 中任意取3根，能否构成一个三角形？为什么？ ③ 3cm、5cm、8cm ∵3cm + 5cm = 8cm， ∴不能构成三角形。 8cm 5cm 3cm 尝试练习 3. 从长度分别为3cm、4cm、5cm、8cm的小木棒 ( 如图 ) 中任意取3根，能否构成一个三角形？为什么？ ④ 4cm、5cm、8cm 8cm 5cm 4cm ∵4cm + 5cm > 8cm， ∴能构成一个三角形。 尝试练习 根据【尝试练习】，可以发现三角形的三边有怎样的关系？ 分类 两边之和与第三边的大小比较 两边之和与第三边的大小比较 两边之和与第三边的大小比较 能否构成三角形 ① 2、3、6 2 + 3 < 6 2 + 6＞3 3 + 6＞2 × ② 3、4、7 3 + 4 = 7 3 + 7 > 4 4 + 7 > 3 × ③ 3、4、5 3 + 4 > 5 3 + 5 > 4 4 + 5 > 3 √ ④ 3、4、8 3 + 4 < 8 3 + 8 > 4 4 + 8 > 3 × ⑤3、5、8 3 + 5 = 8 3 + 8 > 5 5 + 8 > 3 × ⑥4、5、8 4 + 5 > 8 4 + 8 > 5 5 + 8 > 4 √ a b c 当 b+c < a 时 不能构成三角形 a b c 当 b+c=a 时 不能构成三角形 a b c 只有当 b+c>a 时 三条线段能构成三角形 三角形两边之和大于第三边。 如何证明这个结论呢？ 证明：如图，∵BA + AC是连接B，C两点的折线长度， BC是连接B，C两点的线段长度， A B C 根据基本事实“两点之间的所有连线中，线段最短”， ∴BA + AC > BC。 同理，AC + CB > AB，AB + BC > AC。 尝试证明1 三角形的三边关系： 三角形的任意两边之和大于第三边。 结 论1 三角形的任意两边之差与第三边有何关系？你能证明吗？ 【分析】 在△ABC中， ∵AB+AC>BC，AC+BC>AB，AB+BC>AC， ∴AB>BC-AC，AC>AB-BC，AB>AC-BC。 A B C 【总结】三角形的任意两边之差小于第三边。 尝试证明2 三角形的三边关系的推论： 三角形的任意两边之差小于第三边。 结 论2 定义与概念 1112小 三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边 题型一 判断三条线段能否围成三角形 例1、用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是 （　　） A．2cm、3cm、3cm B．2cm、2cm、5cm C．1cm、5cm、3cm D．2cm、5cm、8cm A 解：A、∵2 + 3 > 3，∴能做成三角形框架； B、∵2 + 2 < 5，∴不能做成三角形框架； C、∵1 + 3 < 5，∴不能做成三角形框架； D、∵2 + 5 < 8，∴不能做成三角形框架。 例题讲解1 判断三条线段能否围成三角形： 只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度， 那么这三条线段能构成三角形。 实践运用 以下列各组长度的线段为边,能构成三角形的是(　　) A.10 cm、10 cm、8 cm B.5 cm 、6 cm 、14 cm C.4 cm、8 cm、12 cm D.3 cm、9 cm、5 cm A 变式训练1 下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能组成三角形的有哪些？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； (3)长度之比为4∶5∶6； (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0) 解：(1)∵ 6 cm＋8 cm> 10 cm ， ∴长度为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三条线段能组成三角形. (2)∵ 5 cm＋2 cm< 8 cm ， ∴长度为5 cm ，8 cm ，2 cm 的三条线段不能组成三角形. 变式训练2 (3)设这三条线段的长度分别为4x，5x，6x(x>0). ∵ 4x＋5x>6x， ∴长度之比为4∶5∶6 的三条线段能组成三角形. 下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能组成三角形的有哪些？ (1)6 cm，8 cm，10 cm； (2)5 cm，8 cm，2 cm； (3)长度之比为4∶5∶6； (4)a＋1，a＋2，a＋3(a>0) (4)∵ a＋1＋a＋2＝2a＋3 ，当a>0 时，2a＋3 >a＋3， ∴长度为a＋1，a＋2，a＋3(a>0)的三条线段能组成三角形. 综上可知，能组成三角形的有(1)(3)(4)． 变式训练2 三角形的两边长分别为5和7，第三边长为奇数，这个三角形的周长可以是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 C 解：设第三边长为x，则7 - 5 < x < 7 + 5，即2 < x < 12， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为3或5或7或9或11， ∴这个三角形的周长为15或17或19或21或23。 变式训练3 已知一个三角形的周长为36cm，一条边是另一条边长度的2倍。则最小边m的取值范围是（　　） A．4<m<8 B．5<m<8 C．6<m<9 D．7<m<9 C   变式训练4 如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB. 求证：AP＋BP＜AC＋BC. B C A P 证明：延长AP交BC于点D. 在△ACD中，AC＋CD＞AD， ∴AC＋CD＋BD＞AD＋BD，即AC＋BC＞AD＋BD. 在△BDP中，BD＋DP＞BP. ∴BD＋DP＋AP＞BP＋AP，即BD＋AD＞BP＋AP. ∴AC＋BC ＞AP＋BP. 即AP＋BP＜AC＋BC. D 例题讲解2 ［2025江苏苏州调研］满足下列条件的三条线段，， 能组成 三角形的是( ) C A. B.， C.，， D.，， 真题训练1 25 【解析】根据三角形的三边关系可知，任意两边之和大于第三边，任意两边之差 小于第三边. A 设，，分别为，，，则有 ，故不能组成三角形 B 将代入，得，，即 ，故不能组 成三角形 C 符合三角形的三边关系，故能组成三角形 D ，故不能组成三角形 26 ［2025山西太原期中］王老师有长度分别为, 的两根小棒（如图）， 如果要把其中的一根剪成两段，那么在下列选项的剪法中， 三根小棒一定能围成三角形的是( ) B A.将长为的小棒正中间剪一刀 B.将长为 的小棒正中间剪一刀 C.将长为的小棒任意剪一刀 D.将长为 的小棒任意剪一刀 【解析】， 由三角形三边关系得到将长为 的小棒正中间剪一刀，三根 小棒一定能围成三角形.故选B. 真题训练2 27 ［2025安徽马鞍山期中］三角形的三边长分别为5，7，， 则第三边长 的取值范围是___________. 【解析】由题意得第三边长的取值范围是， 即 ,故答案为 . 真题训练3 28 ［2025贵州遵义期中］若，，为的三边长，则 ___0（填“ ”“ ”或“ ”）. 【解析】,,是的三边长，，， ， ，，故答案为 . 真题训练4 29 题型二 利用三角形三边性质证明 例2.如图1-2，在△ABC中，点D在边BC上. 求证:AC+CB>AD +DB. 证明：在△ACD中,AC +CD>AD(三角形两边之和大于第三边)， ∴AC +CD+DB>AD +DB(不等式的性质). 即AC+CB>AD +DB. 练习检测2 ［2025上海浦东新区期中］如图，四边形中，是 与的交点，试说明：与的和小于四边形 的周长. 证明：在中，， 在 中，， 在中，， 在 中，， ， ， 与的和小于四边形 的周长. ， 真题训练1 31 ［2025北京海淀区质检］如图，为 内任意一点. 证明： . 证明：延长交于点.在中，. 在 中，， , .同理得, , ,即 ． 真题训练2 32 我们已经知道了三角形三边之间的关系，三角形的边和角之间有什么关系呢？ 如图，在△ABC中，AB > AC，我们可以通过折纸的方式比较∠B 和∠C的大小。 A B C 问 题 把AC沿∠BAC的平分线AD翻折,如图, 因为AB>AC,所以点C落在边AB上的点C'处. 所以∠AC'D=　　　　.  由∠AC'D=　　　　+∠BDC’, 可得∠AC'D>　　　　,  所以∠C>∠B. ∠C ∠B ∠B 问 题 三角形的边角关系： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。 结 论3 反过来，在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大吗？ B C A 已知：△ABC，∠C＞∠B， 求证：AB＞AC. 证明：假设AB≤AC，则∠C≤∠B. 与∠C＞∠B矛盾，假设不成立. 所以AB＞AC. 问 题 定义与概念 1112小 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角” 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (1) 比较∠B，∠C的大小，并说明理由； 解：(1) ∠B＞∠C. ∵AC＞AB (已知) ∴∠B＞∠C (在同一三角形中，较大的 边所对的角也比较大). B C A H 例题讲解2 例2 如图，在△ABC中，AB＜AC. (2) 若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. B C A H 解：(2) ∠BAH＜∠CAH. ∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°. ∴∠BAH＋∠B＝90°， ∠CAH＋∠C＝90°. ∵∠B＞∠C， ∴∠BAH＜∠CAH. 例题讲解2 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，比较AB和BC的大小，并说明理由. 证明：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠C＞∠A ∴ AB＞BC (在同一三角形中，较大的角所 对的边也比较大) C A B 课本练习2 2. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在BC上，比较AC和AD的大小，并说明理由. B C A D 证明：∵∠ADC是Rt△ABD的一个外角， ∴∠ADC＞90°. ∵∠C是Rt△ABC的一个内角， ∴∠C＜90°. ∴ ∠ADC＞∠C. ∴ AC＞AD(在同一三角形中，较大的角所对的边也比较大) 课本练习3 如图1.1-3，在△ABC中，AC>AB，∠A> ∠B，则下列判断正确的是( ) A. ∠A>∠B>∠C B. ∠B>∠A>∠C C. AC>BC>AB D. AC>AB>BC 解：因为AC>AB，所以∠B>∠C. 因为∠A>∠B，所以∠A>∠B>∠C，BC>AC. 所以BC>AC>AB. A 练习检测1 在中，已知 ， ，则边,, 中， 最长的是( ) A A. B. C. D.无法确定 【解析】在中， , 中,最大的角是 所对的边是, 最长的是 . 练习检测2 43 如图,在中，，为延长线上一点， ， 分别交的延长线、的延长线于,.求证： . 【证明】,.又, , , ,, . 练习检测3 44 三角形的边和角 三角形三边关系 三角形边角关系 三角形任意两边之和＞第三边 三角形任意两边之差＜第三边 大边对大角 大角对大边 知识总结 忽略三角形三边关系而致错 ［2025江苏南京调研］若等腰三角形两边长分别为4，9， 则其周长为____. 22 【解析】①若4是腰长，则底边长是9，但是 ，故不能构成三角形，舍去. ②若4是底边长，则腰长是9， ，符合三角形三边关系，成立.故等腰三角 形的周长为 . 易错题 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时，要分情况讨论，还要注意判断分 情况后的三条线段能否构成三角形. 46 1.如图，在中， ，， ， 点在边上（不与，两点重合），连接 ， 则 的长可能是( ) C A.6 B.5.5 C.4.5 D.3 2.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计 螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且 相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破 坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ) B A.7 B.10 C.11 D.14 综合提升 47 3.［2025扬州邗江区月考］已知三角形的三条边长均为整数， 其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有___个. 4 4.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形 叫作“倍长三角形”.若 是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3， 则第三条边的长为_______. 1.5或4 综合提升 48 5.若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边，得2＋7＞x且2＋x＞7， 解得 5＜x＜9。 因为它是奇数，所以x只能取7. 三角形第三边的取值范围是: <第三边<两边之和. 综合提升 6.在△ABC中,若AB>BC,则下列结论正确的是 (　　) A.∠A>∠B B.∠B>∠C C.∠A<∠C D.∠B<∠C C 综合提升 $$