精品解析：湖南省长沙市长沙县2023-2024学年九年级下学期学科素养竞赛数学试题

2024年长沙县初中9年级学科素养竞赛 数学（问题卷） 时量：90分钟 总分：100分 请考生注意：答题卡上填写考生信息，将答案填写在答题卡上，考试完毕后只需交答题卡． 一、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果关于x的不等式组 有且仅有两个整数解，且关于x的分式方程 有正数解，则符合条件的整数m的值有_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握它们的解法及由解的情况确定的取值范围是解题的关键． 先解不等式组，根据不等式组有且仅有两个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数确定的取值范围，再根据为整数即可求出结果． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵不等式组有且仅有两个整数解， ， 解得：； ， 方程可化为， 方程可化为， 解得：， ∵关于的分式方程有正数解， ，且， 解得：且， 且， ∵为整数， ， 故答案为：． 2. 如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为______________． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键． 过点作，交于点，延长相交于点，根据等腰直角三角形的性质得出为等腰直角三角形，假设，由勾股定理得，表示出相关线段的长度，证明，得出，，然后利用勾股定理求出的值，最后可求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，延长相交于点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 假设，由勾股定理得， ∵平分， ∴，， ， 由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， 由勾股定理得 即 解得，， ∴的面积为， 故答案为：49． 3. 如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置． 先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在中，，延长交x轴于，当P在点时，，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【详解】解：将代入得：， ， 设直线AB的解析式是， ，解得：， 直线AB的解析式是， 如图：在中，，延长AB交x轴于，当P在点时，，此时线段与线段之差达到最大． 当时，，解得：， 当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是． 故答案为：． 4. 如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有________________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点、顶点等的求解熟悉，这是一个综合性很好的题目． ①，则，，故，即可求解；②由顶点可得，而，故，即可求解；③由顶点可得函数的表达式为：，故，故，即可求解；④根据，即可求解． 【详解】解：①由图象可知，，， ， ，故①正确，符合题意； ②抛物线的顶点在直线上， ， ， ， ， ， ，故错误，不符合题意； ③抛物线的顶点在直线上， 函数的表达式为：， 令，则 解得， 故，正确，符合题意； ④，正确，符合题意； 故答案为：①③④． 5. 如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ______．（填写序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了四点共圆，全等三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出正确；再求出，根据翻折可得利用三角形的内角和定理可得，判断出正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出不正确；根据含度角的直角三角形的性质可以判断正确；判断出和不全等，从而得到，判断出正确，根据全等三角形的性质得到，得到四点共圆，判断出正确，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴，，， ∴ ，故正确； ∴， 由翻折的性质得， 又∵， ∴，故正确； 过作于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴不能证明平分，故错误； 假设正确，而是直角三角形，若，则， 又，， ∴， 而题干中没有说和的数量关系， ∴也不能被证明，故不正确； 在和 中， ， ，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴四点共圆，故正确； 综上所述，结论正确的是； 故答案为：． 6. 如果有理数a，b满足，则 的值为∶____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负性，有理数的混合运算，根据非负性求出的值，代入式子中，利用裂项相加法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原式 ； 故答案为：． 7. 方程的解为_______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了去绝对值，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握分类讨论的数学思想． 根据绝对值的几何意义分类讨论，然后去掉绝对值，解一元一次方程即可． 【详解】解：①当时，， 解得，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，， 解得，，不符合题意； ④当时，，不符合题意； ⑤当时，， 解得，，不符合题意； ⑥当时，，不符合题意； ⑦当时，， 解得，，符合题意； 综上，或． 8. 如图所示∶已知，现有P点和Q点分别从A，B两点出发相向运动，P点速度为，Q点速度为，当Q到达A点后掉头向C点运动，Q点在向C的运动过程中经过B点时，速度变为，P，Q两点中有一点到达C点时，全部停止运动，那么经过_________s后的距离为． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离、一元一次方程的应用等知识点，掌握运动时分5种情况是解题关键． 设运动的时间为t，①当P、Q在上且P在Q左侧时，根据题意列方程求出时间；②当P、Q在上且P在Q右侧时，根据题意列方程求出时间；③Q到达A时所用的时间为，当Q从A出发还没有到B时，根据题意列方程求出时间；④Q到达B时，根据题意列方程求出时间；⑤Q超过P时，根据题意列方程求出时间． 【详解】解：设运动的时间为t，由题意得：， ①如图①，当P、Q在上且P在Q左侧时， ， 则，解得； ②如图②，当P、Q在上且P在Q右侧时， 则，解得：， ③Q到达A时所用的时间为：， 此时，， 如图③，当Q从A出发还没有到B时， 则，解得：， 但此时，不符合题意， ④如图④，当Q到达B时， 此时所用时间为， 则，解得：； ⑤如图⑤，当Q超过P时， 则，解得：． 综上：当相距时，经过时间为或或或． 二、选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分；9—11小题为单选题，第12小题为多选题） 9. 已知：E、F、G、H分别为四边形四边中点，顺次连接、、、得到四边形，我们把这种四边形叫做中点四边形．有下列说法：①四边形是平行四边形；②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形；③当四边形为矩形时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形；⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①④⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】连接BD、AC，利用中位线的性质得到EH=FG，EF=HG，可判断①；再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断②和③；利用中位线的性质得到EF∥BD，EH∥AC，结合AC⊥BD可得EF⊥EH，可判断④；根据正方形的性质得到BD=AC，BD⊥AC，但不能判定四边形ABCD是正方形，可判断⑤． 【详解】解：连接BD、AC， ∵E、H分别为AD，CD中点， ∴EH=AC， 同理，FG=AC，EF=BD，HG=BD， ∴EH=FG，EF=HG， ∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确； 当四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴EH=EF， ∴平行四边形ABCD是菱形， 而当四边形ABCD是平行四边形时， 不能得出EH=EF， 故②错误，③正确； 当AC⊥BD时， ∵E、F、H分别为AD、AB、CD中点， ∴EFBD，， ∴EF⊥EH，即∠FEH =90°， ∴四边形EFGH是矩形，故④正确； ∵EF=GH=BD，EH=FG=AC，四边形EFGH是正方形， ∴EF=GH=EH=FG，EF⊥EH， ∴BD=AC，BD⊥AC， 不能说明四边形ABCD是正方形，故⑤错误； 故选A． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线的性质，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解本题的关键是判断四边形EFGH是平行四边形． 10. 如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质得，，，易证；再根据，即可求出，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，，， 将沿对折后，点恰好落在上的点处， ，，， ， 又， ， ， ； ， 又点，在矩形的边，边上，且在反比例函数上， 点，， ，， ，， ， ，而， ， 在中，， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理，三角形相似的判定与性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 11. 如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 12. 如图，正方形中，点E在延长线上，点F在边上，，连接交于点M、交于点，连接，，． 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是掌握相似三角形的性质． 过作，交延长线于点，证，得，证，得，因为，可证，所以，即，作，交于点，可得是等腰直角三角形，即，证明，可得，所以，即，过作，交于点，即，因为，，可得，因为，所以是等腰直角三角形，即，可得，因为，所以，可得，即，因为，，可得是等腰直角三角形，所以，即，在上取一点，使得，连接、，证明，可得，证明，可得，，因为，所以，由勾股定理得，，即． 【详解】解：过作，交延长线于点， ∵四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ，， ，， ， ，， ，故A符合题意； 作，交于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，即，故B不符合题意； 过作，交于点， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， 是等腰直角三角形， ， ，故C符合题意； 在上取一点，使得，连接、， ，，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即，故D符合题意； 故答案为：ACD. 三、解答题（共5个题，8+10+10+12+12，共52分） 13. 如图，为的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使 （1）求证：是的切线； （2）若于点F，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及圆周角定理，垂径定理是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质，以及同弧所对的圆周角相等可得，进而可得，然后求出，即可解答； （2）根据垂径定理可得，从而可得，然后设的半径为，在和中，利用勾股定理列出关于的方程，从而求出，然后可得是等边三角形，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 设的半径为， 在中，， 在中，， ， 或（舍去）， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， 阴影部分的面积的面积扇形的面积 ， 阴影部分的面积为． 14. 观察下列各式： ；；…… 由上面的规律： （1）求的值； （2）求的个位数字； （3）你能用其它方法求出 的值吗？ 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)利用规律，将代入计算即可； (2)先分别求得各项，可得各项的末位数的规律，再将余1，从而可得1的个位数字； (3) 设 ，再求得，两式相减即可． 【小问1详解】 解：由题可知∶ ， ； 【小问2详解】 解： ∴(n为自然数) 的个位数字依次为1、3、9、7，且4个数一个周期． 原式共2025个数， ∴余1， 的个位数字为1． 【小问3详解】 解：设 ， 则 ， ． 15. 一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） （1）计算下列各对数的值： ； ； ； （2）观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 【答案】（1），， （2）， （3） （4） 证明：设，， 可得：，， 由幂乘积运算可知：， ，即． 【解析】 【分析】（1）主要掌握幂的运算是关键，利用、和，即可得出结论； （2）结合题意结合幂的乘法法则，利用题中对数的定义得到、和，代入等式，即可得出结论； （3）将（2）中等式替换为字母表示，设为，为和为，即可整理得到一般规律为． （4）设，，利用幂乘积的运算 “底数不变指数相加” 得到，在利用对数转化，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知， ，， ， ，，． 故答案为，，． 【小问2详解】 由（1）可知， ，，， ， ，，，， ． 【小问3详解】 一般规律： ． 【小问4详解】 略 【点睛】本题关键是掌握对数和指数的互相转化，即，转化为，其次，要掌握幂的运算． 16. 在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后判断出平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式时方程只有一个根求解即可； （3）设点E的坐标为，表示出，然后根据相似三角形对应边成比例，分和，和是对应边两种情况列出比例式求解即可． 【小问1详解】 解∶ 二次函数 的图象与x轴交于，两点， 解得， 则二次函数解析式为 ； 【小问2详解】 令，则， 点， 设直线的解析式为， 则 ， 直线的解析式为， 由三角形的面积可知：平行于的直线与二次函数图象只有一个交点时的面积最大， 此时设过点P的直线为， 消掉y得， 整理得，， 此时， ， 解得， ， 点时，的面积最大； 【小问3详解】 存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 理由如下：如图，设点E 的坐标为， 则点Q的坐标为，， ①和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时， 则点Q坐标为； ②和是对应边时， ， ， 即 整理得： （舍去）， 此时，Q点与C点重合，E点与原点重合，即Q的坐标为； 综上所述，存在点或使以点为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，判断出与平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，注意要分情况讨论． 17. 如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值； （3）若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ （4）直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 【答案】（1）当时，；当时， （2）或 （3）t的值为 或 或；相似比分别为： （4） 【解析】 【分析】（1）分点P在边上和点P在边延长线上两种情况解答即可； （2）分与两种情况，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质列方程求解即可； （3）点M为 的中点，，当，，且时，当，，时，当，，且时，当，，且时，分情况讨论即可； （4）连接，由题意得，垂直平分，，，当点落在上时，证明和，当点落在 上时，，，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， 当点P与点C重合时，则， 解得， 当点 Q与点D重合时，则， ∵当点 Q到达点 D时，两点同时停止运动， 当时， ，当时，； 【小问2详解】 解：当时，如图1， ，则， ，即， 解得； 当时，如图2， ， 则， ∵， ∴， ， ，即， 解得： ， 综上所述：t的值为 或 ； 【小问3详解】 解：∵点M为 的中点，， ， ， 当，，且 时， 如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当，，且时，如图， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且时， 如图5， 则，即， 解得，此时，相似比为：； 当时，， 且 时， 如图6， 则，即， 解得，舍去； 综上所述，t的值为 或 或；相似比分别为：． 【小问4详解】 解：连接，如图7， ∵点与点 B关于直线对称， ∴垂直平分， ，， 当点落在上时，如图7， ，，， ， ，，， ， ， ， ， ， ，即， 解得， 当点落在 上时，如图8， ，，， ， ， ， 解得， ∴点落在 内部时t的取值范围是：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理与动点几何问题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年长沙县初中9年级学科素养竞赛 数学（问题卷） 时量：90分钟 总分：100分 请考生注意：答题卡上填写考生信息，将答案填写在答题卡上，考试完毕后只需交答题卡． 一、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如果关于x的不等式组 有且仅有两个整数解，且关于x的分式方程 有正数解，则符合条件的整数m的值有_______． 2. 如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为______________． 3. 如图所示，已知为反比例函数图象上的两点，动点在x轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大值时，点P的坐标是_____________． 4. 如图，已知二次函数与轴交于、，点在轴的与0之间，且、位于原点两侧，与轴的负半轴交于，且点在轴的与之间，顶点在直线上，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的结论有________________（填写序号）． 5. 如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点， 连接．有如下结论：；；平分；；；四点共圆．其中正确的结论有： ______．（填写序号） 6. 如果有理数a，b满足，则 的值为∶____________． 7. 方程的解为_______________． 8. 如图所示∶已知，现有P点和Q点分别从A，B两点出发相向运动，P点速度为，Q点速度为，当Q到达A点后掉头向C点运动，Q点在向C的运动过程中经过B点时，速度变为，P，Q两点中有一点到达C点时，全部停止运动，那么经过_________s后的距离为． 二、选择题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分；9—11小题为单选题，第12小题为多选题） 9. 已知：E、F、G、H分别为四边形四边中点，顺次连接、、、得到四边形，我们把这种四边形叫做中点四边形．有下列说法：①四边形是平行四边形；②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形；③当四边形为矩形时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形；⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①④⑤ C. ①③④⑤ D. ②④⑤ 10. 如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形中，点E在延长线上，点F在边上，，连接交于点M、交于点，连接，，． 下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共5个题，8+10+10+12+12，共52分） 13. 如图，为的直径，点和点是上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使 （1）求证：是的切线； （2）若于点F，，求图中阴影部分的面积． 14. 观察下列各式： ；；…… 由上面的规律： （1）求的值； （2）求的个位数字； （3）你能用其它方法求出 的值吗？ 15. 一般地，个相同的因数相乘记为，如，此时叫做以为底的对数，记为：（（即 ，一般地，若 (且，），则叫做以为底的对数，记为（即）如则叫做以为底的对数，记为：（即） （1）计算下列各对数的值： ； ； ； （2）观察（1）中三数、、之间满足怎样的关系式？，和之间又满足怎样的关系式？ （3）由（2），你能猜想关于对数计算的一个一般性的结论吗？ （4）根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 16. 在平面直角坐标系中，二次函数． 的图象与x轴交于，两点， 与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是x轴上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； （3）点Q是x轴上方的抛物线上一动点，过点Q作垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点 为顶点的三角形与相似？ 若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由． 17. 如图， 在矩形 中，，，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度，沿射线方向运动，动点 Q从点 C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿线段方向运动．点P和点Q同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长； （2）当与矩形的对角线平行时，求t的值； （3）若点 M为的中点，当 t为何值时，以M、P、C为顶点的三角形与相似，相似比为多少？ （4）直接写出点B关于直线的对称点落在内部时t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $