精品解析：河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

河北承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第一学期开学考试高三数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 曲线在点处的切线方程是    A. B. C. D. 2. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 3. 如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，系数最大的项是 A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项与第项 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知数列的前项和为，设，，则（ ） A. B. C. D. 1012 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 12. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 13. 设公差的等差数列中，满足，则的值为________. 14. 袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论： ①抽取2次后停止取球的概率为； ②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为； ③取球次数X的期望为2； ④取球次数X的方差为． 其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. （1）求的值及展开式中项的系数 （2）求展开式中的常数项 16. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 18. 已知数列满足，，且对，都有． （1）设，证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． （3）求数列的前n项和． 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市双滦区实验中学 2025--2026学年第一学期开学考试高三数学测试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 曲线在点处的切线方程是    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求出切线方程的斜率，即可得到切线方程． 【详解】曲线，解得y′=ex+xex，所以在点(0,1)处切线的斜率为1． 曲线在点（0，1）处的切线方程是：y﹣1=x． 即x﹣y+1=0． 故选A． 【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查计算能力 2. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 3. 如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用y关于x的经验回归直线必过中心点,计算即得. 【详解】由，，，，可得， ，， 则y关于x的经验回归直线必过点. 故选：A. 4. 的展开式中，系数最大的项是 A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项与第项 【答案】C 【解析】 【分析】本题中第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大． 【详解】在（1+x）2n（n∈N*）的展开式中，第r+1项的系数与第r+1项的二项式系数相同， 再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有2n+1项，可得第n+1项的系数最大， 故选C． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率、对立事件概率公式直接求解即可. 【详解】 故选：B. 6. 某班要从5名学生中选出2人，在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用排列组合，先选人，再选时间，最后求出乘积即可. 【详解】分步完成， 先从5名学生中选出2人，共有种， 再讲这2人安排到星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，每人至少参加1天志愿活动共有种， 所以一共有种， 故选：B. 7. 已知数列的前项和为，设，，则（ ） A. B. C. D. 1012 【答案】C 【解析】 【分析】由已知推得，进而得出的前几项，观察可得的周期，根据数列的周期性，求和即可得出答案. 【详解】易知，由得. 又， 所以，，， 故数列是以3为最小正周期的周期数列， 所以. 故选：C. 8. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围. 【详解】∵， ∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故， 令，则在单调递增， ， 故. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据排列数与组合数的性质与计算公式一一判定即可. 【详解】根据组合数公式可知，显然两式相等，故A正确； 根据排列数公式可知，故B正确； 易知，显然两式不等，故C错误； ，显然两式相等，故D正确. 故选：ABD 10. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全概率公式判断A，根据条件概率公式求B，根据贝叶斯公式判断C，根据题意判断D. 【详解】A.由题意可知， ，故A正确； B.，故B正确； C.，故C错误； D.由题意可知，，故D正确. 故选：ABD 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 有三个零点 B. 有两个极值点 C. 若方程有三个实数根，则 D. 曲线关于点对称 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D. 【详解】， 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以在有一个零点，共1个零点，A错误； 由A知，函数有两个极值点，故B正确； 由A知，函数在单调递增，单调递减，单调递增， 且时，，时，， 所以方程有三个实数根，需，即，故C正确； 因为，所以点在函数图象上， 又点关于点的对称点为，而， 即不是函数图象上的点， 故函数不关于点对称，故D错误. 故选：BC. 12. 现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（    ） A. 没有空盒子的方法共有24种 B. 可以有空盒子的方法共有256种 C. 恰有1个盒子不放球的方法共有288种 D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A,没有空盒即4个球4个盒子全排列即得； 对于B，可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，依次放球即得； 对于C，恰有一个空盒，即另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，求解即得； 对于D，只需从四盒四球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即得． 【详解】对于A，把4个小球全部放进盒子中，没有空盒子，相当于4个小球在4个盒子上进行全排列， 故共有种方法，故A正确； 对于B，可以有空盒子，因为有4个球，每个球各有4种放法，故共有种方法，故B正确； 对于C，恰有1个盒子不放球，说明另外三个盒子都有球，而球共4个，则必有一个盒子放了2个球， 先将四盒中选一个作为空盒,再将4球中选出2球绑在一起, 再对三个盒子全排共有种方法，故C错误； 对于D，恰有一个小球放入自己编号的盒中，则从四盒四球中选定标号相同的球和盒有种， 另外三球三盒不能对应共2种，则共有种方法，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 13. 设公差的等差数列中，满足，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知条件求得，再利用等差数列的性质化简、，即可求得比值. 【详解】因为为等差数列，所以， 所以，，， 因为，所以， 整理得：，即， 因为，所以，根据等差数列的性质，有： ， ， 所以. 故答案为： 14. 袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，每次任取一个球（不放回），直至取到白球后停止取球，给出下列四个结论： ①抽取2次后停止取球的概率为； ②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的概率为； ③取球次数X的期望为2； ④取球次数X的方差为． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据概率和分布列，期望，方差的计算公式即可求解. 【详解】①抽取2次后停止取球的情况为“第一次是黑球，第二次是白球”，所以概率为，故①错； ②停止取球时，取出的白球个数不少于黑球个数的情况为：“白球1个，黑球0个，第1次是白球”或“白球1个，黑球1个，且第2次是白球”，所以概率和为：，故②正确； ③取球次数X的取值为1，2，3. 所以分布列为 X 1 2 3 P 取球次数X的期望为，故③错误； ④取球次数X的方差故④正确. 故答案为：②④. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. （1）求的值及展开式中项的系数 （2）求展开式中的常数项 【答案】（1），项的系数为；（2） 【解析】 【分析】（1）首先根据二项式系数之和得到，再利用通项求解即可； （2）根据题意得到或，从而得到或，再利用通项求解即可. 【详解】（1）由已知可得， 因为 令， 所以项的系数为. （2）求展开式中的常数项， 即或， 所以或， 故常数项为. 16. 2023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据如下表： 课余学习时间超过两小时 课余学习时间不超过两小时 200名以前 40 200名以后 40 （1）求x的值； （2）依据上表，判断是否有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：参考公式：，其中． a 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）10 （2）有99.9%的把握认为，高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； （3）分布列： X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用样本容量求x的值； （2）利用列联表计算，与临界值比较后得结论； （3）由分层抽样，确定抽取的6人在两层中的人数，由X可能的取值，计算相应的概率，得分布列，利用公式计算数学期望. 【小问1详解】 由题意可得高三12个班级共抽取120名， 所以，解得； 【小问2详解】 零假设：高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩无关， 利用列联表可得， 则没有理由认为零假设成立， 所以有99.90/的把握认为高三学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关； 【小问3详解】 这6人中课余学习时间超过两小时的人数为，课余学习时间不超过两小时的人数为2， X可能的取值为1，2，3， 有；；． 故X的分布列为： X 1 2 3 P ． 17. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． （1）求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； （2）记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； （3）如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 （3）选手乙，理由如下： 设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 【解析】 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【小问1详解】 设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． 【小问2详解】 由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． 【小问3详解】 略 18. 已知数列满足，，且对，都有． （1）设，证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：，， ，即，则数列为等差数列； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由得，根据等差数列的定义可得； （2）由（1）可得时，，利用累加法可得，验证即可； （3）利用错位相减法求和可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， ，又， 当时，，，，， 累加有，则． 也符合上式，所以数列的通项公式为，. 【小问3详解】 ， ①， ②， ①②得 ， ． 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 是上的增函数. 证明：任取，且， ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解. （2）根据单调性定义即可证明. （3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故， 则，， 所以为定义在上的奇函数，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，不等式即， 故， 则令，由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $