精品解析：安徽省六校教育研究会2025-2026学年高一新生入学素质测试数学试题

安徽六校教育研究会2025级高一新生入学素质测试 数学试题 2025.8 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，共33分，1-7每小题3分，8-10每小题4分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中1-7只有一个选项符合题目要求，8-10有多个选项符合题目要求．） 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 2. 2025年“五一”假期，某市推出一系列文化旅游体验活动．据相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客万人次，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都不相同 4. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. 140° B. 150° C. 160° D. 170° 5. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为亩，劣田为亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作，，点在上，连接．若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 请注意：8-10题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －1 D. 2 9. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（ ） A. 与的面积一定相等 B. 与的面积可能相等 C. 一定是锐角三角形 D. 可能是等边三角形 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 11. 若一元二次方程的两根为，，则的值为_____． 12. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘对应的展开式： 【应用体验】 已知，则的值为_____． 13. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是_____． 14. 综合与实践一一硬币滚动中的数学．将两枚半径为的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为的硬币连贯地放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为_____． 三、解答题（共8小题，共55分） 15. 求不等式组：的所有整数解． 16. 综合与实践活动中，要用测角仪测量世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 17. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根方法．例如求的近似值．因为，所以，则可以设成以下两种形式：①，其中；②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为，所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故 【尝试探究】（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 18. 某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1） ____，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是_____； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数和； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 19. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出、两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款200个，款300个，需花费14000元；购进款100个，款200个，需花费8000元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进、两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 21. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，连接，，如果，，，．求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽六校教育研究会2025级高一新生入学素质测试 数学试题 2025.8 注意事项： 1．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，共33分，1-7每小题3分，8-10每小题4分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中1-7只有一个选项符合题目要求，8-10有多个选项符合题目要求．） 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据质量参数意义得解. 【详解】因为某品牌乒乓球产品质量参数是， 且一只乒乓球的质量高于标准质量记作， 所以一只乒乓球的质量低于标准质量记作， 故选：A 2. 2025年“五一”假期，某市推出一系列文化旅游体验活动．据相关部门数据显示，“五一”假日期间，全市共接待游客万人次，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数. 【详解】万. 故选：C. 3. 如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图和俯视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】作出几何体的三视图，即可确定答案. 【详解】由题意可知该几何体的三视图如下： 由此可知主视图与左视图相同，A正确，BCD错误， 故选：A 4. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. 140° B. 150° C. 160° D. 170° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，最后根据对顶角相等计算的值. 【详解】如图, 正六边形的每个内角为 正方形的每个内角为 因为四边形的内角和是 所以， 因为， 所有 故选： 5. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为亩，劣田为亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意分别列出方程，即可得答案. 【详解】设良田为亩，劣田为亩， 由于合买良、劣田1顷（100亩），故； 由题意可知劣田7亩价值500钱，故劣田1亩价值钱， 由于共价值10000钱．故， 即得， 故选：A 6. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形全等、三角形相似及角平分线的特征可判断选项. 【详解】由步骤①，；由步骤②，； 由步骤③，，； 所以，故，所以A不一定正确； 若，需满足， 由选项A分析可得，，不一定成立，矛盾，故B不一定正确； 由选项A可知，. 因为， 而是角平分线，所以. 所以，所以，所以D正确. 因为，，所以与相似， 所以，因为，所以， 若，则，通过题目条件无法判断一定成立. 故选：D 7. 如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作，，点在上，连接．若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建系做辅助线，根据相似三角形的性质得出点是在以点为圆心，为半径的圆上，结合线段和性质可得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系， 设BD的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K， 连接BH,FH，AG，EG，则， 因为正方形ABCD边长为6，所以，； 所以，即有. 因为，所以，即四点共圆， 所以； 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以与相似， 所以，即点是在以点为圆心，为半径的圆上； 因为，所以，所以， 所以，从而可得， 因为，所以当点在上时，取得最小值， 最小值为. 故选：D 请注意：8-10题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. 0 B. 3 C. －1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分式的限制条件和方程无解的特点可求答案. 【详解】由题意可知，等式两边同乘，整理可得， 当时，即时，方程无解； 当时，，若此时则方程无解，由解得； 故选：BC 9. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（ ） A. 与的面积一定相等 B. 与的面积可能相等 C. 一定是锐角三角形 D. 可能是等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】通过设点坐标，利用反比例函数表达式求出相关线段长度，进而计算三角形面积来判断各选项的正确性. 【详解】设点坐标为，点坐标为， 则， ，， ， ， ，故A正确； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，重合，与题意不符，故B错误； 当在的同侧时，可能是钝角三角形，C错误； 等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，D正确； 如图： 故选：AD. 10. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴可判断A；判断的正负可判断B；结合抛物线的性质以及函数值可判断CD； 【详解】由于抛物线的对称轴为直线，故,即，A正确； 由题意知时，，时，，即在抛物线对称轴左侧y随x增大而减小， 故可知抛物线开口向上，可得，B正确； 结合B的分析，由于，故-2对应的函数值大于-1对应的函数值， 即，即，C错误； 由于，且，故，即，D正确， 故选：ABD 二、填空题（共4小题，每题3分，共12分） 11. 若一元二次方程的两根为，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先，根据一元二次方程根的定义，将代入方程，得到关于的等式，然后对所求式子进行变形，再利用根与系数的关系求出的值，最后代入计算. 【详解】因为是方程的根，所以将代入方程可得：， 移项得到：，进一步变形为：， 根据韦达定理可得：， 将代入， 可得：， 把代入上式得： . 故答案为：. 12. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘对应的展开式： 【应用体验】 已知，则的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】对照例子的特点令可得答案. 【详解】因为，所以令， 则，所以. 故答案为：8 13. 已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是_____． 【答案】或， 【解析】 【分析】讨论角的顶点的位置，结合正五边形的内角的度数以及三角形内角和，即可求得答案. 【详解】当角的顶点在圆上时，如图，圆交的两边截取的两条弦为， 此时恰好为正五边形的一个内角，则； 当角的顶点在圆外时，如图，圆交的两边截取的两条弦为， 此时，则， 故， 故所求角的大小是或， 故答案为：或 14. 综合与实践一一硬币滚动中的数学．将两枚半径为的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为的硬币连贯地放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用弧长公式分别计算图3和图4中深色硬币的圆心移动路径长，求出比值，即得答案. 【详解】对于图3，如图示，依题意得， 则为等边三角形，则， 同理得为等边三角形， 则, ，同理， 故的弧长为， 的弧长为， 的弧长为， 的弧长为， 故图3中深色硬币的圆心移动路径长为； 对于图4，如图示： 依题意知，则为等边三角形， 则， 同理得为等边三角形， 则的弧长为， 的弧长为， 的弧长为， 故图4中深色硬币的圆心移动路径长为， 故在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为， 故答案为： 三、解答题（共8小题，共55分） 15. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】分别求解两个不等式，结合解集可得答案. 【详解】由可得；由可得； 所以的整数为. 16. 综合与实践活动中，要用测角仪测量世纪钟建筑的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】40 【解析】 【分析】利用直角三角形中正切的含义得出方程组，求解方程组可得答案. 【详解】延长交于，设， 则由正切的定义可得，由参考数据可得， 解得，所以. 故世纪钟建筑的高度为40. 17. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根方法．例如求的近似值．因为，所以，则可以设成以下两种形式：①，其中；②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为，所以，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即，得，故 【尝试探究】（1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】（2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）8.22；（2）用①的形式，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设，两边平方后近似计算，即可求得答案； （2）将两种方式求得近似值平方，比较大小，即可得结论. 【详解】（1）设，其中． 则，即． 因为比较小，将忽略不计，所以，即， 得，故. （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下： ，而， 故用①的形式得出的的近似值的精确度更高. 18. 某市教育综合实践基地开设有A：巧手木艺；B：创意缝纫；C：快乐种植；D：美味烹饪；E：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表． 课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护 人数 6 12 18 根据图表信息，回答下列问题： （1） ____，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是_____； （2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数和； （3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率． 【答案】（1）15； （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽样的总人数，即可分析计算求解； （2）根据该校八年级最喜欢两门课程的学生人数占的比例即可求得答案； （3）确定随机选择两门所有的可能情况，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得随机抽样的总人数为， 参加D：美味烹饪的人数占比为，故； 扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应的人数为； 所以扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是； 【小问2详解】 由（1）可知该校八年级最喜欢两门课程的学生人数占的比例分别为，， 故估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数和为； 【小问3详解】 小明同学从四门课程中随机选择两门，共有共6种可能， 故恰好选中两门课程的概率为. 19. 如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 由题意可知为圆的切线，故，则, 又，，故, 故，即为等腰直角三角形， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线的性质结合圆的性质，即可证明结论； （2）由题意求出相关线段的长，设， 在中利用勾股定理列式求解，即得答案. 【小问1详解】 证明：由题意可知为圆的切线，故，则, 又，，故, 故，即为等腰直角三角形， 故. 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）可知，则， 结合（1）知，. 连接，如图： 设，则， 在中，，即， 解得，即的半径为. 20. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出、两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进款200个，款300个，需花费14000元；购进款100个，款200个，需花费8000元． （1）求两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进、两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个款纪念品售价元，表示该商家销售款纪念品的利润（单位：元），求关于的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】（1）40元，20元 （2）200 （3），4500元 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组，求解即可； （2）由题意列出不等式，求解即可； （3）由题意可列出关于的函数表达式，结合二次函数性质，可求得W的最大值，即得答案. 【小问1详解】 设两款“哪吒”纪念品每个进价分别为x元，y元， 则，解得， 即设两款“哪吒”纪念品每个进价分别为40元，20元. 【小问2详解】 设需要购进款纪念品m个，则要购进A款纪念品个， 由（1）知两款“哪吒”纪念品每个进价分别为40元，20元， 则由题意得，解得， 故至少需要购进款纪念品200个. 【小问3详解】 由（1）知两款“哪吒”纪念品每个进价分别为40元，20元， 由题意得 ，， 故当时，取到最大值为4500， 即时，W最大，最大值为4500元. 所以关于的函数表达式为， 的最大值为4500元.． 21. 在平行四边形中，，分别为边，上两点． （1）当是边中点时， ①如图（1），连接，如果，求证：； ②如图（2），如果，连接，交边于点，求的值； （2）如图（3）所示，连接，，如果，，，．求的长． 【答案】（1） ①如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， 是边BC中点，，，， ， ； ②； （2）. 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，逐步推导各问的结论. 【小问1详解】 ①略 ②如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ， ， 是边BC中点，， 设，则， ， ，； ，， 设，则， ； 【小问2详解】 如图所示，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ，， 又； ， ， ， ， 设，， ，即， ， ，即， ， ； ，，即， ，解得或（舍去）， . 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，坐标为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点和对称轴公式列方程组求出即可； （2）根据题意解出直线方程，讨论左右平移时与线段的交点即可求解； （3）解法一：先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可；解法二：分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，由轴可知平分时，代入斜率公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点，且对称轴为直线， 所以，解得， 所以抛物线的解析式为. 【小问2详解】 当时，直线为， 令解得，令解得，所以，， 所以，将代入解得，所以直线方程为， 因为抛物线可由平移得到， 当点在抛物线上，由解得或， 结合图象可知至多向右平移个单位， 当的图象向左平移至与有一个交点时， 联立得， 令解得， 此时由解得，即交点坐标为，在线段上， 结合图象可知至多向左平移个单位， 综上的取值范围为. 【小问3详解】 解法一：因为直线，所以当时，，即， （根据对称性在这里不妨只考虑的情况） 因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上， 因为过点，且与直线垂直，所以， 设直线的解析式为，将代入得，故， 在直线上取点，,在上取点，使，作轴，轴， 则，， ，,所以 所以， 所以，则，， 所以，解得， 所以直线的解析式为，即：， 联立整理，得， 所以，， 由为的中点，得， 联立，同理可得， 假设存在点，设，使得总是平分， 如图，作， 因为平分，所以，故， 所以，则， 由于要在的同一侧，故 同正或者同负，解得 所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 解法二：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为，且，所以， 又直线过点，所以直线方程为， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为轴，所以平分时,， 设，则， 所以对任意恒成立时，解得， 所以存在定点使得总是平分，其坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $