精品解析：安徽省桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期学科竞赛数学试题

桐城二中2024年五科总分赛数学试题 本试卷满分150分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题5分，共6小题，共30分） 1. 若实数，，满足，且，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，先通过已知条件判断的正负性，再根据一次函数的性质确定其图象经过的象限，从而得出一定不经过的象限． 【详解】解： 实数，，满足， 则有 一次函数图象经过第二、三、四象限 故一次函数的图象一定不经过第一象限 故选：A． 2. 已知，则与最接近的整数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平方差公式可得，结合可得，进而求出，再根据无理数的估算即可得出结论． 【详解】解：， 又∵①， ∴②， 得，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3． 故选：B． 3. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到，，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接， 则：为直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 4. 设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、等边三角形的性质．利用配方法把二次函数的解析式写成顶点坐标式，可得顶点的坐标为，从而可知顶点到坐标轴的距离，利用一元二次方程根与系数的关系求出，根据等三角形的性质可得，得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出等边三角形的底边与高，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】记抛物线的对称轴交轴于点， 二次函数， 顶点的坐标为， ， 设抛物线与轴的两个交点为，， 则，， ， 为等边三角形， ， 即， 当时， 解得：或， 当时， 解得：或， 或（舍去）， ，， ． 故选：C． 5. 如图，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于点，作轴于点，连接，则有，根据反比例函数的对称性可得，结合得到，进而推出，利用相似三角形的性质以及正切的定义可得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，连接， 则有， ∴， 由题意得，点关于原点对称， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上，点始终在函数的图象上运动， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6. 如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 二、填空题（每小题5分，共8小题，共40分） 7. 8点15分，时针与分针的夹角是______________． 【答案】157°30′ 【解析】 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．再进行度、分的换算． 【详解】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， ∴钟表上8点15分，时针与分针的夹角可以看成5×30°+0.5°×15=157.5°． 又∵0.5°×60=30′， ∴时钟上8点15分时，时针与分针所夹的角度是157° 30′． 【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系来解决问题. 8. 已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入二次函数关系式即可求解． 【详解】解：∵，是二次函数图象上不同两点， ∴关于对称轴直线对称， ∴， ∴， 当时， ． 故答案为：2023． 9. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 解得：， 即且， 解得：且 ∴a的取值范围是，且 ∴a可以取：1，3， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 10. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____． 【答案】 【解析】 【详解】解：作EF⊥BC于F， 如图，设DE=CE=a， ∵△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=CE=a，∠DCE=45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴CB=CD=a，∠BCD=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴CF=EF=CE=a， 在Rt△BEF中，tan∠EBF===， 即∠EBC=． 故答案为． 11. 不透明的袋子中有大小相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现从袋中摸出15个球，则摸出的球中恰好有3个红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算、排列组合问题，用组合数表示出所有等可能的情况和符合题意的情况是解题的关键．根据题意可知，从袋中摸出15个球，所有等可能的情况有种，摸出的球中恰好有3个红球的情况有种，再根据概率的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，袋子中有5个红球，13个黑球或白球，共有18个球， 从袋中摸出15个球，所有等可能的情况有种， 摸出的球中恰好有3个红球的情况有种， ∴摸出的球中恰好有3个红球的概率是． 故答案为：． 12. 某前驱式汽车，现有两对全新轮胎，每对轮胎若安装在前轮，则行驶公里后报废；若安装在后轮，则行驶公里后报废．为了延长总使用里程，可以行驶一段路程后交换前、后两对轮胎，那么最多可行驶______公里． 【答案】 【解析】 【分析】设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了．根据题意列出一元一次不等式组即可求解． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了，交换位置后走了． 由题意得：，且， 两式相加，得， 所以， 即最多可行驶． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出一元一次不等式组是解题的关键． 13. 设自然数m，n，，且，则__________． 【答案】16 【解析】 【分析】由已知条件可得，整理得，从而可得且，解得，再根据条件得出，求出m，n的值，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即有正整数解， ∴且， ∴且， 解得：， 又∵， ∵自然数m，n，， ∴， 解得：， ∴ 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 14. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】作于H，于 G，作于M，由等腰三角形三线合一可得，再证，计算出，，设，通过证明，可得，从而用含x的二次函数表示出，化为顶点式即可求解． 【详解】解：作于H，于 G，作于M，如图： ∵，， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴，即， ∴，， 设，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴当时，最大， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解． 三、解答题（共5题，共计80分，解答应写出文字说明，证明过程等解题步骤） 15. 已知，为实数，关于的方程恰有三个不相等的实数根． （1）求证： （2）若该方程的三个不等实根恰为某三角形的三内角的角度．求证：该三角形中必有一内角为． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴或， 设这两个方程的判别式分别为，， 则，， ∴恒成立， ∵恰有三个不相等的实数根， ∴，， ∴； （2） 证明：设方程的根为，的两个根为，， 由根与系数的关系得，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴该三角形中必有一内角为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得或，设这两个方程的判别式为，，通过计算可得恒成立，再由恰有三个不相等的实数根，可得，，即可证明； （2）设方程的根为，的两个根为，，根据根与系数的关系可得，，则，再利用三角形内角和定理得到，解得，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 刘勰在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生文辞，运裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式是，可以用来无理式的有理化．请运用上述方法解决以下问题： （1）已知实数，满足，求的值． （2）求不超过的最大整数． 【答案】（1）2024 （2）3903 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、不等式的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平方差公式可得，结合得到，同理可得，将这两个等式相加，整理得到，即可求解； （2）设，，进而求出，，再利用完全平方公式得到，进而求得，再由，得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴①， 同理可得，②， 得，， 整理得：， ∴； 【小问2详解】 解：设，， 则，， ∴， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 解得， ∴不超过的最大整数为3903， ∴不超过的最大整数为3903． 17. 如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】（1）利用三角形内心的定义可得，，利用同弧所对的圆周角相等得到，再利用三角形外角的性质可得，即可证明； （2）过点作于点，由得到，利用垂径定理的推论证得，则有，，进而推出，得到，再利用三角形内心的性质得到，再结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的内心，即点是内切圆的圆心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆综合问题，涉及圆周角定理、等角对等边、垂径定理、三角形的内心、全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形内心的定义及性质是解题的关键． 18. 爱好思考的小强同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3，，是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”，设，，． 【特例探究】 （1）如图1，当，时，_____，_____；如图2，当，时，_____，_____． 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，点E，F分别是，的三等分点，且，，连接，，，与交于点，若，，，求的长． 【答案】（1），，，； （2），证明如下： ∵， ∴， ∴，，， ∵，是的中线， ∴点是的重心， ∴，， ∴ ， ， ∴， 即； （3）4 【解析】 【分析】（1）利用解直角三角形的知识求出的长，再根据三角形重心的定义得出点是的重心，利用重心的性质得到的长，再利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）利用勾股定理得到，，，利用重心的性质得到，，再计算即可得出结论； （3）延长与交于点，延长至使得，连接，延长交于点，利用平行四边形的性质得到，，推出，进而得到，，得出点是的重心，结合（2）中的结论求出，再证明即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 当，时， ∵ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，是的中线， ∴点是的重心， ∴，， ∴，， ∴，， 即，； 当，时， ∵在中，，， ∴，， ∵，是的中线， ∴点是的重心， ∴，， ∴，， ∴，， 即，； 故答案为：，，，； （2）略 （3）如图，延长与交于点，延长至使得，连接，延长交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴点是的重心， ∴，是的中线， ∵， ∴， 由（2）中的结论得，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形重心的性质与判定、相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质，熟练掌握三角形重心的性质是解题的关键． 19. 【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 （1）当时，函数有最_____值为_____，此时_____． （2）已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． （3）如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 【答案】（1）小；；； （2）周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； （3）①点；②的最大值是1． 【解析】 【分析】（1）根据题意把式子变成题目中举例的形式，运用整体思想，把两个变量进行整体变换，再根据题目中的例子得到答案即可； （2）先根据扇形的面积公式得到圆心角和半径的关系，再根据扇形周长公式列出等式，把上面的关系代入即可得到题目中举例的性质即可解决问题； （3）①先根据一次函数和反比例函数的交点问题得到交点坐标，再根据将军饮马模型得到点，根据一次函数待定系数法求出直线解析式即可得到点的坐标，即可解决问题； ②根据题意先设出点和点的坐标，用含的式子表示出的长度，把式子变成题目中举例的形式即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 令 ∴ 由题意可知：当，有最小值是 ∴ 故答案为：小，4，3； 【小问2详解】 解：设扇形的半径为，圆心角为，则 即， ∴扇形的周长， 由上可知：当即时，扇形的周长有最小值为． 故扇形周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； 【小问3详解】 ①解：由题意可得：， 解得：或， 经检验：或都是原方程的解， ∴，， 如图，作点关于轴的对称点， ∴， 连接交轴于点， 设直线的表达式为， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， 令时，， 解得：， ∴点； ②由题可设点，点， 由题可得：， 即， 则当时，则， ∴， 故的最大值是1． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数，将军饮马模型，不等式的计算等知识点，解决此题的关键是合理的利用题目中举例的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桐城二中2024年五科总分赛数学试题 本试卷满分150分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题5分，共6小题，共30分） 1. 若实数，，满足，且，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则与最接近的整数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（每小题5分，共8小题，共40分） 7. 8点15分，时针与分针的夹角是______________． 8. 已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 9. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 10. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____． 11. 不透明的袋子中有大小相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现从袋中摸出15个球，则摸出的球中恰好有3个红球的概率是_____． 12. 某前驱式汽车，现有两对全新轮胎，每对轮胎若安装在前轮，则行驶公里后报废；若安装在后轮，则行驶公里后报废．为了延长总使用里程，可以行驶一段路程后交换前、后两对轮胎，那么最多可行驶______公里． 13. 设自然数m，n，，且，则__________． 14. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 三、解答题（共5题，共计80分，解答应写出文字说明，证明过程等解题步骤） 15. 已知，为实数，关于的方程恰有三个不相等的实数根． （1）求证： （2）若该方程的三个不等实根恰为某三角形的三内角的角度．求证：该三角形中必有一内角为． 16. 刘勰在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生文辞，运裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式是，可以用来无理式的有理化．请运用上述方法解决以下问题： （1）已知实数，满足，求的值． （2）求不超过的最大整数． 17. 如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的长． 18. 爱好思考的小强同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3，，是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”，设，，． 【特例探究】 （1）如图1，当，时，_____，_____；如图2，当，时，_____，_____． 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，点E，F分别是，的三等分点，且，，连接，，，与交于点，若，，，求的长． 19. 【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 （1）当时，函数有最_____值为_____，此时_____． （2）已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． （3）如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $