九下 第1章 专题5 二次函数与几何图形的综合-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)

该初中数学课件聚焦九年级下册二次函数与几何图形综合，涵盖面积计算、特殊三角形及四边形问题。通过典例从二次函数平移、顶点坐标入手，结合“学霸说”搭建函数与几何的连接支架，变式训练巩固知识脉络。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，如典例2等腰三角形分类讨论培养推理能力，变式1坐标求面积发展几何直观。采用“典例-变式-总结”模式，“学霸说”提炼方法，助力学生提升综合解题能力，为教师提供系统教学资源。

九年级下册 第1章 二次函数 专题5　二次函数与几何图形的综合 1 类型1 与几何图形面积相关的问题 典例1　若把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=-3（x-h）2，且知抛物线y=a（x-4）2的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线y=-3（x-h）2的顶点为M，则S△MAB=________. 学霸说 （1）已知二次函数的表达式，求其图象上三点所围成的三角形的面积，常结合二次函数图象上点的坐标特征及三角形面积公式求解. （2）本题中，利用二次函数的平移规律求得h=________，再根据平移后的顶点式中的点的坐标特征，结合三角形的面积公式求解即可. 【答案】 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 -2 144 2 1. 如图，抛物线y=a（x+2）2+3（a<0） 与y轴正半轴交于点A，过点A作AB⫽x轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴交抛物线于点M，交x轴于点N，连接MA，MB，NA，NB，则四边形ANBM的面积. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 【解】由题意得，抛物线y=a（x+2）2+3的顶点坐标为（−2，3），对称轴为直线x=−2. ∵AB⫽x轴，∴AB=2×2=4，∴四边形ANBM的面积=AB·MN=×4×3=6. 3 类型2 与特殊三角形相关的问题 典例2　已知抛物线y=ax²+bx−3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E. （1）求抛物线的表达式. （2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物 线和直线BC于点F，G，连接CF，使△FCG是等腰三角形，直接 写出P的横坐标. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 学霸说 （1）等腰三角形存在性问题：一般先分类讨论，确定哪两条边为腰，再利用两边相等列方程求解. （2）本题中，可分______种情况讨论，即FG=______，FG=______，FC=______，再利用线段的长度相等列方程求解. 3 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 FC GC GC 【规范解答】 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 （1）将点A，B的坐标代入抛物线表达式， 得解得 ∴抛物线的表达式为y=−x2+4x−3. （2）由（1）可知C（0，-3），易得lBC：y=x-3.设点P的横坐标为m， ∴F（m，−m2+4m−3），G（m，m−3）， 则FG2=（−m²+4m−3+3−m）²=（m²−3m）²，FC²=（m²−4m）²+m²，GC²=2m². 当FG=FC时，（m²−3m）²=m²+（m²−4m）²，解得m=0（舍去）或m=4； 当FG=GC时，（m²−3m）²=2m²，解得m=0（舍去）或m=3±； 当FC=GC时，（m²−4m）²+m²=2m²，解得m=0（舍去）或m=5或m=3（舍去）. 综上所述，点P的横坐标为5或4或3+或3-. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 2. 如图，抛物线y=x2-6x+k（k>0）与y轴交于点A，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⫽x轴，以AB为边向下作等边三角形ABC，则点C到抛物线顶点的距离是________. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 9-3 类型3 与特殊四边形相关的问题 典例3　已知二次函数y=ax²+4ax+4a−1（a≠0）的图象是C1. （1）写出抛物线C1的顶点坐标，并写出C1关于点R（1，0）中心对称的图象C2的函数表达式. （2）如图，当a=1时，抛物线C1与x轴相交于点C，D（C在D的右 侧），与y轴相交于点A. 设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系 中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？ 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 学霸说 （1）有关特殊平行四边形的存在性问题，要充分利用特殊平行四边形自身（角、边或对角线）的性质解题，注意字母顺序不同时表示的图形不同. （2）本题第（2）问先求出点____和点____的坐标，通过分类讨论，利用菱形四条边都相等的性质得到点N的坐标. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 A C 【规范解答】 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 （1）∵C1：y=ax²+4ax+4a−1=a（x+2）²−1， ∴图象C1的顶点坐标是（−2，−1）. ∵C1与C2的开口大小相同且方向相反， 顶点关于R（1，0）对称， ∴抛物线C2的函数表达式为y=−a（x−4）²+1=−ax²+8ax−16a+1. （2）存在这样的点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形. 理由如下：∵a=1，∴抛物线C1的表达式为y=x²+4x+3， 当x=0时，y=3，∴A（0，3），OA=3. 当y=0时，x²+4x+3=0，解得x1=−3，x2=−1. ∵点C在点D的右侧，∴C（−1，0），OC=1. ∴AC===. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 ①当M（1，0），要使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，则N（0，−3）； ②当AN⫽x轴，要使以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，则AN=AC=， 当点N在点A左侧时，N（−，3）；当点N在点A右侧时，N（，3）. 综上，存在这样的点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形， N点坐标为（0，−3）或（−，3）或（，3）. 3. （永州阶段练习）将抛物线C1：y=−x²+沿x轴翻折，得到抛物线C2，如图所示. （1）请直接写出抛物线C2的表达式. （2）现将抛物线C1向左平移m个单位，平移后得到新抛物线的 顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B. 将抛物线C2向右 平移m个单位，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点 从左到右依次为D，E. 在平移过程中，是否存在以点A，N，E， 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 【解】（1）由题意及翻折可知，C2：y=x²−. （2）存在. 理由如下：依题意，得M（−m，），N（m，−）， 即点M，N关于原点O对称，∴OM=ON. ∵A（−1−m，0），E（1+m，0），∴点A，E关于原点O对称，∴OA=OE， ∴四边形ANEM为平行四边形. ∵AM²=（−m+1+m）²+（）²=4，ME²=（1+m+m）²+（-）²=4m²+4m+4， AE²=（1+m+1+m）²=4m²+8m+4， 若AM²+ME²=AE²，则4+4m²+4m+4=4m²+8m+4，∴m=1， 此时△AME是直角三角形，且∠AME=90°， ∴当m=1时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $$