九上 第4章 专题4 解直角三角形的常见题型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)

九年级上册 第4章 锐角三角函数 专题4　解直角三角形的常见题型 1 类型1 “背靠背”型 典例1　（怀化中考）轮船从B处以每小时50海里的速度沿 南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向 上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60° 方向上，则C处与灯塔A的距离是 （　　） A. 25海里 B. 25海里 C. 50海里 D. 25海里 学霸说 先根据已知条件判定△ABC为__________三角形，进而可以通过解直角三角形求解. 【答案】 典例1 等腰直角 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 D 2 1. （新情境 楚风湘韵）张吉怀高铁怀化段修建过程中需要经过一座小山. 如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A，C，D共线）处同时施工. 测得∠CAB=30°，AB=4 km，∠ABD=105°，求BD的长. 变式训练 【解】作BE⊥AD于点E，如图，∵∠CAB=30°，AB=4 km， ∴∠ABE=60°，BE=2 km. ∵∠ABD=105°，∴∠EBD=45°， ∴∠EDB=45°，∴BE=DE=2 km，∴BD==2（km）， 即BD的长是2 km. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 3 类型2 “母抱子”型 典例2　（广西北海校级阶段练习）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO=70°，如果梯子的底端 B外移到D，则梯子顶端A下移到C，这时又测得∠CDO=50°，那么 AC的长度约为________米. （参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈ 0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64） 学霸说 已知直角三角形的一个角和斜边长，解直角三角形，通过解Rt△ABO得AO≈________米，通过解Rt△COD得CO≈________米，则AC=AO-CO即可得到结果. 【答案】 5.64 1.02 0.77 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 2. （贵州黔南州校级期末）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30°，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1 ∶ 0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，≈1.73，结果保留整数）. 变式训练 【解】设山高BC=x米，则AB=x米，∴tan 30°==， 解得x=≈162. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 类型3 直角三角形与矩形结合 典例3　（郴州校级阶段练习）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的 高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6 m的位置，在D处测得 旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5 m，则旗杆AB的高度约 为________m. （精确到0.1 m. 参考数据： sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60， tan 53°≈1.33） 学霸说 过点D作DE⊥AB，得直角三角形ADE和矩形CDEB，解直角三角形ADE得________的长，AB=AE+BE即可得解. 【答案】 AE 9.5 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 3. （安徽马鞍山模拟）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，∠DCE=30°，DE⊥CE，楼AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角 为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C， E在同一直线上. （1）求坡底C点到大楼距离AC的值； （2）求斜坡CD的长度. 变式训练 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 【解】（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠BCA=60°，AB=60米，则AC===20（米）. 答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米. （2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DEAF为矩形， 设CD=2x，则DE=x，CE=x，∴AF=DE=x. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 在Rt△BDF中，∵∠BDF=45°，∴BF=DF. 又∵BF=AB-AF=60-x，DF=AE=AC+CE=20+x， ∴60-x=20+x，解得x=40-60， ∴CD=2x=80-120，∴CD的长为（80-120）米. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 类型4 延长四边形一边，构造直角三角形 典例4　（广西贵港校级阶段练习）如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时平行光照射下，测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 （　　） A. 9米 B. 28米 C. （7+）米 D. （14+2）米 学霸说 通过作辅助线得到直角三角形________，解这个直角三角形即可求出电线杆的高度. 【答案】 ABF D 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 4. 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上. 如果CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4 m，BC=（4-2） m，求电线杆AB的长. 变式训练 【解】如图，延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F. ∵∠DCF=45°，CD=4 m，∴CF=DF=2 m. 由题意知AB⊥BC，∴∠EDF=∠A=60°，∴∠DEF=30°， 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 ∴EF=2 m，∴BE=BC+CF+FE=6 m. 在Rt△ABE中，∠E=30°， ∴AB=BE·tan 30°=6×=6（m）. 答：电线杆AB的长为6 m. 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典型4 变式4 绿卡图书—走向成功的通行证 13 $$