九上 4.4 第2课时 坡度问题、方位角问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)

九年级上册 第4章 锐角三角函数 4.4　解直角三角形的应用 第2课时　坡度与方位角问题 1 练基础 练提升 练素养 2 练基础 知识点1 解与坡度有关的直角三角形 1. （张家界校级阶段练习）如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 m，坝高12 m，斜坡AB的坡度i=1 ∶1.5，则坝底 AD的长度为 （　　） A. 26 m B. 28 m C. 30 m D. 46 m D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 3 2. （贵州铜仁校级阶段练习）某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1 ∶ 1.8改为1 ∶ 2.4（如图）. 如果改动后电梯的坡面长为13 m，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长. 【解】在Rt△ADC中，∵AD ∶DC=1 ∶ 2.4，AC=13 m， 由AD2+DC2=AC2，得AD2+（2.4AD）2=132. ∴AD=5 m（负值不合题意，舍去）. ∴DC=12 m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 4 在Rt△ABD中，∵AD ∶BD=1 ∶1.8，∴BD=5×1.8=9（m）. ∴BC=DC-BD=12-9=3（m）. 答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3 m . 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 3.（广西来宾校级阶段练习）如图，铁路路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1 ∶，BE为3 m，基面AD宽2 m，求路基的高AE，基底的宽BC及坡角∠B的度数（答案可带根号）. 【解】如图，过点D作DF⊥BC于点F， 则四边形AEFD是矩形，故AD=EF=2 m. ∵斜坡AB的坡度为1 ∶，∴tan B===，∴∠B=30°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 6 又∵BE=3 m，∴AE=×3=3（m）. 又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴CF=BE=3 m， ∴基底的宽BC=2BE+EF=（6+2）m. 故路基的高AE是3 m，基底的宽BC是（6+2）m，坡角∠B是30°. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 4. （山东东营中考）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为________km. 知识点2 解与方位角有关的直角三角形 50 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 8 5. （常德校级阶段练习）如图，C，D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6 km，求湖AB的宽度. 【解】过C作CE⊥BD于E，如图，则CE=AB. 在Rt△CED中，∠ECD=30°，CD=6 km， 则CE=CD·cos 30°=3 km. ∴AB=3 km. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 9 6. （新情境 生产生活）一艘观光游船从港口A以北偏东60°方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以每小时40海里的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的 大约时间. （参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6） 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 10 【解】如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 由题意CD=AC·sin∠CAB=80×sin 30°=40（海里）， 因为sin∠CBD=. ∴BC==≈50（海里）， 50÷40=1.25（时），即大约需要1.25时. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 练提升 7.（天津期末）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1 ∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25 m，与亭子距离CE=20 m，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高. 【解】如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G， 作EH⊥AB于点H. 易知EG=10 m，CG=10 m， EH=（25+10）m，△AEH为等腰直角三角形， 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 ∴AH=HE=（25+10）m，AB=AH+HB=（25+10+10）m， 即楼房AB高（35+10）m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 8. （山东德州校级期末）如图，我国某渔政船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业，若渔政船航向不变，航行半小时后到达B点，观测到渔船C在 东北方向上. 问：渔政船再按原航向航行多长时间，离 渔船C的距离最近（渔船C捕鱼时移动距离忽略不计， 结果不取近似值）？ 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 14 【解】如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. 则CD=AC·sin 30°=AC，AD==AC. 易知BD=CD=AC，又AB=AD-BD=AC-AC=AC，∴AB ∶BD=（-1） ∶ 1，即BD=AB，×=. 答：渔政船再按原航向航行小时，离渔船C的距离最近. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 9. 某通信公司为了提升网络信号，在坡度为i=1 ∶ 2.4的山坡AD上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9 m. 同时为了提醒市民，在距斜坡底A处4.4 m的水平地面上立了一块警示牌MN. 当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3 m. （1）求点Q所在位置的铅直高度； （2）请计算信号塔PQ的高度大约为多少米．（参考数据： sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，结果精确到0.1 m） 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 16 【解】（1）如图，过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA. ∵QA=3.9 m，QG ∶AG=1 ∶2.4，∴设QG=x，则AG=2.4x，∴x2+（2.4x）2=3.92，解得x=1.5（负值舍去），∴点Q所在位置的铅直高度为1.5 m. （2）由（1）知QG=1.5 m，∴AG=2.4x=3.6 m，∴EF=NG=3.6+4.4=8（m），故tan 53°==≈1.33，解得PF≈10.6. ∵FQ=EN-QG=3-1.5=1.5（m），∴信号塔PQ的高约为PQ=10.6+1.5=12.1（m）. ∴信号塔PQ的高度大约为12.1 m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 练素养 10. （新情境 生产生活）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°. 已知A点的高度AB=3 m. 台阶AC的坡度为1 ∶（即 AB ∶BC=1 ∶），且B，C，E三点在同一条直线上. 请 根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 【解】如图，过点A作AF⊥DE于点F. ∴AF=BE，EF=AB=3 m，设DE=x， 在Rt△CDE中，CE===x. 在Rt△ABC中，∵=，AB=3 m， ∴BC=3 m. 在Rt△AFD中，DF=DE-EF=x-3，∴AF===（x-3）. ∵AF=BE=BC+CE，∴（x-3）=3+x，解得x=9. 答：树DE的高度为9 m. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$