九上 4.2 正切 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)
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教辅
内容正文：
九年级上册 第4章 锐角三角函数
4.2 正 切
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练基础
练提升
练素养
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练基础
知识点1 正切的定义
1. （教材P119第1题改编）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tan A的值为 （ ）
A. B.
C. D.
B
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2.（湘潭校级期末）已知：tan（α-30°）=1，则锐角α的度数为________.
75°
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3. （邵阳校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AB=10，则tan A=______.
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4. （教材P120第2题改编）如图，P（12，a）在反比例函数y=的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为________.
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5. （新趋势 多模块综合）等腰三角形的腰长为1 cm，底边长为 cm，则它的底角的正切值为________.
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知识点2 利用计算器求正切值
6. 用计算器求tan 30°36'的值. （精确到0.000 1）
【解】tan 30°36'≈0.591 4.
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知识点3 锐角三角函数
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是 （ ）
A. sin A= B. cos A=
C. tan A= D. tan B=
B
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8. 在△ABC中，∠C=90°. 若tan A=，则sin B=________.
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A=，求BC的长和tan B的值.
【解】在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=10，sin A=，∴=，
∴BC=6，AC===8，
∴tan B===.
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【解】2sin 30°-3tan 45°·sin 45°+4cos 60°=2×-3×1×+4×=1-+2=3-.
原式=+×=+=-+=-.
10. 计算：
2sin 30°-3tan 45°·sin 45°+4cos 60°.
【变式】 计算：+cos 45°·sin 60°.
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练提升
11. 李红同学遇到了这样一道题：tan（α+20°）=1，你猜想锐角α的度数应是 （ ）
A. 40° B. 30°
C. 20° D. 10°
D
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12. 在△ABC中，若锐角∠A，∠B满足+1-2tan B+tan2 B=0，则∠C的度数为 （ ）
A. 45° B. 60°
C. 75° D. 105°
D
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13. 如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cos A=，BE=4，则tan∠DBE的值是________.
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14. （新趋势 多模块综合）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1=（x>0）的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线
与双曲线y2=（x>0）交于点B，连接AB，且sin B=，
则= （ ）
A. - B. - C. - D. -
C
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15. 已知α为锐角，且tan α是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α+cos2α-tan（α+15°）的值.
【解】解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3. ∵α为锐角，tan α>0，∴tan α=1，
∴α=45°，∴2sin2α+cos2α-tan（α+15°）=2sin245°+cos245°-tan（45°+15°）=2sin245°+cos245°-tan 60°=2×+-×=-.
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16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8. 若AH⊥BC，∠BPC=∠BAC，求tan∠BPC的值.
【解】∵AB=AC=5，∴BH=CH=BC=4，AH平分∠BAC.
∴∠BAH=∠BAC. ∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC.
在Rt△ABH中，∵AB=5，BH=4，∴AH==3，∴tan∠BAH==，
∴tan∠BPC=.
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练素养
17. （新定义 新概念问题）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°. 若定义cot A==，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题：
（1）求cot 30°的值；
（2）已知tan A=，其中∠A为锐角，试求cot A的值；
（3）求证：tan A=cot（90°-∠A）.
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（1）解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=30°，则AB=2BC，AC=BC.
所以cot 30°===.
（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵tan A==，∴可设BC=3k，则AC=4k，∴cot A===.
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（3）证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，即∠B=90°-∠A.
∵tan A=，cot B=，
∴tan A=cot B.
即tan A=cot（90°-∠A）.
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