九上 4.1 第3课时 余弦-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)
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教辅
内容正文：
九年级上册 第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第3课时 余 弦
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练基础
练提升
练素养
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练基础
知识点1 余弦的概念
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1. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，则cos B等于 （ ）
A. B. C. D.
A
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2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （4，3），那么cos α的值是
（ ）
A. B. C. D.
D
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3. （教材P116第5题改编）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A=________.
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4. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=4，AC=6，则cos A的值是________.
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5. （一题多解）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则cos A的值是________.
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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cos B的值.
【解】∵∠C=90°，MN⊥AB， ∴∠C=∠ANM=90°.
又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC. ∴==.
设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得BC==x，
在Rt△ABC中，cos B===.
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知识点2 同角（余角）正弦、余弦的关系
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7. 已知α是锐角，sin α=cos 60°，则α等于 （ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 不能确定
A
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8. （岳阳校级阶段练习）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sin A=，则cos B=________.
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9. 利用计算器求下列锐角α的度数（精确到0.01°）.
（1）若cos α=0.856 1，则α≈________；
（2）若cos α=0.314 5，则α≈________.
知识点3 用计算器求锐角的度数或余弦值
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31.12°
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10. 用计算器求锐角的余弦值（结果精确到0.000 1）.
52.32°.
【解】cos 52.32°≈0.611 3.
11. 计算：2cos 45°=________.
知识点4 特殊角的余弦值
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12. （教材P115T4（1）改编）求值：sin260°+cos260°=________.
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13. 计算：（1）cos 30°-cos 45°-cos 60°；
（2）.
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【解】（1）原式=×-×-=-1-=0.
（2）原式==.
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14. （易错题）在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，则cos A的值等于 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
C
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15. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC的中点，点E在AB上，AD，CE交于点F，AE=EF=4，FC=9，则cos∠ACB的值为 （ ）
A. B. C. D.
D
16. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos B=________.
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17. （新定义 新运算问题）有如下规定：
sin（-x）=-sin x，cos（-x）=cos x，sin（x+y）=sin x·cos y+cos x·sin y. 据此：
（1）判断下列等式成立的是________（填序号）.
①cos（-60°）=-；②sin 2x=2sin x·cos x；
③sin（x-y）=sin x·cos y-cos x·sin y.
（2）利用上面的规定求①sin 75°. ②sin 15°.
②③
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【解】（2）①sin 75°=sin（30°+45°）=sin 30°·cos 45°+cos 30°·sin 45°=×+×=+=；
②sin 15°=sin（45°-30°）=sin 45°·cos（-30°）+ cos 45°·sin（-30°）=sin 45°·cos 30°-
cos 45°·sin 30°=×-×=.
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18. 如图，等腰三角形ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF=，求BE的长.
【解】因为AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，所以∠AEB=∠AFE=90°，
所以∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°，所以∠B=∠AEF.
因为cos∠AEF=，所以cos B=. 因为cos B=，AB=BC，CE=2，所以设BE=4a，则AB=BC=5a，所以CE=a，所以a=2，所以BE=8.
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19. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，sin A=，BC=8，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E.
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值.
【解】（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，∴sin A==.
∵BC=8，∴AB=10. ∵D是AB的中点，∴CD=AB=5.
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（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=8，∴AC==6.
∵D是AB的中点，∴BD=5，S△BDC=S△ADC，∴S△BDC=S△ABC，即CD·BE=×AC×BC，
∴BE==. 在Rt△BDE中，cos∠DBE===，
即cos∠ABE的值为.
练素养
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20. （新情境 数学文化）中国古代数学家赵爽创作了一幅“勾股弦方图”（也称“赵爽弦图”），通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明. 如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角
三角形和中间的小正方形组成. 若正方形ABCD与正方形EFGH
的面积分别为25和1，则cos∠BAE的值为 （ ）
A. B. C. D.
D
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