九上 2.3 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(湘教版)

九年级上册 第2章 一元二次方程 2.3　一元二次方程根的判别式 1 练基础 练提升 练素养 2 练基础 1. （湘西州校级期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足下列哪个条件时，能代入求根公式求根 （　　） A. b2-4ac≥0 B. b2-4ac<0 C. a+b+c=0 D. 不需要任何条件 知识点1 一元二次方程根的判别式 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 A 3 2.（永州期末）下列一元二次方程中，根的判别式的值小于0的是 （　　） A. 2x2+3x-9=0 B. x2+2x+1=0 C. x2+2x+2=0 D. x2-3x+1=0 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3. （教材P45练习T2（1）改编）不解方程，判断一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况为 （　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 C 知识点2 利用根的判别式判断方程根的情况 5 4. （益阳南县期末）方程x2-3x-6=0的根的情况是 （　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 只有一个实根 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 C 6 5. （新定义 新运算问题）定义运算：m☆n=mn2-mn-1. 例如：4☆2=4×22-4×2-1=7. 则方程1☆x=0的根的情况为 （　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 A 7 6. （常德安乡期末）若关于x的一元二次方程（k-2）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 （　　） A. k>3 B. k<3 C. k>-3且k≠2 D. k<3且k≠2 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 D 知识点3 已知方程根的情况确定字母的值或取值范围 8 7.（岳阳校级期末）若关于x的方程x2+6x-a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的 （　　） A. -10 B. -9 C. 9 D. 10 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 A 9 8.（新趋势 多模块综合）已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2-6x+k+2=0的两个根，则k的值等于________. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 6或7 10 9.（易错题）若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有实数根，求m的取值范围. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 【解】当a=0时，-3x+1=0，x=，有实数根，符合题意. 当a≠0时，Δ=9-4a≥0，a≤. 综上，a≤. 11 10. （永州冷水滩期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个实数根. （1）求k的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一根. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 【解】（1）∵方程有两个实数根，∴Δ≥0，即4-4×1×（-k）≥0，∴k≥-1. （2）设方程的另一根为x2，∵方程有一个根为2，∴4+4-k=0， ∴k=8，∴x2+2x-8=0，∴x2=-4. 11. （新定义 新概念问题）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a-b+c=0，那么我们称这个方程为“美丽”方程，已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 （　　） A. a=b=c B. a=b C. b=c D. a=c 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 练提升 D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 C 12.（邵阳隆回九龙学校阶段练习）反比例函数y= 与一次函数y=-x+2的图象的交点个数是 （　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 13. （长沙雨花阶段练习）已知实数a，现有王、李、赵、张四人对关于x的方程 ax2-（a+2）x+ a=0进行了讨论： （　　） 王说：这一定是关于x的一元二次方程；李说：这有可能是关于x的一元一次方程； 赵说：当a≥-1时，该方程有实数根；张说：只有当a≥-1且a≠0时，该方程有实数根. A. 王和赵说的对 B. 王和张说的对 C. 李和赵说的对 D. 李和张说的对 C 14. （长沙长郡双语实验中学期中）关于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有下列几种说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立. 其中正确的有 （　　） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. 都不正确 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 A 15. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为 △ABC三边的长. 若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 【解】∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形. 16. （新定义 新概念问题）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”. 例如：k=169，因为62=4×1×9，所以169是“喜鹊数”. （1）已知一个“喜鹊数”k=100a+10b+c（1≤a，b，c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式__________；判断241________“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”__________________； 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 练素养 b2-4ac=0 不是 121（答案不唯一） （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c=0①与cx2+bx+a=0②，若x=m是方程①的一个根，x=n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）的条件下，且m+n=-2，请直接写出满足条件的所有k的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 【解】（2）∵x=m是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，x=n是一元二次方程 cx2+bx+a=0的一个根，∴am2+bm+c=0，cn2+bn+a=0， 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 13 14 15 16 将cn2+bn+a=0两边同除以n2得：a+b+c=0，∴将m，看成是方程ax2+bx+c=0的两个根. ∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，∴m= ，即mn=1. （3）∵m+n=-2，mn=1，∴m=-1，n=-1，∴a-b+c=0，∴b=a+c.∵b2=4ac， ∴（a+c）2=4ac，解得a=c，∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484. 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$