2.2 用配方法求解一元二次方程 第2课时 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.2用配方法求解一元二次方程 第2课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是九年级上册第二章一元二次方程第二节第二课时，核心内容包括：掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法步骤（先将二次项系数化为1），能运用配方法解决含字母系数的简单方程（如ax2+bx+c=0，a≠0的配方推导），理解配方法与方程解的个数的关联（初步感知判别式）。 （二）教学内容解析 本节课是“二次项系数为1的配方法”的延伸，是配方法知识体系的完整闭环，在方程解法与后续知识间起关键纽带作用： • 方法延伸：核心是“转化”——通过等式性质将二次项系数化为1，把陌生的“非1系数方程”转化为已学的“1系数方程”，本质是对“转化思想”的深化应用。 • 知识桥梁：含字母系数的配方推导（如对ax2+bx+c=0配方），是后续推导一元二次方程求根公式的直接基础，让学生从“具体方程求解”过渡到“一般形式推导”，实现从特殊到一般的思维跨越。 • 能力衔接：通过配方后(x+m)2=n中“n的正负”与解的个数的关联（n>0有两不等实根，n=0有两相等实根，n<0无实根），为后续学习判别式埋下伏笔，构建“解法-解的情况”的逻辑链条。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】掌握配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程的基本步骤，包括化二次项系数为 1、移项、配方和求根。 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、 能独立完成二次项系数不为1的一元二次方程的配方求解（如2x2-4x-1=0），明确“化系数为1”是首要步骤。 2、能对简单的含字母系数的一元二次方程（如ax2+bx=0，a≠0）进行配方，初步理解求根公式的推导思路。 3、通过分析配方结果中“平方项右边的数”，判断方程解的个数，进一步体会“转化与化归”的数学思想。 （二）教学目标解析 1、核心是“化系数为1”的操作规范——需明确“方程两边同时除以二次项系数”的依据（等式基本性质2），且能处理系数为分数的情况，再按“移项-配方-开方-求解”的已有步骤完成计算。 2、含字母系数的配方是难点，无需推导完整求根公式，只需通过具体字母方程（如2x2+bx+c=0）的配方练习，让学生掌握“字母运算与数字运算的一致性”，为后续一般形式推导降低难度。 3.、通过对比“(x+1)2=3”“(x-2)2=0”“(x+3)2=-2”的解的情况，直观感知“平方数非负”对解的个数的影响，无需抽象出判别式概念，只需形成“配方后看右边数的正负，就能知解的多少”的初步认知。 三、学生学情分析 1、已掌握完全平方公式，能快速展开(x+3)2等简单式子，但对“逆用公式将x2+6x补成完全平方式”的操作不熟悉； 2、会解x2=4这类直接开方的简单一元二次方程，具备“开方求根”的基础技能； 3、了解一元二次方程的概念，能区分二次项、一次项、常数项，知道二次项系数不为0的要求。 基于上述分析，确定本节课的教学难点为： 【教学难点】在实际问题中，能够识别并建立一元二次方程模型，通过配方法解决实际问题，培养学生的数学建模能力和应用意识。 四、教学策略分析 1、旧知迁移：以“如何解2x2-4x-1=0？”为起点，提问“这个方程和上节课学的x2-2x-0.5=0有什么联系？”，引导学生发现“两边除以2就能转化为已学类型”，自然引出“化系数为1”的核心步骤。 2、梯度示范：分两层示范配方过程 第一层（数字系数）：以3x2+6x-9=0为例，完整示范“化系数为1（除以3）→移项→配方→开方→求解”，重点标注“每一步常数项的变化”（如-9除以3得-3）； 第二层（字母系数）：以ax2+bx+c=0（a≠0）为例，只推导到，不展开求解，聚焦“字母配方与数字配方的步骤一致性”。 3、 问题探究：针对“解的个数”设计探究问题：“配方后得到(x+m)2=n，n的取值不同（正数、0、负数），方程的解有什么不同？为什么？”，引导学生结合“平方数非负”的性质自主分析。 五、教学过程分析 （一）复习引入 1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式.（口头回答） （1）________=； （2）+________=； （3）x2+________+36=； （4）________=； （5）________=. 问题2：利用配方法解二项式系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ ①移—移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x + m)2 = n (n≥0)的形式；③开—如果n≥0，就可左右两边开平方得；④解—解两个一元一次方程 设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 探究一： 问题1：观察下面两个一元二次方程的联系与区别. ① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0. 问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 . 解：移项，得 x2 + 6x =－8 ， 配方，得 （x + 3）2 = 1. 开平方， 得 x + 3 = ±1. 解得 x1 =－2 ， x2=－4. 例：解方程 . 解：方程两边都除以3，得, 移项，得. 配方，得，即 . 两边开平方，得，所以. 【注意事项】（1）当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心.（2）得到后，在移项得到的过程中，要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错. 做一做： 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？ 解：根据题意得 . 方程两边都除以-5，得 . 配方，得 ，即， 两边开平方，得，所以 反思： ①二次项系数要化为1； ②在二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数； ③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方. 例2：试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1、如果 的左边是一个关于 的完全平方式,则 等于( ) A. 1 B.1 C. 1或9 D.﹣1或9 2、下列配方法有错误的是( ) A. 化为 B. 化为 C. 化为 D. 化为 3、 用配方法解方程 ,则方程可变形为( ) A. B. C. D. 4、若一元二次方-x2+bx-5=0程配方后为(x-3)2=k，则b，k的值分别是（  ） A.6，4   B.6，5     C.﹣6,5  D.﹣6,4 5、解下列方程： （1）x2+4x﹣9=2x﹣11； （2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$