2.2 用配方法求解一元二次方程用配方法求解二次项系数为1一元二次方程教学设计 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 用配方法求解二次项系数为1一元二次方程 教学目标 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n≥0)的方程。 2.理解配方法的基本思路。 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 教学重难点 教学重点： 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 教学难点： 理解配方法的基本思路。 教学过程 一、新课导入 【复习回顾 引出新课】 1. 如果x2=a (a≥0)，那么x就叫做a的平方根，x=. 2. 若一个数的平方等于9，则这个数是. 若一个数的平方等于7，则这个数是. 3. 你能将下列完全平方式因式分解吗？ a2+2ab+b2= a2-2ab+b2= 2、 合作探究 【探究一】 1. 你会解下列一元二次方程吗？ (1) x2 = 5 (2) 2x2 + 3 = 5 (3) x2 + 2x + 1 = 5 (4) (x + 6)2 + 72 = 102 (1) x2 = 5 (2) 2x2 + 3 = 5 解：x= 解： 2x2=2 x1= ，x2=- x2=1 x= x1=1 ，x2=-1 (3) x2 + 2x + 1 = 5 (4) (x + 6)2 + 72 = 102 解： (x+1)2=5-1 解： (x+6)2=100-49 (x-1)2=4 (x+6)2=51 x-1= x+6= x-1=2或x-1=-2 x+6=或x+6=- ∴x1=3 ，x2=-1 ∴ x1=-6 ，x2=--6 形如：x2=a (a≥0) ，(mx + n)2 = a (a≥0)，利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法. 2. 上节课我们研究梯子底端滑动的距离x满足方程x²+12x-15=0的近似解,你能利用直接开平方法求出x的精确解吗？困难在哪里？ 【探究二】 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+62=(x+6)2 x2-4x+22=(x-2)2 x2+8x+42=(x+4)2 思考：等式的左边，常数项与一次项的系数有什么关系？ 发现：常数项等于一次项系数一半的平方 【总结归纳】 二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 三、典例精析 1. 例1：解方程 x2 + 8x - 9 = 0 解： x2 + 8x = 9 移项 x2 + 8x + 42 = 9 + 42 配方 (x+4)2 = 25 x + 4 = ± 5 开方 ∴ x + 4 =5 或 x + 4 = -5. ∴ x1 = 1 , x2= -9 求解 2. 梯子滑动问题现在可以解决了吗？试一试吧 x2+12x-15=0 解： x2 +12x = 15 x2 + 12x + 62 = 15 + 62 (x+6)2 = 51 x + 6 = ± ∴ x +6 = 或 x + 6 = - ∴ x1 = -6 , x2= --6 思考：x1，x2都符合原问题的要求吗？ x2=--6 （不合题意，舍去） 答：梯子底端滑动(-6)米. 【总结归纳】 1. 配方法的定义:通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 2. 基本思路:把方程化为(x+m)2=n的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 3. 一般步骤:移项、配方、开方、求解. 四、学习评价 1. 解下列方程： (1) x2 + 2x +2 = 8x +9 (2) x2 - 4x +12 = 2 解： x2 - 6x = 7 解： x2 - 4x = -10 x2 - 6x + 32 = 7 + 32 x2 - 4x + 22 = -10 + 22 (x-3)2 = 16 (x-2)2 = -8 x -3 = ± 4 ∴方程没有实数根 ∴ x -3 =4 或 x -3 = -4. ∴ x1 = 7 , x2= -1 2. 如图，在一块长35m，宽26m的矩形地面上修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 m2，道路的宽应为多少？ 解：设道路的宽应为x m. 思路一：（平移法） (35-x)(26-x) = 850 思路二： 35×26 - 35x - 26x + x2 = 850 解得：x 1= 1 ，x 2= 60（不合题意，舍去） 答：道路的宽应为1m. 3. 游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 解：设增加了x 行，则增加了x列. (8+x)(12+x) - 8×12 = 69 解得：x1= 3 ，x2= -23（不合题意，舍去） 答：增加了3行或3列. 4. 若方程(x2+y2-1)2=16，则x2+y2等于__5___. 解：设 x2+y2=a，则原方程可化为(a-1)2=16 解得：a1= 5 ，a2= -3（不合题意，舍去） ∵ x2+y2≥0 ∴ x2+y2=5 5. 小明在解题时遇到了这个方程：2x2 +1 = 3x ，你可以帮忙解决吗？思考对于二次项系数不为1的一元二次方程如何配方？ 五、学后反思 1. 通过本节课的学习，你有什么收获？ 定义 配方法解二次项系数为1一元二次方程 基本思路 一般步骤 2. 小结自己在学习过程中的易错点与注意事项. 六、课后检测 1.用配方法解方程x2-2x=2时，配方正确的是（ C ） A. (x+1)2=3 B. (x+1)2=6 C. (x-1)2=3 D. (x-1)2=6 2.用配方法解方程： (1) x2-x-1=0 (2) x(x+4)=2x+12 答案：(1) x1=，x2= (2) x1= -1+，x2= -1- 学科网（北京）股份有限公司 $$