九下 第3章 圆 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第三章　圆 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 一、选择题 1. （广东广州一模）A，B 两个点的坐标分别为（3，4），（-5，1），以原点O 为圆心，5为半径作⊙O，则下列说法正确的是 （　　） A. 点A，点B 都在⊙O 上 B. 点A 在⊙O 上，点B 在⊙O 外 C. 点A 在⊙O 内，点B 在⊙O 上 D. 点A，点B 都在⊙O 外 B 【解析】 ∵OA= =5，OB= = >5， ∴点A在⊙O 上，点B 在⊙O 外. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 3 2. （辽宁朝阳建平模拟）若一个正六边形的半径为6，则它的边心距等于 （　　） A. 3 B. 2 C. D. 3 A 【解析】 如图，连接OA，OB，过点O 作OG⊥AB 于点G. 在Rt△AOG 中，OA=6，∠AOG=30°， ∴OG=OA·cos 30°=6× =3. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 4 B 3. （山东菏泽鄄城三模）已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作⊙A，则直线y=kx+2（k≠0）与⊙A 的位置关系是 （　　） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 与k 值有关 【解析】 对于y=kx+2（k≠0），当x=0时，无论k 取何值，对应的y 值均为2，∴直线y=kx+2（k≠0）过定点（0，2）. ∵⊙A是以点A（0，3）为圆心，以3为半径的圆， ∴定点（0，2）在⊙A 内部， ∴直线y=kx+2（k≠0）与⊙A 的位置关系是相交. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 5 4. （湖北黄冈中考）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交AB 于点D，则的长为 （　　） A. π　　　B. π　　　C. π　　　D. 2π B 【解析】 如图，连接CD. ∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，∴∠A=90°-30°=60°，AC= AB=4. 由题意得，AC=CD，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD=60°，∴的长= = π. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 6 5. （安徽合肥包河期末）如图所示，直径为3a 的⊙A 经过点C（0，a）和点O（0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos∠OBC 为 　　　（　　） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. A D 【解析】 如图，设⊙A 交x 轴于D 点，连接CD. ∵∠COD=90°，∴CD 为⊙A 的直径，即CD=3a. ∵点C（0，a），∴OC=a，∴OD= =2a， ∴cos∠ODC= = = . ∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC= .故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 7 6. （河北保定曲阳期末）如图为5×5的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，则点O 是 （　　） A. △ACD 的外心 B. △ABC 的外心 C. △ACD 的内心 D. △ABC 的内心 B 【解析】 由图形可知，点O 在线段AC 的垂直平分线上，点O 也在线段BC 的垂直平分线上，∴点O 是△ABC 的外心. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 8 7. 【新趋势 动点探究题】 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F 分别为AD，DC 边上的点，且EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为 （　　） A. 6 B. 8 C. 4 D. 10 B A′ 【解析】 ∵EF=4，点G 为EF 的中点，∠ADC=90°，∴DG=2，∴点G 的轨迹是以点D 为圆心，2为半径的一段圆弧. 作A 关于BC 的对称点A′，连接A′D，交BC 于P，当点G，P刚好在直线A′D 上时，此时PA+PG 的值最小，最小值为A′G 的长. ∵AB=4，AD=6，∴AA′=8，∴在Rt△AA′D 中，A′D= =10，∴A′G=A′D-DG=10-2=8，∴PA+PG 的最小值为8. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 9 二、填空题 8. （江苏常州中考）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形. 若∠ABC=45°，AC= 2，则⊙O 的半径是________. 1 【解析】 如图，连接AO 并延长交⊙O 于点D，连接CD. ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°. ∵∠ABC=45°，∴∠ADC=∠ABC=45°， ∴AD= = =2， ∴⊙O 的半径是1. D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 10 9. 【新趋势 动点探究题】（浙江宁波中考）如图，在△ABC 中，AC=2，BC=4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A. D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为________. 或 D 【解析】 如图，连接OA，过点A 作AD⊥BC 于点D. ∵圆与AC 相切于点A. ∴OA⊥AC. 由题意可知，点D 位置分为两种情况： ①当∠CAD为90°时，此时点D与点O重合，设圆的半径为r， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 11 ∴OA=r，OC=4-r. ∵AC=2，在Rt△AOC 中，由勾股定理可得，r2+22=（4-r）2， 解得r= ，即AD=AO= ； ②当∠ADC=90°时，∠ADC=∠OAC， 又∵∠AOC=∠AOC，∴△AOD∽△COA，∴ = ，∴AD= . ∵AO= ，AC=2，OC=4-r= ， ∴AD= . 综上所述，AD 的长为或. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 12 10. （陕西西安雁塔模拟）如图，⊙O 是四边形ABCD 的内切圆，连接AO，BO，CO，DO ，记△ AOD ，△ AOB ，△COB，△DOC 的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4的数量关系为____________. S1+S3=S2+S4 E F G H 【解析】 如图，设切点分别为E，F，G，H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC，OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r. 设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d， ∴S1= r（a+b），S2= r（b+c），S3= r（c+d）， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 13 S4=r（a+d）， ∴S1+S3= r（a+b）+ r（c+d）= r（a+b+c+d）， S2+S4= r（b+c）+ r（a+d）= r（a+b+c+d）， ∴S1+S3=S2+S4. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 14 11. 【新趋势 规律探究题】 如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O 顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x 轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y 轴于点A4；将OA4绕点O 顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3；…；按此规律，则S2 023为________. 22 019π 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 15 【解析】 由题意△A1OA2，△A3OA4，△A5OA6，…，都是等腰直角三角形，∴OA2= ，OA4=2，OA6=2，…， ∴S1= = π，S2= = π，S3= = π，S4= =π，…， ∴Sn=2n-4π，∴S2 023=22 019π. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 16 三、解答题 12. 【新情境 传统文化】（湖北宜昌中考）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1 400年历史，是我国古代石拱桥的代表. 如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为. 桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26 m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D. 拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5 m. 连接OB. （1）直接判断AD 与BD 的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径.（精确到1 m） 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 17 解：（1）AD=BD. 理由： ∵OC⊥AB，∴AD=BD. （2）设主桥拱半径为R m， 由题意可知，AB=26 m，CD=5 m， ∴BD= AB=13 m，OD=OC-CD=（R-5）m. ∵∠ODB=90°，∴OD2+BD2=OB2，即（R-5）2 +132=R2，解得R=19.4≈19. 因此，这座石拱桥主桥拱的半径约为19 m. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 18 13. （安徽安庆怀宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，I 为△ABC 的内心，延长CI交AB 于点D. （1）∠BIC=________°； （2）若BD=3，BI=4，求AB 的长. 135 解：（1）∵I 为△ABC 的内心， ∴∠BIC=180°- （∠ACB+∠ABC）=180°- （180°-∠CAB）=180°-（180°-90°）=135°. 故答案为：135. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 19 （2）∵∠BIC=135°，∴∠BID=180°-∠BIC=45°. ∵AI 平分∠CAB，∴∠IAB=45°，∴∠BID=∠IAB=45°. 又∵∠IBD=∠ABI，∴△BID∽△BAI， ∴ = ，即 = ，解得AB= . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 20 解：（1）证明：连接OD. ∵AC=CD，∴∠A=∠ADC. ∵OB=OD，∴∠B=∠BDO. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ADC+∠BDO=90°， ∴∠ODC=180°-（∠ADC+∠BDO）=90°. 14. （辽宁阜新中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点D，连接CD，且CD=AC. （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若∠A=60°，AC=2，求的长. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 21 又∵OD 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线. （2）∵AC=CD=2，∠A=60°，∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ACD=60°，∴∠DCO=∠ACB-∠ACD=30°. 在Rt△OCD 中，OD=CD·tan∠DCO=2·tan 30°=2. ∵∠ODC=90°，∴∠DOC=90°-∠DCO=60°， ∴∠BOD=180°-∠DOC=120°. ∴的长= = π. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 22 15. （湖北武汉中考）如图，以AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点C，AE，BE 分别平分∠BAC 和∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点D，连接BD. （1）判断△BDE 的形状，并证明你的结论； （2）若AB=10，BE=2，求BC 的长. 解：（1）△BDE 为等腰直角三角形. 证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC. ∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠CBD+∠EBC， ∴∠BED=∠DBE，∴BD=ED. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 23 ∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，∴△BDE 是等腰直角三角形. （2）连接OC，CD，OD，OD 交BC 于点F. ∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD，∴BD=DC. ∵OB=OC，∴OD 垂直平分BC. ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE=2，∴BD=BE·sin 45°=2. ∵AB=10，∴OB=OD=5. 设OF=t，则DF=5-t. 在Rt△BOF 和Rt△BDF 中，52-t2=（2）2 -（5-t）2， 解得t=3，即OF=3，∴BF= =4. ∴BC=8. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 15 14 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$