九下 3.8 圆内接正多边形-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第三章 圆 8　圆内接正多边形 1 目 录 2 1. 【原创题 传统文化】北宋时制造的水运仪象台（中国古代计时器）被誉为世界上最早的天文钟，其运用了复杂的齿轮系统，如图，若一个齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α的度数为 （ ） A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 础 基 练 知识点1 圆内接正多边形 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 3 2. （教材P99第2题改编）如图，已知O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为 （ ） A. 3 B. C. D. 3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 4 3. （山西太原一模）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置. 要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 （ ） A. 7　　　　　B. 8　　　　　C. 9　　　　　D. 10 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 5 4. （河北邯郸馆陶模拟）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6边长为2，在正六边形的边上距离P1最远的点到P1的距离为 （ ） A. 3　　　　　B. 4　　　　　C. 　　　　　D. 2 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 6 5. 【新情境 生产生活】2019年版一元硬币的直径约为22.25 mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过 （ ） A. 11.125 mm　　　　　B. 22.25 mm　　　　　 C. mm　　　　　　D. mm C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 6.（山东济宁泗水三模）如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，则图中阴影部分的面积为 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 16 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 8 7.（山东青岛中考）如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M在上，则 ∠CME的度数为 （ ） A. 30°　　　　　B. 36°　　　　　C. 45°　　　　　D. 60° D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 9 【变式】 （易错题）如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM，CG相交于点O. 则∠AOG=________. 反思本题易错点是 . 易认为弦AG所对的圆心角度数即是∠AOG的度数 110° 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 8. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于________. 1+ 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 升 提 练 9.（宁夏银川金凤二模）如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边BC′重合，则正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积为 （ ） A. -1　　　　　B. 　　　　　 C. 　　　　 　D. A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 12 【解析】正八边形的一个内角为∠ABC′= =135°. ∵正方形ABCD绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边BC′重合， ∴∠ABC=∠A′BC′=90°，∠BA′D′=∠BAD=90°， ∴∠ABA′=135°-90°=45°. 如图，延长BA′至点D，DC与A′D′相交于点E. ∵AB=1， ∴A′B=AB=1，BD= =， ∴A′D=-1， ∴正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积为S=S△BDC-S△DA′E= ×1×1- ×（-1）×（-1）=-1. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 10.【新趋势 探究性问题】如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转. 在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为 （ ） A. 　　　　　　　B. 　　　　 C. 　　　　D. C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 14 【解析】由题意可得，当EH=AB时，正六边形的边长最大，再当EH与正方形对角线AC重合时，AE最小. ∵正方形ABCD的边长为1， ∴AC= =， ∵EH=AB=1， ∴AE= ，即AE的最小值为. 故选C. 11. 【新情境 数学文化】刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1=________；________. H O 6+3 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 16 【解析】如图，连接OA1，OA2，过点A1作A1H⊥OA2于点H. ∵圆的内接正十二边形的中心角为=30°，∴∠A1OH=30°， ∴A1H= OA1.设A1H=x，则OA1=2x=OA2，OH= =x， ∴A2H=2x-x. 在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2=A1A22， ∴（2x-x）2+x2=12，解得x= （负值已舍去）， ∴A1H= ，OA2= ，∴S=π×=（2+）π， S1=12×××=6+3，∴==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 12.（浙江金华中考）如图1，正五边形ABCDE内接于O，阅读以下作图过程，并回答下列问题. 作法：如图2，①作直径AF；②以F为圆心，FO为半径作圆弧，与O交于点M，N；③连接AM，MN，NA. （1）求∠ABC的度数； （2）△AMN是正三角形吗？请说明理由； （3）从点A开始，以DN长为半径，在O上 依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n的值. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 18 解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC= =108°. （2）△AMN是正三角形. 理由：如图，连接ON，NF. 由题意可得，FN=ON=OF， ∴△FON是正三角形，∴∠NFA=60°，∴∠NMA=60°， 同理可得，∠ANM=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN是正三角形. （3）如图，连接OD. ∵∠AMN=60°，∴∠AON=120°. ∵∠AOD= ×2=144°，∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°. ∵360°÷24°=15，∴n的值是15. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 13.【新趋势 探究性问题】如图，M，N分别是O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON. （1）求图1中∠MON的度数； （2）图2中∠MON的度数是________，图3中∠MON的度数是________； （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是_________________. 养 素 练 90° 72° ∠MON= 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 20 图1 解：（1）如图1，连接OA，OB，OC，则OA=OB=OC. ∵△ABC是O内接正三角形， ∴∠AOB=∠BOC= =120°， ∴∠OBM=∠OCN=30°， 在△OMB和△ONC中， ∴△OMB≌△ONC（SAS），∴∠BOM=∠CON， ∴∠MON=∠BON+∠BOM=∠BON+∠CON=∠BOC=120°. 　　 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 （2）如图2，连接OB，OC， ∵四边形ABCD是O内接正方形，∴∠BOC= =90°， 同（1）的方法可证： ∠MON=∠BOC=90°； 如图3，连接OB，OC， ∵五边形ABCDE是O内接正五边形， ∴∠BOC==72°， 同（1）的方法可证：∠MON=∠BOC=72°. 故答案为：90°，72°. 图2 图3 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 （3）由（1）（2）可知， ∠MON的度数与正三角形边数的关系是∠MON= ， ∠MON的度数与正方形边数的关系是∠MON= ， ∠MON的度数与正五边形边数的关系是∠MON= ， 归纳类推得：∠MON的度数与正n边形边数n的关系是∠MON= . 故答案为：∠MON= . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 变式 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$