九下 3.4 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第三章　圆 4　圆周角和圆心角的关系 第2课时　圆周角定理的推论2及圆内接四边形 1 目 录 2 1.（河南郑州中牟期末）如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O上一点，若∠PAB=32°，则∠PBA的度数是 （　　） A. 68° B. 58° C. 60° D. 64° B 础 基 练 知识点1 圆周角定理 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 3 2.（广东中山三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC=2，∠D=60°，则BC长等于 （　　） A. 4 B. 5 C. D. 2 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 4 3.（甘肃平凉崆峒二模）如图，AB是⊙O的直径，AB=13，AC=5，则tan∠ADC= （　　） A. B. C. D. B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 5 4. 【新趋势 动点探究题】（山东东营中考）如图，AC是⊙O的弦，AC=5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 6 5.（教材P83习题第1题改编）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是 （　　） A. 80° B. 100° C. 140° D. 160° B 知识点2 圆内接四边形 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 7 6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=15°，AE是⊙O的直径，点D在上，连接CE，DE，BD，则∠BDE的度数是 （　　） A. 105° B. 115° C.120° D. 130° A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 8 7. （辽宁锦州中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为________. 40° 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 9 8. （山东青岛市北二模）如图，点A，B，C，D，E都是圆O上的点，=，∠B=116°，则∠D的度数为________度. 128 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 10 9.（山东菏泽曹县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠1=∠2，延长BC 到点E，使得CE=AB，连接ED. （1）求证：BD=ED； （2）若AB=5，BC=7，∠ABC=60°，求tan∠DCB的值. M 解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC. ∵∠1=∠2，∴∠AOD=∠DOC， ∴=，∴AD=DC. ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD=180°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 11 ∵∠ECD+∠BCD=180°，∴∠BAD=∠ECD， 又∵AB=CE，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD=ED. （2）如图，过点D作DM⊥BE于点M. ∵AB=5，BC=7，CE=AB=5，∴BE=BC+CE=12. ∵BD=ED，DM⊥BE，∴BM=ME=BE=6，∴CM=BC-BM=1. ∵∠ABC=60°，∠1=∠2，∴∠2=30°， ∴DM=BM·tan∠2=6×=2，∴tan∠DCB==2. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 10.（江苏连云港灌云阶段练习）如图，一块直角三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为 （　　） A. 60°　　　　B. 30°　　　　C. 120°　　　　D. 45° B 升 提 练 D 【解析】如图，O是AB的中点，连接OD. ∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合， ∴点A，B，C，D共圆. ∵点D对应的刻度是60°，∴∠AOD=60°， ∴∠ACD= ∠AOD=30°. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 13 11. （易错题）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC=2 ，如果D为圆上一点，且AD=2，那么∠DAC=__________. 30°或90° D′ D 【解析】如图，连接AD，OD，BC， ∵AO=OB=OD，AB=4，AD=2，∴OA=OD=AD， ∴△OAD是等边三角形，∠BAD=60°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°. ∵AB=4，AC=2，∴cos∠CAB==，∴∠CAB=30°. 点D的位置有两种情况： ①当点D在AB的下方的圆弧上时， 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 14 反思本题易错点是_______________________________________________ _______________________________________________________________. 需要考虑点D在AB的下方的圆弧上和点D在AB的上方的圆弧上两种情况 ∠DAC=∠CAB+∠OAD=30°+60°=90°； ②当点D在AB的上方的圆弧上时（图中D′处）， ∠D′AC=∠OAD′-∠CAB=60°-30°=30°. 综上所述，∠DAC=30°或90°. D′ D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 12. （安徽淮北模拟）如图，⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，垂足为点O，点C为OB上一点，连接AC并延长交⊙O于点D. 若=，则cos∠OAC 的值为________. E 【解析】如图，延长AO交⊙O于点E，连接DE. ∵AE是直径，∴∠ADE=90°. ∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°. ∵∠OAC=∠DAE，∴△OAC∽△DAE. 设OA=r，AC=4a，CD=3a， ∴=，即=，∴=， ∴cos∠OAC===×=. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 16 13.（福建三明将乐模拟）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在以AB为直径的圆上，则tan∠ADC=________. 【解析】如图，连接AC，BC， ∴AC=3，BC=2， ∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°. 由圆周角定理的推论，得∠ADC=∠ABC， ∴tan∠ADC=tan∠ABC==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 17 14. 【新趋势 动点探究题】 如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是___________. 【解析】如图，连接OA，OB，AD，BD. 当点P与点D重合时， ∵四边形ACBD是圆内接四边形， ∴∠ACB+∠ADB=180°. 又∵∠ACB=140°， ∴∠ADB=180°-140°=40°，即β=40°； 当点P与圆心O重合时，∠AOB=2∠ADB=80°，此时β=80°. 综上所述，当点P在半径OD上移动时，β的取值范围是40°≤β≤80°. 40°≤β≤80° （P） （P） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 18 15.（山东威海中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 连接AC，BD，延长CD至点E. （1）若AB=AC，求证：∠ADB=∠ADE； （2）若BC=3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°. 又∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠ABC. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADE. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 19 （2）如图，连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF. 则∠FBC=90°， 在Rt△BCF中，CF=4，BC=3， ∴sin F==. ∵∠F=∠BAC，∴sin∠BAC=. F 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 20 16. 【新定义 新概念问题】定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A=α，请用含α的代数式表示∠E； 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 21 （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，=，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E. 求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD， ∴∠E=∠ECD-∠EBD=（∠ACD-∠ABC）=∠A. ∵∠A=α，∴∠E=α. （2）证明：如图，延长BC到点T. ∵四边形FBCD内接于⊙O， ∴∠FDC+∠FBC=180°. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 ∵∠FDE+∠FDC=180°， ∴∠FDE=∠FBC. ∵DF平分∠ADE，∴∠ADF=∠FDE. ∵∠ADF=∠ABF，∴∠ABF=∠FBC， ∴BE是∠ABC的平分线. ∵=，∴∠ACD=∠BFD. ∵∠BFD+∠BCD=180°，∠DCT+∠BCD=180°， ∴∠DCT=∠BFD，∴∠ACD=∠DCT， ∴CE是△ABC的外角平分线， ∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 13 14 16 15 12 绿卡图书—走向成功的通行证 24 $$