九下 专题9 创新题专练——二次函数与几何图形综合-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第二章 二次函数 专题9 　创新题专练——二次函数与几何图形综合 1 目 录 题型1 与线段有关的二次函数问题 题型2 与面积有关的二次函数问题 题型3 与动点及存在性问题有关的二次函数 2 典例1【新趋势 动点探究题】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，-3）. （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点H，与BC 交于点M，连接PC. 求线段PM的最大值. 题型1 与线段有关的二次函数问题 【规范解答】（1）将A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）的坐标分别代入函数表达式，得 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 3 解得 ∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3. （2）设直线BC的函数表达式为y=kx+m，将B（3，0），C（0，-3）的坐标分别代入函数表达式，得解得 ∴BC的函数表达式为y=x-3. 设P（n，n2-2n-3），M（n，n-3）. 则PM=（n-3）-（n2-2n-3）=-n2+3n=-+. ∵0<n<3，∴当n=时，PM最大=，∴线段PM的最大值为. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 1. 【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线 y=-x2+bx+c 与x 轴相交于A，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y=x+t 上，动点P（m，n）在x 轴上方的抛物线上. （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）过点P 作PM⊥x 轴于点M，PN⊥l 于点N，当1<m<3时，求PM+PN 的最大值. ⋮⋮ 变式训练 解：（1）∵抛物线的顶点为D（1，4），a=-1， ∴抛物线的表达式为y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3. （2）如图，延长MP交直线l于点G，设直线l交y轴于点E，交x轴于点F. G E F 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 5 将D（1，4）代入y=x+t，得4=+t， 解得t=. ∴直线l的表达式为y=x+， ∴E，F（-2，0），∴EF==. ∵点P（m，n）在抛物线y=-x2+2x+3上， ∴P（m，-m2+2m+3），G，M（m，0）， ∴PG= m+-（-m2+2m+3）=m2-m-，PM=-m2+2m+3. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 又∵PM⊥x轴，∴GM //y轴，∴∠PGN=∠OEF. ∴sin∠PGN=sin∠OEF== =. 在Rt△PGN中，PN=PG·sin∠PGN=PG， ∴PM+PN=PM+PG=-m2+2m+3+=-m2+m+=-（m-2）2+. ∵1<m<3，∴当m=2时，PM+PN有最大值. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 典例2 【新趋势 动点探究题】 如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C. 直线y=x-2经过B，C两点，点P是抛物线上一动点. （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在BC下方运动时，求△BCP面积的最大值. 题型2 与面积有关的二次函数问题 【规范解答】（1）对于直线y=x-2， 令x=0，则y=-2，∴C（0，-2）， 令y=0，则0=x-2，∴x=4，∴B（4，0）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 8 G 将点B，C的坐标分别代入抛物线y=x2+bx+c中，得 解得 ∴抛物线的表达式为y=x2-x-2. （2）过点P作PG//y轴交BC于点G. 设P，则G. ∴PG=t-2- t2+ t+2=- t2+2t， ∴S△BCP= PG·OB= ×4=-（t-2）2+4， ∵0<t<4，∴当t=2时，S△BCP的值最大，最大值为4. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 2. 【新趋势 动点探究题】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx +2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C. 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为 （　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. A ⋮⋮ 变式训练 【解析】∵二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点， ∴解得 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 10 G ∴二次函数的表达式为y=-x2-x+2. 令x=0，则y=2，∴点C（0，2）. 设直线AC的表达式为y=kx+m（k≠0）， 则解得∴直线AC的表达式为y=x+2. 过点P作PG//y轴交AC于点G. 设P ，则G，∴PG=-t2- t+2- =-t2-2t， ∴S△ACP= PG·OA= ×3=-t2-3t=+ ， ∵-3<t<0，∴当t=-时，S△ACP有最大值，此时P. 故选A. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 3. 【新趋势 动点探究题】如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，M 是x 轴下方的抛物线上一动点，连接MO，MB，MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 12 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0），B（3，0）两点， 将点A，B坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+3，得 解得 ∴抛物线的函数表达式是y=x2-4x+3. （2）∵抛物线的函数表达式是y=x2-4x+3，∴C（0，3）. 设直线BC的表达式为y=kx+t（k≠0）. 将点B，C的坐标分别代入表达式，得 解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+3. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 设点M（m，m2-4m+3），过点M作MN//y轴，交BC于点N， ∴N（m，-m+3）， ∴MN=-m+3-m2+4m-3=-m2+3m. ∵A（1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴S△MOC=OC·m=m， S△MBC=MN·OB=-m2+m. ∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍， ∴m=3，解得m=0（舍去）或m=， ∴m2-4m+3=-4×+3=-，∴点M的坐标为. N 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 典例3 【新趋势 探究性问题】如图，抛物线y=ax2+bx+c 过点A（-1，0），点B（3，0），与y 轴负半轴交于点C，且OC=3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E. （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC的函数表达式； （3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x 轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E， D，P，Q为顶点的平行四边形. 若存在，求出 点P 坐标；若不存在，请说明理由. 题型3 与动点及存在性问题有关的二次函数 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 15 【规范解答】（1）∵点A（-1，0），OC=3OA，∴OC=3，∴C（0，-3）. 把点A（-1，0），B（3，0）和C（0，-3）分别代入抛物线y=ax2+bx+c中，得解得 ∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. （2）设直线BC的函数表达式为y=kx+m，把B（3，0），C（0，-3）分别代入，得解得 ∴直线BC的函数表达式为y=x-3. （3）存在. 理由：设P（n，n2-2n-3），∴Q（n，n-3）， 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 16 ∴｜PQ｜=｜yQ-yP｜=｜n2-3n｜ . ∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，且抛物线的顶点为D，∴D（1，-4）， ∴E（1，0），∴ED=4. ∵PQ//ED，若存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形，则PQ=ED=4，∴｜n2-3n｜=4， ∴n2-3n=4或n2-3n=-4. 当n2-3n=4时，解得n1=4，n2=-1； 当n2-3n=-4时，Δ<0，无解. 当n=4时，n2-2n-3=42-2×4-3=5； 当n=-1时，n2-2n-3=（-1）2-2×（-1）-3=0， ∴存在，点P坐标为（4，5）或（-1，0）. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 17 4. 【新趋势 探究性问题】已知，二次函数y=ax2+bx-3 的图象与x 轴交于A，B 两点（点A 在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标 为（-1，0），且OB=OC. （1）求二次函数的表达式； （2）当0≤x≤4时，二次函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）设点C'与点C 关于该抛物线的对称轴对称. 在y轴上是否存在点P，使△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. ⋮⋮ 变式训练 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 18 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-3的图象与y轴交于C点， ∴C（0，-3）. ∵OB=OC，点A在点B的左边，∴B（3，0）. 将点A，B的坐标分别代入表达式，得 解得 ∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3. （2）∵二次函数的表达式为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，1>0， ∴二次函数顶点坐标为（1，-4），图象开口向上. ∵当x=1时，y最小值=-4. 当x=0时，y=-3. 当x=4时，y=5. ∴当0≤x≤4时，二次函数的最大值为5，最小值为-4. 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 （3）存在点P. 理由：设P（0，m），如图. ∵点C'与点C关于该抛物线的对称轴直线x=1对称，C（0，-3）， ∴C′（2，-3），CC'//OB，∴CC'=2. ∵△PCC'与△POB相似，且PC与PO是对应边，∠PCC'=∠POB=90°， ∴△PCC'∽△POB，∴=，即 = ， 当m>0时，= =，解得m=-9（舍去）； 当-3<m<0时， = = ，解得m=-； 当m<-3时，= =，解得m=-9. ∴存在点P，点P的坐标为（0，-9）或. P C ' 目录 典例1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式4 变式3 绿卡图书—走向成功的通行证 21 $$