九下 第2章 二次函数 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第二章 二次函数 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 一、选择题 1. （河北张家口怀安期末）下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A. y =2x-5　　　B. y=ax2+bx+c　　　C. h= 　　　D. y= x2+ C 【解析】A. 是一次函数，故此选项不符合题意；B. 只有当a≠0时，是二次函数，故此选项不符合题意；C. 是二次函数，故此选项符合题意；D. 含有分式，不是二次函数，故此选项不符合题意. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 3 2. （山东潍坊中考）抛物线 y =x2+x+c 与 x 轴只有一个公共点，则c 的值为 （　　） A. - B. C. -4 D. 4 B 【解析】∵抛物线 y = x2+x+c 与x 轴只有一个公共点， ∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=12-4c=0，∴c=. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 4 3. （广东东莞校级一模）将二次函数 y =（x+1）2 -2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到的二次函数表达式是 （　　） A. y =（x-1）2-5　B. y =（x-1）2+1　C. y =（x+3）2+1　D. y =（x+3）2-5 A 【解析】将二次函数 y =（x+1）2-2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数表达式是 y =（x+1-2）2 -2-3，即 y =（x-1）2 -5. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 5 4. 【新定义 新概念问题】若两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”. 则抛物线 y = x2-2x+3与直线 y =x-2的“和谐值”为 （　　） A. 3 B. 2 C. D. D 【解析】∵1>0，∴抛物线开口向上，∴抛物线在直线上方. 设“和谐值”为h. ∵h=x2-2x+3-（x-2）= + ，∴该函数最小值为 . 故选D. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 6 5. 【思想方法 数形结合】对称轴为直线 x =1的抛物线 y =ax2+bx+c（a，b，c 为常数，且a≠0）如图所示，某同学得出了以下结论：①abc<0；②b2>4ac；③4a+2b+c>0；④当x>1时，y 随 x 的增大而增大，其中结论正确的个数为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 7 【解析】∵抛物线开口向上，∴ a>0. ∵抛物线对称轴为直线 x =- =1，∴b=-2a<0. ∵抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方，∴c<0，∴abc >0，①错误；∵抛物线与 x 轴有2个交点， ∴b2-4ac>0，即b2>4ac，∴②正确； ∵当x=0时，y<0，抛物线对称轴为直线x =1，∴当x =2 时，y =4a+2b+c<0，③错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴当x >1时，y 随 x 增大而增大，④正确. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 8 6. （湖北荆州模拟）已知二次函数 y = x2-x-12及一次函数 y =-x+m，将二次函数在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线 y =-x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是 （　　） A. m >13 B. 4<m<13 C. -3<m<4 D. -12<m<-3 B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 9 【解析】抛物线 y =x2-x-12在x 轴下方的图象关于 x 轴翻折后表达式为y= -x2+x+12，令-x2+x+12=-x+m，整理得x2-2x+m-12=0. 当Δ=（-2）2 -4×（m-12）=0 时，直线 y =-x+m与抛物线 y =-x2+x+12只有一个交点，解得m=13.把y =0代入 y =x2-x-12得0=x2-x-12，解得x1=-3，x2=4，∴抛物线与x 轴交点坐标为（-3，0），（4，0）. 把（4，0）代入 y =-x+m 得0=-4+m，解得m =4，∴m 的取值范围是4<m<13. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 10 7. （江苏徐州中考）若二次函数y=x2-2x-3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________. 4 【解析】∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线顶点为（1，-4）， ∴顶点到x轴的距离为4. ∵函数图象上有三个点到x轴的距离为m，∴m=4. 二、填空题 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 11 8. （湖北天门中考）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶. 在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶. 已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为________元. 70 【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元. w=（x-50）［200+（80-x）×20］=-20（x-70）2 +8 000， ∴当x=70时，w取得最大值，最大值为8000. 故每顶头盔的售价为70元. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 12 9. 已知点A（-3，y1），B（2，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，若y1>y2>n，则m的取值范围是________________. -<m<2或m>2 【解析】∵P（m，n）为顶点，y1>y2>n，∴抛物线开口向上，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，∴<m，解得m>-. ∵y2>n，∴m≠2. 故m的取值范围是-<m<2或m>2. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 13 10. 如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H. 在抛物线y=x2（x>0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是__________________. 或（3，） 【解析】∵点P在抛物线y=x2上，设P（m，m2），则PQ=m，OQ=m2. 由题意得，∠AOH=30°，在Rt△AOH中，OH= =AH. ∵AH⊥x轴，点Q为直角顶点，∴∠PQO=∠AHO=90°. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 ①当OH=OQ=m2，AH=PQ=m时，△HOA≌△QOP. ∵OH=AH，∴m2= m，解得m=0（舍去），m=. ∴A（3，）； ②当OH=PQ=m，AH=OQ=m2时，△HOA≌△QPO， ∵OH= AH，∴m=m2，解得m=0（舍去），m=. ∴A. 综上可知，符合条件的点A有2个，其坐标为或（3，）. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 11.（河南中考）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a（x-h）2 +k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度. 三、解答题 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 16 解：（1）由题意知，抛物线顶点为（5，3.2）， 设抛物线的表达式为y=a（x-5）2+3.2，将（0，0.7）代入，得 0.7=25a+3.2，解得a=-0.1，∴y=-0.1（x-5）2+3.2=-0.1x2+x+0.7， 所以，抛物线的表达式为y=-0.1x2+x+0.7. （2）当y=1.6时，-0.1x2+x+0.7=1.6，解得x=1或x=9， ∴她与爸爸的水平距离为3-1=2（m）或9-3=6（m）， ∴当她的头顶恰好接触到水柱时，与爸爸的水平距离是2 m或6 m. （1）求抛物线的表达式； （2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m. 身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从A，B两点同时出发，各自到达终点后才停止运动. （1）求△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间 的函数关系式； （2）求当t为何值时，PQ=4 cm. 解：（1）由题意得，AP=t，BQ= 则BP=AB-AP=6-t， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 18 ①0<t<4时，S=BQ·BP=·2t（6-t）=-t2+6t； ②4≤t<6时，S=×8BP=×8（6-t）=-4t+24. 综上，△PBQ的面积S与时间t之间的函数关系式为S= （2）①当0<t<4时，PQ2=BP2+BQ2，∴（4）2=（6-t）2+（2t）2， 解得t1=2，t2=. ②当4≤t<6时，PQ2=BP2+BC2，∴（4）2=（6-t）2 +82，此方程无解. 综上，当t=2或时，PQ=4 cm. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 13.【新趋势 探究性问题】如图，抛物线y=-x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m. （1）A，B，C三点的坐标为__________，__________，__________. （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由. （-2，0） （3，0） （0，4） 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 20 解：（1）令x=0，则y=4，∴C（0，4）. 令y=0，则-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=3，∴A（-2，0），B（3，0）. 故答案为：（-2，0），（3，0），（0，4）. （2）①∵抛物线的对称轴为x===，且CP⫽x轴， C（0，4），∴P（1，4），∴CP=1，AB=5. ∵CP⫽x轴，∴∠CPD=∠BAD，∠PCD=∠ABD，∴△CPD∽△BAD，∴==. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 21 ②如图，过点P作PQ⫽AB交BC于点Q. 设直线BC的表达式为y=kx+b. 将点B，C的坐标分别代入， 得解得 ∴直线BC的表达式为y=-x+4. ∵点P的横坐标为m，∴P Q 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 将y=-m2+m+4代入直线BC的表达式中，得x=m2-m， ∴Q. ∴PQ=m- =. ∵PQ⫽AB，∴∠PQD=∠ABD，∠QPD=∠BAD，∴△QPD∽△BAD， ∴===-2+. ∵0<m<3，∴当m=时，的最大值为. （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP=90°，且0<m<3. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 过点C作CF⫽x轴交抛物线于点F. ∵∠BCO+2∠PCB=90°，∠BCO+∠PCB+∠PCF=90°， ∴∠PCF=∠PCB. 延长CP交x轴于点M. ∵CF⫽x轴，∴∠PCF=∠BMC， ∴∠BCP=∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形. ∵BC===5， ∴BM=5，OM=8，∴M（8，0）. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 设直线CM的表达式为y=k′x+b′. 将点C，M的坐标分别代入， 得解得 ∴直线CM的表达式为y=-x+4. 令-x2+x+4=-x+4，解得x=或x=0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m=. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$