九下 2.5 二次函数与一元二次方程-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系及图象法求近似解，通过华罗庚“数缺形时少直观”引入，衔接二次函数图象与方程根的联系，搭建从形到数的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是融合数学文化（如第6题引用名言）和新定义问题（如第11题min函数），以几何直观培养数学眼光，借推理分析发展数学思维。分层练习与微专题方法指导，助力学生提升数形结合能力，也为教师提供系统教学资源。

第二章 二次函数 5　二次函数与一元二次方程 1 目 录 4 2 础 基 练 知识点1 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. （湖北天门六校联考期中）抛物线y=3x2-2x-1与x 轴的交点个数是 （　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 3 2. （广东广州花都二模）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c>mx+n，则x 的取值范围是 （　　） A. 0<x<3 B. 1<x<3 C. x<0或x>3 D. x<1或x>3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 4 5 3. （广东广州从化一模）已知二次函数y=-x2+bx+c 的顶点为（1，5），那么关于x 的一元二次方程-x2+bx+c-m=0有两个相等的实数根，则m=_______. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 5 4. （教材P53第3题改编）二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，方程-x2+bx+c=0的解为_____________；不等式-x2+bx+c<0的解集为_____________. x1=-1，x2=5 x<-1或x>5 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 6 解：（1）证明：当m=1时，函数为一次函数，与x 轴有交点； 当m≠1时，函数为二次函数，令y=0，则（m-1）x2+x-m+2=0. ∴Δ=1-4（m-1）（2-m）=（2m-3）2 ≥0， ∴函数的图象与x 轴有一个或两个交点， ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点. 5. （易错题）已知函数y=（m-1）x2+x-m+2（m 为常数）. （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x轴总有交点； （2）当m 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 7 （2）∵函数y=（m-1）x2+x-m+2过原点， ∴-m+2=0，∴m=2，∴y=x2+x. 令y=x2+x=0，解得x=0或x=-1， ∴函数图象与x 轴的另一个交点为（-1，0） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 8 知识点2 利用函数图象求一元二次方程的近似解 6. 【原创题 数学文化】 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”小颖为探索方程ax2+bx+c=0的根，作出了如图所示二次函数y=ax2+bx+c 的图象，并求得一个近似根为x=-4.3，则方程的另一个 近似根（精确到0.1）为 （　　） A. x=4.3 B. x=3.3 C. x=2.3 D. x=1.3 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 9 7. （教材P53引例改编）根据下表中二次函数y=ax2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0的一个解x 的取值范围是__________. x 0.4 0.5 0.6 0.7 y=ax2+bx+c -0.64 -0.25 0.16 0.59 0.5<x<0.6 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 10 升 提 练 8. （广东佛山三水三模）已知抛物线y=ax2+4ax-8与直线y=n 相交于A，B 两点（点A 在点B 左侧），AB=4，且抛物线与x 轴只有一个交点，则n的值为 （　　） A. -8 B. -4 C. 4 D. 8 A 【解析】∵抛物线与x轴只有一个交点，∴a≠0且Δ=16a2-4a×（-8）=0，∴a=-2，∴抛物线表达式为y=-2x2-8x-8. ∵抛物线的对称轴为直线x=- =-2，而AB⫽x 轴，AB=4，∴A 点的横坐标为-4，B 点的横坐标为0. 当x=0时，y=-8，∴n 的值为-8. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 11 9. （山东青岛一模）已知，一次函数y1=kx+m（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量与对应的函数值如表： 当y1>y2时，自变量x 的取值范围是 （　　） A. x>-或x>3 B. x<-或x>3 C. <x<3 D. -<x<3 x … - 0 2 3 4 … y1 … 1 3 4 5 … y2 … -2 -2 4 14 … D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 12 【解析】 由表格可得，直线y1=kx+m 的y 随x 增大而增大，抛物线y2=ax2+bx+c 的y 先随x 增大而减小，再随x 增大而增大，∴抛物线开口向上. ∵两函数都经过，（3，4），∴当- <x<3时，y1>y2. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 13 10. （安徽滁州定远模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，方程a（x+1）·（x-5）=-3的两根为x1和x2，且x1<x2，则下列结论正确的是 （　　） A. x1<-1<5<x2 B. x1<-1<x2<5 C. -1<x1<5<x2 D. -1<x1<x2<5 A 【解析】 由题意可得，y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-5），∴方程a（x+1）（x-5）=-3的两根即为抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=-3交点的横坐标，∴x1<-1<5<x2. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 14 11. 【新定义 新概念问题】 定义符号min｛a，b｝的含义：当a≥b 时， min｛a，b｝=b；当a<b 时，min｛a，b｝=a. 如：min｛1，-2｝=-2，min｛-3，-1｝=-3. 则min｛-x2+2，x｝的最大值是________. 养 素 练 1 【解析】 令-x2+2=x，解得x1=-2，x2=1，∴抛物线y=-x2+2与直线y=x 交点横坐标为-2，1. 将x=-2代入y=x 得y=-2，将x=1代入y=x 得y=1. 如右图，∴min｛-x2+2，x｝= ∴min｛-x2+2，x｝的最大值是1. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 15 题 专 微 4 抛物线与代数式值的正负性 【方法指导】 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）. （1）a 的符号由抛物线开口方向确定：开口向上a>0；开口向下a<0. （2）b 的符号由对称轴的位置和a 的符号确定：对称轴在y 轴左侧，a，b 同号；对称轴在y轴右侧，a，b异号. （左同右异） （3）c的符号由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，c>0；交点在y轴负半轴，c<0. （上正下负） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 16 （4）b2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac>0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac<0. （5）a+b+c 的值由x=1时抛物线纵坐标确定，4a-2b+c 的值由x=-2时抛物线纵坐标确定. （6）- 的值由对称轴确定. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 17 【针对训练】 1.（贵州毕节中考）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a-b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+c<b. 其中正确的有 （　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 18 【解析】 ∵图象开口向下，∴a<0. ∵对称轴为直线x=- =1，∴b=-2a>0. ∵图象与y 轴的交点在x 轴的上方，∴c>0，∴abc<0，故①错误； ∵- =1，∴2a=-b，∴2a+b=0，故②错误； 由图象可知，点（-1，0）关于直线x=1对称的点为（3，0）， ∵当x=-1时，y<0，∴当x=3时，y<0，∴9a+3b+c<0，故③错误； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2-4ac>0，∴b2>4ac，故④正确； 当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，∴a+c<b，故⑤正确. ∴正确的为④⑤. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 19 2.（四川达州中考）二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，与y 轴交于（0，-1），对称轴为直线x=1. 下列结论：①abc>0；②a> ；③对于任意实数m，都有m（am+b）>a+b 成立；④若（-2，y1），，（2，y3）在该函数图象上，则y3<y2<y1；⑤方程| ax2 +bx +c |=k（k≥0，k 为常数）的所有根的和为4. 其中正确结论有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 20 【解析】 ∵抛物线开口向上，∴a>0. ∵抛物线与y 轴交于点（0，-1），∴c=-1. ∵- =1，∴b=-2a<0，∴abc>0，故①正确；∵y=ax2-2ax-1，当x=-1时，y>0，∴a+2a-1>0，∴a> ，故②正确；当m=1时，m（am+b）=a+b，故③错误； ∵点（-2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1>y3， ∵点到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3>y2，∴y2<y3<y1，故④错误；方程| ax2+bx +c |=k（k≥0，k 为常数）的解，是抛物线与直线y=±k 的交点的横坐标，当有3个交点时，方程| ax2+bx +c |=k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程| ax2 +bx +c |=k（k≥0，k 为常数）的所有根的和为4，当有2 个交点时，方程| ax2+bx +c |=k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误. ∴正确的为①②. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 微专题4 11 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$