2.5 二次函数与一元二次方程 导学案 2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第5课　二次函数与一元二次方程 基础练习 一、抛物线与坐标轴的交点坐标 (1)求函数图象与x轴的交点坐标：令y＝0； (2)求函数图象与y轴的交点坐标：令x＝0. 1.求二次函数y＝－x2＋6x－8的图象与x轴的交点坐标． 2.已知二次函数y＝x2＋2x－3.求该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标． 二、二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) Δ＞0 有两个不相等的实数根 与x轴有两个交点 Δ＝0 有两个相等的实数根 与x轴有一个交点 Δ<0 无实数根 与x轴无交点 (2)若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(m，0)，(n，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的解为x1＝m， x2＝n； (3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有1个交点(0，c)． 1.抛物线y＝x2－4x＋3与x轴有2个交点． 2.当k ≤1时，函数y＝x2－(k－2)x＋k2的图象与x轴有交点． 3.若抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有2个交点，求m的取值范围． 4.若二次函数y＝(m－1)x2－2x＋的图象与x 轴有且只有一个交点，则m的值为 －1或2． 5.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1＝－1，x2＝2． 6.若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1＝2，x2＝3，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别是(2，0)，(3，0)． 强化练习 1．【几何直观】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况是(　D　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．抛物线y＝x2－6x＋5与x轴的交点坐标为(5，0)，(1，0)　－－　，与y轴的交点坐标为(0，5)． 拓展变式：(易错题)抛物线y＝x2＋4x＋4与坐标轴交点的个数为(　C　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 3．二次函数y＝ax2＋bx＋9的图象与x轴只有一个交点(－3，0)，则方程ax2＋bx＝－9的根为x1＝x2＝－3. 4．已知方程ax2－x＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－，则抛物线y＝－ax2＋x－c与x轴的交点坐标为((1，0)　－－． 5．(易错题)在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝kx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个交点，则k＝0或1． 分类讨论，函数既可以为一次函数又可以为二次函数．　 6．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)，不论m为何值，该函数图象与x轴有0个公共点；把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的新函数的图象与x轴只有一个公共点． 7．若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，即满足A(m，2m)，则称点A为“奇幻点”． (1)请找到二次函数y＝x2－x－4图象上的“奇幻点”． (2)已知二次函数y＝tx2＋(t－2)x－4(t为常数，且t≠0)，当t为何值时，该二次函数有唯一的“奇幻点”？ 提能练习 一、据二次函数值求自变量x的取值范围 注意：若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则抛物线的对称轴为直线x＝1，0)　－． 1.二次函数y＝x2＋2x－3的图象如图所示． (1)其对称轴是直线x＝－1； (2)当x＝－3或1时，y＝0； (3)当x＜－3或x＞1时，y＞0； (4)当－3＜x＜1时，x2＋2x－3<0. 2.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－4，0)，对称轴为直线x＝－1，则当y＞0时，x的取值范围是x<－4或x＞2． 二、两个函数值的大小比较问题 1.如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n交于点A(4，2)，B(－1，－3)． (1)当x＝－1或4时，y1＝y2； (2)当x＜－1或x＞4时，y1＞y2； (3)当－1＜x＜4时，y1<y2. 2.如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴交于点B(0，3)，直线AB的表达式为y2＝kx＋n(k≠0)． (1)当x＝0或3时，ax2＋bx＋c＝kx＋n； (2)当0＜x＜3时，ax2＋bx＋c＞kx＋n； (3)当x＜0或x＞3时，ax2＋bx＋c＜kx＋n. 小结 (1)对于抛物线y＝ax2＋bx＋c：y＞0是指函数图象在x轴上面的部分；y＝0是指函数图象与x轴的交点；y<0是指函数图象在x轴下面的部分． (2)对于两个函数y1，y2：y1＞y2是指y1图象比y2图象高的部分；y1＝y2是指y1图象与y2图象的交点；y1<y2是指y1图象比y2图象低的部分． 三、利用图表信息估计一元二次方程根的近似值 1.如表给出了二次函数y＝ax2＋x＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋x＋c＝0的一个近似根可能是(　B　) x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 … A．x＝1.1 B．x＝1.2 C．x＝1.3 D．x＝1.4, 2.如图，以(1，－4)为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是(　C　) A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 强化练习 1．【几何直观】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是x＜－1或x＞3． 2．直线y1＝x＋1与抛物线y2＝－x2＋3的图象如图所示，当y1＞y2时，x的取值范围为(　D　) A．x＜－2 B．x＞1 C．－2＜x＜1 D．x＜－2或x＞1 3．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＜n的解集为(　D　) A．x＞－1 B．x＜3 C．x＜－3或x＞1 D．－1＜x＜3 4．(数形结合思想)已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则下列结论正确的是(　B　) A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 5．经过A(2－3b，m)，B(4b＋c－1，m)两点的抛物线y＝－x2＋bx－b2＋2c(x为自变量)与x轴有交点，则线段AB的长为12． A，B两点纵坐标相同，则这两点关于抛物线的对称轴对称；抛物线与x轴有交点，则可得Δ的取值范围．　－－　 学科网（北京）股份有限公司 $$