九下 2.3 确定二次函数的表达式-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第二章 二次函数 3　确定二次函数的表达式 1 目 录 2 1. （教材P43随堂练习第2题改编）已知二次函数y=ax2+bx+1，若当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b的值分别为 （　　） A. a=1，b=2 B. a=1，b=-2 C. a=-1，b=2 D. a=-1，b=-2 础 基 练 知识点1 由两个条件确定二次函数表达式 B 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 3 2. （河北石家庄校级模拟）一条抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同，顶点坐标是（-2，1），则其表达式为 （　　） A. y=（x-2）2+1 B. y=（x+2）2-1 C. y=（x+2）2+1 D. y=-（x+2）2+1 C 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 3. （福建福州台江校级期末）若二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），且抛物线过（0，3），则二次函数表达式是_______________________. y=x2-4x+3 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 【变式】 小聪做作业时不小心将墨水滴在一道数学题上，题目变为“已知二次函数y=x2■x■的图象如图所示”，则题目中二次函数的表达式为________________. y=x2- x-2 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 4. 【新趋势 开放性问题】（河南洛阳三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：顶点到x轴的距离为2. 请你写出一个符合条件的表达式：________________. y=x2-8x+18 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 7 5. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上，且经过（-1，3），（-2，6）两点，则其表达式为 （　　） A. y=x2-2 B. y=-x2+2 C. y=x2+2 D. y=-x2-x C 知识点2 由三个条件确定二次函数表达式 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 6. （河南新乡长垣期末）小刚在用描点法画抛物线C1：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格： 请根据表格中的信息，写出抛物线C1的表达式：________________. y=-x2+4x+3 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 9 7. （教材P45第2题改编）（北京东城期末）二次函数图象过A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），则此二次函数的表达式是_________________. y=x2-x-2 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 10 8. （安徽滁州定远模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（1，4），C（0，3）. （1）求出此二次函数的表达式，并把它化成y=a（x-h）2+k的形式； （2）请在坐标系内画出这个函数的图象，并根据图象写出函数值y为负数时，自变量x的取值范围. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 11 解：（1）将A（-1，0），B（1，4），C（0，3）分别代入表达式y=ax2+bx+c，得 解得 所以，所求二次函数表达式为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4. （2）画函数图象如下： 根据图象可得函数值y为负数时，自变量x的取值范围是x<-1或x>3. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 12 9. （福建福州模拟）将抛物线y=x2沿直线y=3x方向移动个单位长度，若移动后抛物线的顶点在第一象限，则移动后抛物线的表达式是_________________________________. y=x2-2x+4 升 提 练 【解析】 设移动后的抛物线表达式为y=（x-h）2+k. ∵移动距离是，移动后抛物线的顶点在第一象限，∴h2+k2=（）2，h>0. 又∵k=3h，∴h2+（3h）2=（）2，解得h=1，∴k=3h=3，∴移动后的抛物线表达式为y=（x-1）2+3=x2-2x+4. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 13 10. （贵州六盘水中考）如图是二次函数y=x2+bx+c的图象，该函数的最小值是________. -4 【解析】 由图象可知，此函数的对称轴为直线x=-1，函数的图象经过点（-3，0）， 则解得则二次函数的表达式y=x2+2x-3. 当x=-1时，y=（-1）2+2×（-1）-3=-4，即该函数的最小值是-4. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 14 11. （吉林白山二模）如图，点A的坐标为（-1，0），点C在y轴的正半轴上，点B在第一象限，CB⫽x轴，且CA=CB. 若抛物线y=a（x-1）2+k经过A，B，C三点，则此抛物线的表达式为________________________________. y=（x-1）2+ 【解析】由题意得，对称轴为直线x=1，B，C关于直线x=1对称，∴B点的横坐标为2，∴BC=2. ∵CA=CB，∴CA=2.∵点A的坐标为（-1，0），∴OA=1，∴OC==，∴C（0，），把A（-1，0）和C（0，）代入抛物线y=a（x-1）2+k中得 解得　∴此抛物线的表达式为y=（x-1）2+. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 15 12. （江苏苏州工业园期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A，B两点，且CB=4AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x>0），则y关于x的函数表达式为________________. y= x2 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 16 【解析】如图，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E. ∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，∠ADC=∠BEC=90°. 又∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴ = =. ∵CB=4AC，∴CE=4CD，BE=4AD. 设AD=m，则BE=4m.∵A，B两点在二次函数y=x2的图象上， ∴A（-m，m2），B（4m，16m2），∴OD=m2，OE=16m2，∴ED=15m2，而CE=4CD，∴CD=3m2，OC=4m2，∴C（0，4m2）. ∵P为CB的中点， ∴P（2m，10m2），又已知P（x，y），∴∴y= x2. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 17 13. （易错题）已知y关于x的二次函数y=x2-2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）. （1）k关于h的函数表达式为____________； （2）若抛物线不经过第三象限，且在-2≤x≤2时，二次函数最小值与最大值的和为 ，则m=________. k=2h+1 反思本题易错点是_______________________________________________ _______________________________________________________________. 本题易因不考虑对称轴x=m是否在自变量的取值范围内致错. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 18 【解析】（1）∵y=x2-2mx+（m+1）2=（x-m）2+2m+1，∴h=m，k=2m+1，∴k关于h的函数表达式为k=2h+1. （2）令x=0，则y=（m+1）2，∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）. ∵抛物线不经过第三象限，抛物线的对称轴为直线x=m，且（m+1）2≥0， ∴当m<0时，2m+1≥0，解得-≤m<0，当m≥0时，恒成立. ①当-≤m<0时，∵-2≤x≤2，∴当x=m时，函数取最小值为y=2m+1，当x=2时，函数取最大值为y=4-4m+（m+1）2=m2-2m+5. ∵二次函数最小值与最大值的和为，∴2m+1+m2-2m+5=，即m2= ，解得m=±（不合题意，舍去）； 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 19 ②当0<m<2时，∵-2≤x≤2，∴当x=-2时，函数取最大值为y=4+4m+ （m+1）2=m2+6m+5，当x=m时，函数取最小值为y=2m+1. ∵二次函数最小值与最大值的和为，∴m2+6m+5+2m+1=，解得m= 或m=-（不合题意，舍去），∴m= . ③当m≥2时，∵-2≤x≤2，∴当x=-2时，函数取最大值为y=m2+6m+5，当x=2时，函数取最小值为y=m2-2m+5. ∵二次函数最小值与最大值的和为，∴m2+6m+5+m2-2m+5= ，即2m2+4m-=0， 解得m= （不合题意，舍去）. 综上，m=. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 20 14. （安徽合肥三模）已知抛物线y=-x2+ax-a2-4a+3（a是实数）. （1）若该抛物线的顶点的纵坐标为-1，求该抛物线的表达式； （2）若点M（c+4a-1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上，求b的最大值. 解：（1）∵抛物线的顶点的纵坐标为-1， ∴=-1，解得a=1， ∴该抛物线的表达式为y=-x2+x-2. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 21 （2）根据题意，抛物线的对称轴为直线x==2a. ∵点M（c+4a-1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上， ∴抛物线的对称轴可表示为x=， ∴=2a，解得c=-1，∴N点坐标为（2，b）. 将N（2，b）代入y=-x2+ax-a2-4a+3， 得b=-a2-2a+2=-（a+1）2+3，∴b≤3，∴b的最大值为3. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 22 15. 【新定义 新概念问题】定义：若抛物线y1=a1（x+h）2+k1与抛物线 y2=a2（x+h）2+k2，同时满足a2=-4a1且k2=-k1，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”. （1）已知抛物线y1=-x2+bx+c与y2=x2-2x-3是一对共轭抛物线，求y1的表达式； （2）如图1，将一副边长为4的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为y1，经过A，B，C的抛物线为y2，请直接写出y1，y2的表达式并判断它们是否为一对共轭抛物线. 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 23 解：（1）∵y2=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴a2=1，h=-1，k2=-4. ∵抛物线y1=-x2+bx+c与y2=x2-2x-3是一对共轭抛物线， ∴h=-1且k1=-4k2=16， ∴y1=-(x-1)2+16=-x2+x+. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 24 （2）如图，设AD与y轴交点为G，AC与BD交点为F. 由题意得，DF=AF=4，则AG=GF=DG=4，EG=2，BC=4，OF=2. ∵点O为BC的中点，∴BO=OC=2， ∴B（-2，0），C（2，0），A（-4，6），D（4，6），E（0，8）， ∴可设抛物线y1=a1x2+8，抛物线y2=a2（x+2）（x-2）， ∴16a1+8=6，（-4+2）×（-4-2）a2=6，解得a1=-，a2=， ∴抛物线y1=-x2+8，y2=（x+2）（x-2）=x2-2. ∴a1=-，h=0，k1=8，a2=，h=0，k2=-2.∵-×（-4）= ，-×8=-2， ∴满足a2=-4a1且k2=-k1，∴y1，y2是一对共轭抛物线. 目录 2 3 4 5 6 9 1 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 25 绿卡图书—走向成功的通行证 26 $$