九下 2.2 第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²和y=ax²+c的图象与性质，通过象棋棋盘“马”的坐标、冬奥会烟花等生活实例导入，衔接一次函数知识，搭建从具体情境到抽象性质的学习支架，帮助学生理解抛物线开口方向、顶点坐标等关键内容。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如“象棋棋子位置判断”“烟花阴影面积计算”等新情境题培养用数学眼光观察现实世界，分类讨论思想、规律探究题（如裂项求和）发展数学思维，分层练习（基础、提升、素养）结合中考题与变式题，助力学生提升应用能力，也为教师提供丰富教学资源，提高课堂效率。

第一章 二次函数 2 　二次函数的图象与性质 第2课时 　二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与 性质 1 目 录 2 1. 抛物线y=-x2的开口方向是 （　　） A. 向上 B. 向下 　C. 向右 D. 向左 础 基 练 知识点1 二次函数y=ax2的图象与性质 B 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 3 2. 抛物线y=-3x2的顶点坐标为 （　　） A. （0，0） B. （0，-3） C. （-3，0） D. （-3，-3） A 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 3. （易错题）对于二次函数y=-2x2，下列结论正确的是 （　　） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于直线x=0对称 C. 图象开口向上 D. 无论x取何值，y的值总是负数 B 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 4. （天津和平校级期中）在下列抛物线中，开口最小的是 （　　） A. y=-x2 B. y=-x2 C. y=x2 D. y=x2 C 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 【变式】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2. 则a，b，c，d的大小关系为_________. a>b>d>c 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 7 5. （江苏泰州中考）已知点（-3，y1），（-1，y2），（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3<y1<y2，那么这个函数是 （　　） A. y=3x B. y=3x2 C. y= D. y=- D 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 6. 【新情境 传统文化】象棋在中国有着悠久的历史，是首届世界智力运动会的正式比赛项目之一. 如图是一方的棋盘，如果“马”的坐标是（-2，2），它是抛物线y=ax2（a≠0）上的一个点，那么下面哪个棋子也在该抛物线上？ 　（　　） A. 帥　　B. 卒　　C. 炮　　D. 仕 B 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 9 7. （湖北荆门中考）抛物线y=x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1<y2，则下列结论正确的是 （　　） A. 0≤x1<x2 B. x2<x1≤0 C. x2<x1≤0或0≤x1<x2 D. 以上都不对 D 知识点2 二次函数y=ax2+c的图象与性质 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 10 8. （教材P36第3题改编）请在同一直角坐标系中，画出y=-x2和y=-x2+1的图象，并根据图象回答下列问题. （1）抛物线y=-x2+1向_______平移_______个单位得到抛物线y=-x2； （2）抛物线y=-x2+1开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________； （3）抛物线y=-x2+1，当x________时，函数y随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________. 下 1 向下 y轴 （0，1） >0 =0 大 大 1 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 11 9. （河北石家庄辛集期末）抛物线y=x2，y=-x2-1，y=x2共有的性质是 （　　） A. 开口向上 B. 对称轴为y轴 C. 都有最低点 D. 开口大小相同 升 提 练 B 【解析】抛物线y=x2，y=-x2-1，y= x2共有的性质是对称轴为y轴. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 12 10. （青海西宁中考）函数y=ax2+1和y=ax+a（a为常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （　　） 【解析】∵y=ax2+1，∴二次函数y=ax2+1的图象的顶点为（0，1），故A，B不符合题意；当y=ax+a=0时，x=-1，∴一次函数y=ax+a的图象过点（-1，0），故C不符合题意，D符合题意. 故选D. D 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 13 11. 【原创题 生产生活】冬奥会开幕式的烟花璀璨夺目，一束束展开的烟花形如抛物线. 喜欢数学的小军根据一束烟花的两张抓拍照片，在同一坐标系中绘制了y1=-x2+1，y2=-x2-1两条抛物线，如图所示，则这两条抛物线与分别经过点（-2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为________. 8 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 14 【解析】如上页图，∵两条抛物线表达式的二次项系数相同，∴两条抛物线的形状完全相同. 过y2=-x2-1的顶点（0，-1）作平行于x轴的直线与y1= -x2+1围成的阴影，同过点（0，-3）作平行于x轴的直线与y2=-x2-1围成的图形形状相同，故可以把阴影部分通过平移转化为一个矩形，因此S阴影=4×2=8. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 15 【解析】∵二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3）， ∴3=a+2，∴a=1，∴y=x2+2. ∵Q（m，n）在y=x2+2上，∴n=m2+2，∴n2-4m2-4n+9=（m2+2）2-4m2-4（m2+2）+9=m4-4m2+5=（m2-2）2+1. ∵（m2-2）2≥0，∴n2-4m2-4n+9的最小值为1. 故选A. 12. （山东淄博中考）若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 16 13. 【新定义 新运算问题】定义新运算a⊗b=例如：4⊗5=4×52，4⊗（-5）=-4×（-5）2. 则函数y=2⊗x的图象大致为 （　　） D 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 17 【解析】∵a⊗b=∴y=2⊗x=当x≥0时，图象是开口向上的过原点的二次函数图象的一部分；当x<0时，图象是开口向下的二次函数图象的一部分. 所以D选项的图象符合题意. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 18 14. （广东中山校级期中）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，直角顶点B在x轴上. 将 Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则CP的长为________. 4- 【解析】把A（-2，4）代入y=ax2中，得4a=4，解得a=1，∴y=x2. ∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（-2，4），AB⊥x轴，∴AB=4，OB=2. ∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，∴OD=OB=2，CD=AB=4，∠ODC=∠OBA=90°，∴点D坐标为（0，2），CD⊥y轴，∴点P的纵坐标为2. 把y=2代入y=x2中，得x2=2，解得x=（负值舍去），∴点P的坐标为（，2），∴PD=，∴PC=CD-PD=4-. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 19 15. 【思想方法 分类讨论】已知函数y=ax2与函数y=-x2+c的图象形状完全相同，且抛物线y=ax2沿对称轴平移2个单位就能与抛物线y=-x2+c完全重合，求这两个函数的表达式. 解：由题意得a=-，∴函数为y=-x2. ∵抛物线y=-x2的对称轴为y轴，且抛物线y=-x2沿对称轴平移2个单位就能与y=-x2+c的图象完全重合，∴平移后的二次函数的表达式为y=-x2+2或y=-x2-2. ∴这两个函数的表达式为y=-x2和y=-x2+2或y=-x2-2. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 20 16. 【新趋势 规律探究题】如图，分别过点Pn（n，0）（n为正整数）作x轴的垂线，交二次函数y=x2（x>0）的图象于点An，交直线y=-x（x>0）于点Bn，则++⋯+的值为 （　　） A. B. 2 C. D. A 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 21 【解析】由题意可知An，Pn，Bn的横坐标相同， ∵Pn（n，0），∴Bn，An. ∴AnBn=n2-=n2+n. ∴===2. ∴++⋯+ =2+2+…+2 =2 =2 =. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 9 1 16 变式 7 8 13 12 11 10 15 14 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$