九下 第1章 直角三角形的边角关系 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 直角三角形的边角关系 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 1. （河南安阳内黄模拟）在Rt△ABC 中，∠C=90°，sin A=，则tan A= （　　） A. B. C. D. B 一、选择题 【解析】在Rt△ ABC 中，∠C=90°，sin A= ， ∴sin A = = ，∴设BC=4a，AB=5a， ∴AC = = =3a， ∴tan A= = = . 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 2. （山东聊城临清一模）如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC 的值等于 　 （　　） A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. B 【解析】∵AB = ，BC = ，AC = ， ∴AB2 = BC2 +AC2， ∴∠ACB=90°. ∴sin∠ABC = = = . 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3. （广东广州花都二模）如图，一辆小车沿着坡度为i=1∶ 的斜坡向上行驶了100米，则此时该小车上升的高度为 （　　） A. 50米　　　 B. 50米　　　 C. 50米　　　 D. 100米 A 【解析】设此时该小车上升的高度为x米，则水平前进了x米. 根据勾股定理可得，x2+ =1002，解得x=50（负值舍去）. 即此时该小车上升的高度为50米. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 4. 【新趋势 多模块综合】若tan 30°的值用数轴上一个点表示，这个点的位置可能落在段 （　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ A 【解析】∵tan 30°= ， < < ，∴ < < ， ∴0.5< < <0.67<0.7， ∴这个点的位置可能落在段①. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5. （广东惠州惠城二模）如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=6，BC=8，点D 为BC 的中点，DE⊥AB 于点E，则cos∠BDE 的值等于 （　　） A. B. C. D. B 【解析】如图，连接AD. ∵AB=AC=6，点D 为BC 的中点， ∴BD=CD= BC=4，AD⊥BC， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 在Rt△ABD中，AD= = =2. ∵ED⊥AB，∴AB·ED=BD·AD， ∴ED= = = . 在Rt△BED 中，cos∠BDE = = = . 故选B. 6. （山东济南章丘二模）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行30 km至B 港，然后沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A，C 两港间的距离为 （　　） A. （30+30）km B. （30+10）km C. （10+30）km D. 30 km B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 【解析】根据题意得，∠CAB=65°-20°=45°，∠ACB=40°+20°=60°， AB=30 km. 如图，过 B 作BE⊥AC 于E，∴∠AEB=∠CEB=90°. 在Rt△ABE 中，∵∠BAE=45°，AB=30 km， ∴ AE = BE = AB·sin 45°=30× = 30（km）. 在Rt△CBE 中，∵∠ACB=60°， ∴CE= = = 10（km）， ∴AC=AE+CE=（30+10）km， ∴A，C 两港间的距离为（30+10）km. 故选B. E 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 7. （湖北十堰中考）如图，坡角为α 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC 长为m，则大树AB 的高为 （　　） A. m（cos α-sin α） B. m（sin α-cos α） C. m（cos α-tan α） D. A 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 【解析】如图，过点C 作水平地面的平行线，交 AB 的延长线于点D，则∠BCD=α. 在Rt△BCD 中，BC=m，∠BCD=α， ∴BD=BC·sin∠BCD=m·sin α， CD=BC·cos∠BCD=m·cos α. 在Rt△ACD 中，∠ACD=45°， ∴AD=CD=m ·cos α， ∴AB=AD-BD=m·cos α-m·sin α=m（cos α-sin α）. 故选A. D 水平地面 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 8. 如图，在阳光下直立于地面的电线杆AB，落在水平地面和坡面上的影子分别是 BC，CD，测得 BC =6米，CD =4米，斜坡CD 的坡度为1∶，在 D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，则电线杆AB 的高度为 （　　） A. （2+2）米 B. （2+3）米 C. （4+3）米 D. （4+2）米 D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 【解析】如图，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥BC 交BC的延长线于点N. ∵斜坡CD 的坡比为1∶，即DN∶CN=1∶， ∴tan∠DCN = = ，∴∠DCN =30°. 又∵CD =4米，∴DN = CD =2米，CN = CD ·cos 30°= 4× =2（米）， ∴BN = BC + CN =（6+2 ）米，BM = DN =2米. 在Rt△AMD中，∠ADM =30°，MD= BN =（6+2）米， ∴ AM=MD·tan 30°=（6+2）× =（2 +2）米， ∴ AB = AM + BM =2 +2+2=（2 +4）米. 故选D. N M 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 9. （山东济南商河模拟）若α是锐角，且sin α=1-3m，则m 的取值范围是________；将cos 21°，cos 37°，sin 41°，cos 46°的值，按由小到大的顺序排列是_____________________________. 二、填空题 0<m< sin 41°<cos 46°<cos 37°<cos 21° 【解析】α 是锐角，且sin α=1-3m，则有0<1-3m<1，解得0<m< ； ∵ sin 41°=cos 49°，根据角的余弦值随角增大而减小， 故有sin 41°<cos 46°<cos 37°<cos 21°. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 10. 【新定义 新概念问题】我们给出定义：如果两个锐角的和为 45°，那么称这两个角互为半余角. 在△ ABC 中，∠A，∠B 互为半余角，且 = ，则tan A=________. 【解析】如图，过点 B 作 BD⊥AC ，交 AC 的延长线于点 D. ∵ = ， ∴设 BC = a，AC=2a. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 ∵∠A，∠ABC 互为半余角， ∴∠A+∠ABC=45°，∴∠DCB=∠A +∠ABC = 45°. 在Rt△CDB中，BD = BC ·sin 45°= a· = a， CD = BC ·cos 45°= a· = a. ∵AC =2a，∴ AD = AC + CD = 2a + a =3a. 在Rt△ ABD 中，tan A = = = . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11. （黑龙江哈尔滨阿城模拟）已知在△ ABC 中，AB = AC =5，△ ABC 的面积为7.5，则∠ACB 的正切值为________. 3或 【解析】如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 BD = CD， 设 AD = x，BD = CD = y. ∵ AD·BC =7.5，根据勾股定理得，AD2+BD2=AB2， ∴ xy =7.5，x2+y2=52， ∴（x+y）2-2xy =25，（x-y）2 +2xy = 25， ∴ x+y =2（负值舍去），x-y=±， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 ∴ x = ，y = 或 x = ，y= . 在Rt△ ACD 中，tan∠ACB = = ， 当x = ，y= 时，tan∠ACB =3； 当x = ，y = 时，tan∠ACB = . 即∠ACB 的正切值为3或 . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 12. （广东深圳三模）已知函数 y =的图象如图所示，点 P 是 y 轴正半轴上一动点，过点 P 作 y 轴的垂线交图象于 A，B 两点，连接 OA，OB. 若∠AOB =90°，则 cos A =________. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 【解析】设 P 的坐标为（0，m），∵ AB⊥y 轴，∴∠ APO =90°， ∴点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为， ∴ AP = ，BP = ，∴ AB = AP + BP = . ∵∠ AOB =90°，∴∠ APO =∠ AOB =90°. ∵∠ PAO =∠ OAB，∴△ APO∽△ AOB，∴ = ， 则 AO2= AP·AB = ×，解得 AO = ， 在Rt△ AOP 中，cos A = = = . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 13. 计算： （1）2sin 30°-3tan 45°·sin245°+cos 60°； （2）2cos 30°-tan 45°- . 三、解答题 解：原式=2×-3×1×+ =1- + =0. 解：原式=2× -1-= -1- +1=0. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 14.（湖北武汉校级阶段练习）如图，在△ ABC 中，∠C=30°，AC =8，cos B = ，求 BC 长. D 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵AC =8，∠C =30°， ∴ AD = AC·sin C =8× =4，CD = AC·cos C =8× = 4. ∵cos B = ，∴ = . 设 DB =3k，AB =5k，在Rt△ ADB中，AD = =4k. ∵ AD =4，∴k =1，∴ DB =3，∴ BC = CD + DB = 4 +3. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 15.【新情境 科技进步】一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物 AB 的顶端 A 的俯角为24°. 无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点 Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66°. 已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度.（参考数据：sin 24°≈ ，cos 24°≈ ，tan 24°≈ ，sin 66°≈ ，cos 66°≈ ，tan 66°≈ ） 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 【解析】如图，过点 A 作 AC⊥PQ，交 PQ 的延长线于点 C . 设 AC = x 米，∵∠ APC =24°，∠ BQC=66°， 在Rt△ APC 中，PC = = ≈ x 米. 在Rt△BCQ 中，QC = = ≈米. ∵ PQ =48米，∴ PC -QC =PQ =48米， ∴ x- =48，解得x =36， ∴ BC = AC + AB =36+36=72（米）. 所以，无人机飞行时距离地面的高度约为72米. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 16.【新趋势 探究性问题】【问题探究】在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB =2. （1）如图1，点 E 为 AD 的中点，则点 E 到 AB 的距离为________； （2）如图2，点 M 为 AD 上一动点，则 AM +MC 的最小值为________. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 【解析】【问题探究】（1）∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC =2，∠BAC =∠ACB =∠ABC =60°. ∵AD⊥BC，∴∠BAD =30°，BD =1，∴ AD = AB·cos∠BAD =. 如图，过点 E 作 EM⊥AB，垂足为M . ∵ E 为 AD 的中点，∴ AE = ， ∴ EM = AE = . 故答案为： . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 （2）如图，过点 M 作 MF⊥AB，交 AB 于点 F. 在Rt△ AMF 中，∠MAF =30°，∴ MF = AM. ∴ AM + MC = MF + MC . 过点 C 作 CN⊥AB，交 AB于点 N，当点 F与点 N重合时，MF +MC最小，最小值等于CN，即 AM + MC的最小值等于CN. 在Rt△ACN 中，∠NAC=60°，∴CN=AC·sin∠NAC= . ∴ AM + MC 的最小值为. 故答案为：. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 【问题解决】如图3，A，B 两地相距600 km，AC 是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点 B 到 AC 的距离为360 km. 今计划在铁路线 AC 上修一个中转站 M，再在 BM 间修一条笔直的公路. 如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由 A 到 M 再通过公路由 M 到 B 的总运费达到最小值，中转站 M 应修在使 AM =_____________处. （480-120） 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 【问题解决】设在公路上的运费为a 元/km，则在铁路上的运费为 a元/km. 根据题意，可得总运费=AM· a+BM·a= a元. 如图，作BD⊥AC，垂足为 D，在 AC 异于点 B 的一侧作∠CAN=30°，作BH⊥AN，垂足为H，交AC 于点 M，由（2）可得，此时 AM +BM 的值最小，即总运费最少. 在Rt△ ABD 中，∵ AB =600 km，BD =360 km， ∴ AD= =480（km）. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 又∵∠ BMD +∠ BDM =∠AMH +∠AHM， ∴∠MBD=∠MAH =30°. 在Rt△MBD 中，MD =BD·tan∠MBD=120 km， ∴ AM=AD - MD =（480-120）km. 故答案为：（480-120）km. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 绿卡图书—走向成功的通行证 32 $$