九下 1.5 三角函数的应用-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章　直角三角形的边角关系 5　三角函数的应用 1 目 录 2 础 基 练 知识点1 方向角问题 1. （广东深圳模拟）如图，点A 到点C 的距离为200米，要测量河对岸点B 到河岸AD 的距离. 小明在点A测得B 在北偏东60°的方向上，在点C 测得B 在北偏东30°的方向上，则点B 到河岸AD 的距离为 （　　） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 100 米 D 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 3 2. （湖北荆门中考）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向以50 海里/小时的速度航行t 小时后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的点B 处，则t=________小时. （1+） 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 4 3. 【原创题 生产生活】 华南国家植物园是目前世界上最大的南亚热带植物园. 家住植物园附近的佳佳在游园时发现斜坡旁有一棵很高的树，她想用所学的三角函数的知识测量它的高度. 已知在坡脚C 处测得树顶B 的仰角为60°，在坡顶D 处测得树顶B 的仰角为30°，CD=10 m，DE=5 m，则树AB 的高是 （　　） A. 5 m B.（5+5）m C. 15 m D. 10 m C 知识点2 仰角、俯角问题 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 5 4. 【新情境 社会经济】 如图，某政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB. 无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D，测得A 的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E，测得点B 的俯角为37°. （1）求无人机的高度AC（结果保留根号）； （2）求AB 的长度.（结果精确到1 m. 参考数 据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75，≈1.73） 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 6 F 解：（1）由题意，CD=8×15=120（m），在Rt△ACD 中，tan∠ADC= ， ∴AC=CD·tan∠ADC=CD·tan 60°=120×=120（m）. ∴无人机的高度AC 是120 m. （2）如图，过点B 作BF⊥CE 于点F，则四边形ABFC 是矩形， ∴BF=AC=120 m，AB=CF. 在Rt△BEF 中，tan∠BEF= ， ∴EF= ≈ ≈276.8（m）. ∵CE=8×（15+50）=520（m）， ∴AB=CF=CE-EF=520-276.8≈243（m），∴AB 的长度约为243 m. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 7 5. （山东菏泽中考）菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B 延伸至点D，求BD的长.（结果精确到0.1米. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73） 解：由题意得，在Rt△ABC 中， ∵∠ABC=37°，AB=8米， ∴AC=AB·sin 37°≈8×0.60=4.8（米）， BC=AB·cos 37°≈8×0.80=6.4（米）. 在Rt△ACD 中，CD= = ≈8.304（米）， 则BD=CD-BC=8.304-6.4≈1.9（米）. ∴BD 的长约为1.9米. 知识点3 坡度问题 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 8 升 提 练 6. （易错题）气象部门预报：在海面上生成了一股较强台风，在距台风中心60 km的圆形区域内将会受严重破坏. 如图，台风中心正从海岸M 点登陆，并以72 km/h的速度沿北偏西60°的方向移动. 已知M 点位于A 城的南偏东15°方向，距A 城61 km；M 点位于B城的正东方向，距B 城60 km. 假设台风在移动过程中，其风力和方向保持不变，请回答下列问题： （1）A 城和B 城是否会受到此次台风的 侵袭？并说明理由； （2）若受到此次台风侵袭，该城受到台 风侵袭的持续时间有多少小时？ 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 9 解：（1）A 城不会受到台风的侵袭，B 城会受到台风的侵袭. 理由：设台风中心移动的路线为射线MN，于是∠AMN=60°-15°=45°. 过A 作AH⊥MN 于H，故△AMH是等腰直角三角形. ∵AM=61 km，∴AH=AM·sin 45°=61× =61（km）. ∵61>60，∴A 城不会受到台风的侵袭； 过B 作BH1⊥MN 于H1. ∵MB=60 km，∠BMN=90°-60°=30°， ∴BH1=MB·sin 30°=60×=30（km）， ∵30<60，∴B 城会受到台风的侵袭. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 10 （2）以B 为圆心、60 km为半径作弧与MN 交于T1，T2，则BT1=BT2=60 km. 在Rt△BT1H1中，sin∠BT1H1= = ， ∴∠BT1H1=60°，∴△BT1T2是等边三角形，∴T1T2=60 km. ∴台风中心经过线段T1T2所用的时间为 = （h）. 因此B 城受到台风侵袭的持续时间有 h. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 11 7. 【新情境 生产生活】（江苏徐州中考）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30°. 在阳光下，小明观察到AB 在地面上的影长为120 cm，在坡面上的影长为180 cm. 同一时刻，小明测得直立于地面长60 cm的木杆的影长为90 cm（其影子完全落在地面上）. 求立柱AB的高度. 解：如图，延长AD 交BN 于点E，过点D作DF⊥BN 于点F. 在Rt△CDF 中，∠CFD=90°，∠DCF=30°， F E 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 12 ∴DF= CD=90 cm，CF=CD·cos∠DCF=180× =90（cm）. 由题意得， = ，即 = ，解得EF=135 cm， ∴BE=BC+CF+EF=（255+90）cm， 则 = ，解得AB=（170+60）cm. 所以，立柱AB 的高度为（170+60）cm. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 13 8. 【新趋势 探究性问题】【知识再现】 如图1，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. ∵sin A= ，sin B= ，∴c= ，c= . ∴ = . 【拓展探究】 如图2，在锐角△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c. 请探究，， 之间的关系，并写出探究过程. 【解决问题】 养 素 练 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 14 如图3，为测量点A 到河对岸点B 的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=60 m，∠A=75°，∠C=60°. 请用拓展探究中的结论，求点A 到点B 的距离. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 15 解：【拓展探究】 如图，作CD⊥AB 于点D，AE⊥BC 于点E. 在Rt△ABE 中，sin B= = ， 同理：sin B= = ，sin∠BAC= = ，sin∠BCA= = ， ∴AE=c·sin B，AE=b·sin∠BCA，CD=a·sin B，CD=b·sin∠BAC， ∴ = ， = ，∴ = = . 【解决问题】 在△ABC 中，∠B=180°-∠A-∠C=180°-75°-60°=45°， ∵ = ，∴ = ，∴AB=30 m. ∴点A 到点B 的距离为30 m. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $$