九下 1.1 第2课时 正弦与余弦-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章　直角三角形的边角关系 1　锐角三角函数 第2课时　正弦与余弦 1 目 录 3 2 1. （安徽亳州期末）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=2，则sin A 的值为 （　　） A. B. C. D. 础 基 练 知识点1 正弦与余弦 D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 3 【变式】在Rt△ABC 中，若∠C=90°，BC=3，AC=4，则cos A 的值为 （　　） A. B. C. D. D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 4 2. （河南周口西华一模）如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于sin A 的是 （　　） A. B. C. D. D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 5 3. （教材P6 做一做改编）在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，cos A= ，则AC=________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 6 4. 在Rt△ABC中，∠C=90°. 若3AB=5AC，则sin A=________. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 7 5. （河北保定莲池模拟）在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果∠A=α，AC=1，那么AB 等于 （　　） A. sin α B. cos α C. D. D 知识点2 三角函数 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 8 6. 【新情境 生产生活】攀登冲锋梯项目是消防救援队伍的一项传统基础技能科目，主要作用是在建筑火灾中快速实施外部登高，打通内攻通道的同时为火灾中的被困人员开辟救生途径. 如图，关于梯子（长度不变）跟地面所成的锐角∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是 （　　） A. sin A 的值越小，梯子越陡 B. cos A 的值越大，梯子越陡 C. tan A 的值越大，梯子越陡 D. 陡缓程度与∠A 的函数值无关 C 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 9 7. 在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，下列等式中不一定成立的是 （　　） A. b=a·tan B B. a=c·cos B C. c= D. a=b·cos A D 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 10 8. （安徽宣城宣州二模）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC 的顶点都在格点上，则sin∠ABC 等于 （　　） A. B. C. D. C 升 提 练 【解析】 ∵小正方形的边长均为1，∴AC2=5，BC2=20，AB2=25，∴AC2 +BC2=AB2，∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90°，∴sin∠ABC= = . 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 11 9. （河北保定莲池模拟）已知在△ABC 中，AB=7，AC=8，BC=5， 则sin C=________. 【解析】 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D. 设CD=x，则BD=BC-CD=5-x. 在Rt△ABD 中，由勾股定理得AD2=AB2-BD2， 在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD2=AC2-CD2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2，即72-（5-x）2=82-x2，解得x=4， ∴CD=4，∴AD= = =4. ∴sin C= = . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 12 10. 【原创题 传统文化】 考古工作者在对秦兵马俑一号坑的两个过洞进行考古发掘时，发现跪射俑作蹲跪姿，右膝、右足、左足三个支点呈等腰三角形支撑着上体，若等腰三角形的两边长为5和6，则该等腰三角形底角的余弦值为________. 或 【解析】 如图，作AD⊥BC 于点D. 当AB=AC=5，BC=6时， ∵AD⊥BC，∴BD=3，∴cos B= = ； 当AB=AC=6，BC=5时，∵AD⊥BC，∴BD=2.5，∴cos B= = = . ∴该等腰三角形底角的余弦值为或. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 13 【变式】（易错题）在Rt△ABC 中，AC=8，BC=6，则cos A 的值等于________. 反思本题易错点是_______________________________________________ _______________________________________________________________. 易认为AC，BC为直角边，忽略AC为斜边的可能性，从而丢解 或 【解析】 ①当AB 为斜边，∠C=90°时，∵AC=8，BC=6，∴AB= = =10，∴cos A= = = ；②当AC 为斜边，∠B=90°时，∴AB= = =2，∴cos A= = = . 综上所述，cos A 的值等于或. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 14 11. （上海宝山期中）如图，△ABC中，AC=13，BC=21，tan C= ，求边AB 的长和∠A 的正弦值. F 解：过点B作BF⊥AC 于点F，则∠AFB=∠BFC=90°. 在Rt△BFC 中，tan C= = ， 设BF=12k，CF=5k， 由勾股定理得，（12k）2 +（5k）2=212，解得k= （负数舍去）， 即BF= ，CF= . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 15 ∵AC=13，∴AF=13- = ， 在Rt△AFB中，AB= = =20， ∴sin A= = = . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 16 12. 【新趋势 探究性问题】 如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题. sin2A1 + cos2A1=_______；sin2A2 + cos2A2=______；sin2A3+cos2A3=______. （1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+cos2A=________； 1 1 1 1 养 素 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 17 （2）如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； （3）若0°<∠A<90°，且sin A ·cos A= ，求sin A+cos A 的值. 解：∵sin2A1+cos2A1=2+2=1. sin2A2+cos2A2=2+2=1. sin2A3+cos2A3=2+2=1. 故答案为：1，1，1. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 18 （1）1 （2）证明：∵sin2A+cos2A= ， ∴sin2A+cos2A= = =1. （3）∵（sin A+cos A）2 =sin2A+cos2A+2sin Acos A， ∴（sin A+cos A）2 =1+2× = ，∴sin A+cos A= . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 19 【方法指导】 网格中求三角函数是典型的数形结合问题，有以下几种求解方法：①构造直角三角形法；②面积法；③等角转化法；④平移法. 【针对训练】 1. 如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点处，则tan C 的值为 （　　） A. B. C. D. 1 B 题 专 微 3 网格中求三角函数 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 20 【解析】 如图，连接BD. 由网格的特点可得，CD= =3 ，BD= =，BC= = =2， ∴CD2+BD2=BC2，∴∠BDC=90°， ∴tan C= = = . 故选B. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 21 2. 如图，在方格纸上，△ABC 的顶点都在格点上，则sin∠BAC 等于 （　　） A. B. C. D. D D 【解析】 如图，过点C 作CD⊥AB 于点D. AB= =2，AC= =2， ∵S△ABC= ×2×2=2. ∴S△ABC= AB·CD= ×2·CD=2， ∴CD= . 在Rt△ACD 中，sin∠BAC= = = . 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 22 3. 如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为 （　　） A. B. C. D. C E 【解析】 如图，在Rt△BEC 中， BC= = =5， ∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD=90°. ∵∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE， ∴sin∠BAD=sin∠CBE= . 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 23 4. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α 的正弦值为________. A B C D E 【解析】 如图，将AB 向上平移得到CD，连接DE. ∵CD⫽AB，∴∠α=∠ECD. ∵CE= = ，DE= = ，CD= = ， ∴CE2=DE2+CD2，∴∠CDE=90°， ∴sin∠ECD= = = ，∴sin α= . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 变式 变式 微专题1 11 12 24 绿卡图书—走向成功的通行证 25 $$