九上 第4章 图形的相似 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦图形的相似，涵盖比例性质、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质及相似比应用。通过复习比例性质导入，衔接平行线分线段成比例，递进至相似判定与性质，最终落脚实际应用，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融入开放性问题、跨学科融合与生产生活实例，如小管口径测量用相似三角形建模，物理光学实验结合反射定律推理，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维推理的能力。助力学生提升应用意识，为教师提供丰富教学案例，有效落实核心素养。

第四章 图形的相似 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 1. （上海黄浦校级阶段练习）已知=，下列说法中，错误的是（　　） A. = 　B. = C. = 　D. = C 一、选择题 【解析】∵ = ，∴ = = ，故A选项不符合题意；∵ = ，∴ = = ，故B选项不符合题意；由 = ，得3b=5a，即a = b， ∴ = = ，故C选项错误，符合题意；由=，得=，故D不符合题意，故选C. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2. （山西太原五中阶段练习）如图，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若AB=3，BC=6，DE=2，则DF的长为 （　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 C 【解析】∵两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3 所截，∴=，即=，解得EF=4，∴DF=DE+EF=2+4=6. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3. （河北邯郸曲周模拟）如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是 （　　） A. ∠ADC=∠ACB　B. = 　C. ∠ACD=∠B　D. AC2=AD⋅AB B 【解析】由∠ADC=∠ACB，∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，故A 选项不符合题意；由 = 不能判定不能判定△ACD∽△ABC，故B 选项符合题意；由∠ACD=∠B，∠A=∠A 可得△ACD∽△ABC，故C选项不符合题意；由AC2=AD·AB，即=，且∠A=∠A可得△ACD∽△ABC，故D选项不符合题意. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4. 如图，已知△ABE∽△CDE，AD，BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE=2，BE=1，则BC的长为 （　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 D 【解析】∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE∶CE= 2∶5，又∵AE=2，∴CE=5. ∵BE=1，∴BC=BE+EC=1+5=6. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 6 5. 【新情境 生产生活】如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB 的长为10 mm，AC被分为60等份，如果小管口径DE正好对着量具上20份处（DE⫽AB），那么小管口径DE的长度是（　　） A. 5 mm B. mm C. mm D. 2 mm B 【解析】∵DE⫽AB，∴∠CDE=∠CAB，∠CED=∠CBA， ∴△CDE∽△CAB，∴CD∶CA=DE∶AB，∴20∶60=DE∶10， ∴DE= mm. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 7 6. （山东青岛二模）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F. 若CE=3，CG=4，则DE的长度为 　 （　　） A. B. C. 3 D. B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 8 【解析】由题意可得，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，BG=FG=CG=4. ∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180°，∴∠AGE=90°， ∴∠AGB+∠EGC=90°.又∵∠AGB+∠BAG=90°，∴∠BAG=∠EGC. 又∵∠B=∠C=90°，∴△ABG∽△GCE，∴=，即=，解得AB= ，∴CD=，∴DE=CD-CE=. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 9 7. 【新趋势 开放性问题】如图，在△ABC与△ADE中，C= ∠AED=90°，点E在边AB上，添加一个条件后，能判定△ABC与△DAE相似，这个条件可以是_____________. （添加一个即可） 【解析】在△ABC和△DAE中，∠C=∠AED=90°，可添加∠BAC=∠D，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得△ABC∽△DAE. 二、填空题 ∠BAC=∠D 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 10 8. 【原创题 生产生活】在汽车造型设计中，前后车轮间的轴距与车身长度比为黄金比时，能引起视觉美感. 某品牌汽车身长4.7 m，为了打造更加精美的外观，应将轴距设计为________m.（精确到0.1 m） 2.9 【解析】根据题意，轴距与车身长度的比应为黄金比，已知车身长4.7 m，则轴距应为4.7× ≈2.9（m）. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 11 9. 为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，然后在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交点R. 已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，则河宽PQ=__________m. 90 【解析】根据题意得，∠PQR=∠PST=90°，∴QR⫽ST， ∴∠PRQ=∠PTS，∴△PQR∽△PST，∴ = . ∵QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，∴ =， ∴PQ=90 m，∴河宽PQ为90 m. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 12 10. 如图，△ABC中，点D在AB边上，AD=9，BD=16，点E在BC边上，连接CD，AE交于点F，若F为AE边的中点，∠AEC=∠BAC，则线段AF=________. 【解析】如图，过点E作EH⫽AB，交CD于点H. ∴∠ADF=∠EHF，又∵∠AFD=∠EFH，AF=EF， ∴△ADF≌△EHF（AAS）， ∴AD=EH=9. ∵EH⫽AB， ∴∠EHC=∠BDC，∠HEC=∠B， H 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 13 ∴△EHC∽△BDC. ∴ = = . ∵∠BAC=∠AEC，∠ACB=∠ECA，∴△ABC∽△EAC， ∴ = = ，即AC2=EC·BC，设EC=9x，BC=16x， ∴AC=12x，∴ = = = ， ∴AE= AB=×（9+16）= ，∴AF=AE= . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 11.【原创题 探究性问题】某数学兴趣小组根据学习相似三角形的经验，对相似三角形的性质和应用进行了探究，探究过程如下，请补充完整：如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C，D 四个点均在格点上. （1）小颖：在图1中，根据相似三角形对应边成比例，我可以得到=_____. （2）小明：我受小颖的启发，可以利用网格和无刻度的直尺作图，在AB上找一点F，使AF=3. 请你在图2 中画出点F. 三、解答题 3 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：（1）3 （2）如图2，点F即为所要求作的点. （3）如图3，作出点A关于BC的对称点E，连接DE与BC交于点P，点P即为所要求作的点. （3）拓展应用：如图3，在BC上找一点P，使△ABP∽△DCP. F P E 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 12.（江西中考）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE. （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）当AB=6，AC=4时，求AE的长. 解：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠BCA. ∵∠ACD=∠ABE，∴∠BCA=∠ABE. ∵∠BAC=∠EAB，∴△ABC∽△AEB. （2）∵△ABC∽△AEB，∴ = . ∵AB=6，AC=4，∴ =，解得AE=9. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 17 13.【新趋势 跨学科融合】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜. 手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处. 点E到地面的高度DE=3.5 m，点F到地面的高度CF=1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m，墙到木板的水平距离CD=4 m. 已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上. （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 18 解：（1）由题意可得，CF⫽DE，∴∠BFC=∠BED，∠BCF=∠BDE，∴△BFC∽△BED，∴ = ，即= ，∴BC=3 m. （2）∵AC=5.4 m，∴AB=5.4-3=2.4（m）. ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC=∠GBA. 又∵∠FCB=∠GAB，∴△BFC∽△BGA，∴ = ，∴ = ，得AG=1.2 m. 所以，灯泡到地面的高度AG为1.2 m. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 19 14.（山东泰安中考）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F. （1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC； （2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； （3）若OF=3，EF=2，求DE的长度. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 20 证明：如图，在矩形ABCD中， OD=OC，AB⫽CD， ∠BCD=90°，∴∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°. ∵DE=BE，∴∠1=∠2， 又∵BE平分∠CBD，∴∠1=∠6，∴∠3=∠6， ∴∠6+∠5=90°，∴BF⊥AC. （2）与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF. 理由：∵DE=BE，∴∠1=∠2，∵OD=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 21 又∵∠EFC=∠BFO，∴△ECF∽△OBF. ∵DC⫽AB，∴∠3=∠4，∴∠2=∠4，∴∠1=∠4. 又∵∠BFA=∠OFB，∴△BAF∽△OBF. （3）∵△ECF∽△OBF，∴ = ，∴ = ，即3CF=2BF， ∴3（CF+OF）=3CF+9=2BF+9，∴3OC=2BF+9， ∴3OA=2BF+9①. ∵△BAF∽△OBF，∴=， ∴BF2=OF·AF，∴BF2=3（OA+3）②，联立①②，可得BF=1+ （负值舍去），∴DE=BE=2+1+=3+. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$