九上 第1章 特殊平行四边形 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 1. 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是 （ ） A.（6，3） B.（3，6） C.（0，6） D.（6，6） D 【解析】∵四边形OBCD是正方形， ∴OB=BC=CD=OD， ∠CDO=∠CBO=90°. ∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6）， ∴OD=6，∴OB=BC=CD=6， ∴C的坐标为（6，6）. 故选D. 一、选择题 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2. （黑龙江大庆期中）下列说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③对角线互相垂直平分的四边形是正方形；④两组对角相等的四边形是平行四边形. 其中正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 【解析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故②正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD⫽BC，同理可得 AB⫽CD，∴四边形ABCD为平行四边形，故④正确. 故选B. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3. 【新趋势 动点探究题】如图，在矩形ABCD中，BC=20 cm，点P和点 Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形 ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，当四边形 ABPQ初次为矩形时，点 P 和点 Q运动的时间为 （ ） A. 2 s B. 3 s C. 4 s D. 5 s 【解析】设四边形ABPQ初次成为矩形时运动时间为x s， 由BP=AQ得3x=20-2x. 解得x=4. 故选C. C 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2 cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE=CE，则BC的长为 （ ） A. 2 cm B. 4 cm C. 2 cm D. 2 cm A 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC=AC，OD=BD，AC=BD，CD=AB=2 cm， ∴OA=OD=OC. ∵DE⊥AC，OE=CE，∴OD=CD=2 cm， ∴BD=2OD=4 cm， ∴BC==2 cm. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 6 5. （辽宁鞍山期末）如图，两张3 cm宽的等宽纸条交叉叠放在一起，下列说法正确的是 （ ） A. 四边形ABCD一定是菱形 B. 四边形ABCD不可能是正方形 C. 四边形ABCD的面积一定是9 cm2 D. 四边形ABCD的边长一定是3 cm A 【解析】由图可知，过A点作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.∵两条纸条宽度相等，∴AE=AF=3 cm. ∵AB⫽CD，AD⫽BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S四边形ABCD=BC×AE=CD×AF. 又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD为菱形，故A选项正确；∵只有当AB⊥BC时，四边形 ABCD 是正方形，∴四边形 ABCD 可能是正方形，故B选项说法错误；只有当四边形ABCD是正方形时，四边形ABCD的面积才是9 cm2，故C选项说法错误；∵AE=AF=3 cm，∴四边形 ABCD 的边长不一定是 3 cm，故 D 选项说法错误. 故选A. E F 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 7 6. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG. 在下列结论中，正确的是 （ ） ①DE=EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE=CF. A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ B 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 8 【解析】①如图，过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，过点 E 作EN⊥CD于点N. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠ECN=45°， ∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，∴NE=NC， ∴四边形EMCN为正方形，∴EM=EN. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°， ∴∠DEN=∠FEM. ∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED=EF，故①正确； ②由①知，矩形DEFG为正方形，∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE=∠CDG. ∴△DAE≌△DCG（SAS），故②正确； ③根据②得∠DAE=∠DCG=45°，∴∠ACG=∠DCG+∠ACD=90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ④当 DE⊥AC 时，点 C 与点 F 重合，∴CE 不一定等于 CF，故④错误. 综上所述，①②③正确. 故选B. M N 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 9 7. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开. 若测得AB的长为1.6 km，则M，C两点间的距离为________km. 0.8 二、填空题 【解析】∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°. ∵点M是AB的中点， ∴CM=AB=0.8 km， ∴M，C两点间的距离为0.8 km. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 10 8. （陕西西安新城阶段练习）如图，在菱形ABCD中，∠A=40°，则∠CBD的度数为________. 70° 【解析】∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠A=∠C=40°，CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB=×（180°-40°）=70°. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 11 9. 如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，DE⫽AC，CE⫽BD. 若AC=10，则四边形OCED的周长是________. 20 【解析】∵DE⫽AC，CE⫽BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∴OC=DE，OD=CE. ∵矩形 ABCD 的对角线 AC，BD相交于点O， ∴OC=AC=5，OD=BD，BD=AC， ∴OC=OD=5，∴平行四边形 OCED 是菱形， ∴菱形 OCED 的周长=4OC=4×5=20. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 12 10. （贵州铜仁中考）如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC= 80°，延长BC到E，在∠DCE 内作射线 CM，使得∠ECM= 30°，过点 D 作 DF⊥CM，垂足为 F. 若 DF= ，则 BD 的长为________. （结果保留根号） H 【解析】如图，连接AC，交BD于点H. 由菱形的性质得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠CHD=90°， 又∵∠ECM=30°，∴∠DCF=50°. ∵DF⊥CM，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=40°. 又∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠CDH=40°， ∵∠CHD=∠CFD，∠HDC=∠FDC，DC=DC， ∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH=DF= 6，∴BD=2DH=2. 2 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 13 11.（山东济南中考）如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF=∠CDE. 求证：AE=CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA. ∵∠ADF=∠CDE， ∴∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF， ∴∠ADE=∠CDF. ∴△DAE≌△DCF（ASA）， ∴AE=CF. 三、解答题 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 14 12.（山西中考）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线. （1）实践与操作：利用尺规作线段 AC 的垂直平分线，垂足为点 O，交边 AD 于点 E，交边BC于点F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明. 解：（1）如图所示. （2）AE=CF. 证明如下： ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD⫽BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO. ∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO. ∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE=CF. O E F 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.【新趋势 动点探究题】如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=60 cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动 . 设点D，E 运动的时间是 t s（0<t≤15）. 过点 D 作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t=_____时，四边形AEFD为菱形； ②当t=_____时，四边形DEBF为矩形. 10 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 16 解：（1）证明：由题意可知CD=4t cm，AE=2t cm. ∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°. ∵DF⊥BC，∴∠DFC=90°，∴DF=DC=2t cm.∴AE=DF. 又∵∠B=90°，∴AE⫽DF，∴四边形AEFD为平行四边形. （2）①由（1）知四边形AEFD为平行四边形，要使▱AEFD为菱形，则需 AE=AD，即 2t=60-4t，解得 t=10. ∴当 t=10时，四边形AEFD为菱形. 故答案为：10. ②要使四边形DEBF为矩形，则∠DEB=∠B=∠DFB=90°， ∴∠AED=90°. 又∵∠A=60°，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，即60-4t=4t，解得 t=. 即当 t=时，四边形 DEBF 为矩形. 故答案为：. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 17 14.【新趋势 探究性问题】在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF. 【观察猜想】（1）如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为___________； ②BC，CD，CF之间的数量关系为_____________. BC⊥CF BC=CD+CF 解：（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABD=∠ACB=45°. ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF=90°-∠DAC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ABD=∠ACF=45°， ∵∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴BC⊥CF. 故答案为：BC⊥CF. ②∵△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴BC=CD+BD=CD+CF.故答案为：BC=CD+CF. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 18 【数学思考】（2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论并证明. 解：（2）结论①，即BC⊥CF成立，结论②，即BC=CD+CF不成立，BC=CD-CF. 证明如下： ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°. ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF=90°-∠BAF，∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ABD=∠ACF，BD=CF. ∵∠ACF=∠ABD=180°-∠ABC=180°-45°=135°， ∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，∴BC⊥CF，∴结论①成立； ∵BC=CD-BD=CD-CF，∴结论②不成立，BC=CD-CF. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 19 【拓展延伸】（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接GE. 若已知 AB=2，CD=BC，则 GE 的长为________. H M N 解：（3）如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BD 于点M，EN⊥CF于点N. ∵∠BAC=90°，AB=2，AB=AC， ∴在Rt△ABC中，BC==4，∴CD=BC=1. ∵AH⊥BC，∴AH=BC=BH=CH=2，∴DH=CH+CD=3. 在正方形ADEF中，AD=DE=AF，∠ADE=∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 20 H M N ∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABD= ∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=90°，∴BC⊥CF. ∵EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形 CMEN 是矩形， ∴NE=CM，EM=CN. ∵∠ADE=90°，∴∠ADH+∠EDM=90°. ∵∠EMD=90°，∴∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，∴△ADH≌△DEM（AAS），∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=CD+DM=3. ∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=CG-CN=1. 在Rt△EGN中，GE=== 10.故答案为：. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$