九上 1.1 第1课时 菱形及其性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

第一章 特殊平行四边形 1 　菱形的性质与判定 第1课时 　菱形及其性质 1 目 录 1 2 1. 【新趋势 开放性问题】（辽宁营口中考）如图，将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是_____________________________.（写出一个即可） AB=AD（答案不唯一） 础 基 练 知识点1 菱形的定义 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 3 2. （教材P3例1改编）如图，菱形ABCD 的周长是4 cm，∠ABC=60°，那么这个菱形的对角线AC的长是 （ ） A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm A 知识点2 菱形边的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 4 3. （广东湛江赤坎校级期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形. 若点A的坐标是（3，4），则点C的坐标是________. （8，4） 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 5 4. （青海西宁中考）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）若AE=4，CF=2，求菱形的边长. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D. ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°. ∴△ABE≌△ADF（AAS）. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 6 （2）设菱形的边长为x，∵AB=CD=x，CF=2， ∴DF=x-2. ∵△ABE≌△ADF， ∴BE=DF=x-2. 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2， 即42+（x-2）2=x2，解得x=5， ∴菱形的边长是5. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 7 5.【新情境 生产生活】如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成. 已知菱形的边长为13 cm，当挂钩B与D之间的距离是30 cm时，挂钩A与C之间的距离是 （ ） A. cm B. 2 cm C. 12 cm D. 24 cm D 知识点3 菱形对角线的性质 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 8 6.（河南漯河召陵期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB的垂直平分线EF交AC 于点 F，连接 DF，若∠BAD=80°，则∠CDF的度数为 （ ） A. 60° B. 80° C. 85° D. 100° A 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 9 7.（河南商丘期末）如图，菱形 ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，OA=8，OE=5，菱形ABCD的面积为________. 96 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 10 8. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片 ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的大小为 （ ） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 【解析】如图，连接BD.∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴AD=AB，∠ADC=120°，∠C=60°，∴△ABD为等边三角形. ∵P 为 AB 的中点，∴DP 平分∠ADB，∴∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=90°. ∴由折叠的性质得到∠CDE= 12∠PDC=45°. 故选D. D 升 提 练 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 11 9.（湖南株洲中考）如下页图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD 交 AB 的延长线于点 E，下列结论不一定正确的是 （ ） A. OB=CE B. △ACE是直角三角形 C. BC=AE D. BE=CE D 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴AO=CO=AC，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，AE⫽CD. ∵CE⫽BD，∴∠ACE=∠AOB=90°，即△ACE 是直角三角形，所以选项 B 不符合题意；∵CE⫽BD，AE⫽CD，∴四边形DBEC为平行四边形，∴BE=CD，∴BE=AB=BC，∴BC=AE，∵O为AC中点，B为AE中点，∴OB是△AEC的中位线，∴OB=CE. 所以选项A和C不符合题意. 故选D. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 12 10. （辽宁葫芦岛中考）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F. 若∠ACB=60°，CD=4，则四边形CEDF的周长是________. 16 O 【解析】如图，连接EF交CD于点O.∵DE⫽AC，DF⫽BC，∴四边形CEDF是平行四边形.∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD=∠ECD.∵DE⫽AC，∴∠FCD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，OC=CD=2.在 Rt △COE 中 ，∵∠ECD= ∠ACB=30°，则 CE=2OE，OC2+OE2=CE2，即12+OE2=4OE2，OE2=4，OE=2，∴CE=2OE=4，∴四边形CEDF的周长=4CE=4×4=16. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 13 11.（辽宁鞍山中考）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线 AC 与 BD 交于点 O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为________. H 【解析】如图，取OD的中点H，连接FH.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AD=2，AC⊥BD，BO=DO，△ABC为等边三角形，∴AO=AC=AB=1.在Rt△AOB中，BO= =，∴DO=BO= .∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，∴FH=AO=，FH⫽AO，∴FH⊥BD，∵点 E 是 BO 的中点，点 H 是 OD 的中点，∴OE=，OH=，∴EH=. 在Rt△EFH中，EF= ==. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 14 12.【新趋势 动点探究题】如图，菱形 ABCD 的边长为2，∠A=120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PE的值最小，则这个最小值为________. 【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴A，C关于BD对称.如图，连接AE交BD于P，则PC+PE=AP+PE=AE.当AE⊥BC时，AE取得最小值.∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∠BAE=30°，∴BE=AB=1. ∴AE= = . 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 15 13.【新趋势 探究性问题】在 菱 形 ABCD 中 ，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段 BC 延长线上一点，且 CF=AE，连接BE，EF. （1）如图1，当E是线段AC的中点时，BE和EF的数量关系是________； （2）如图 2，当点 E 不是线段 AC 的中点，其他条件不变时，请你判断，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. BE=EF 养 素 练 图1 图2 图3 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 16 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°.∵E 是 AC 的中点，∴∠ABE=∠EBC=30°，AE=EC=CF，∴∠CEF=∠EFC=30°，∴∠EBC=∠EFC，∴BE=EF. 故答案为：BE=EF. （2）结论成立. 证明如下：如图，过点E作EG⫽BC交AB于点G.∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB⫽CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°.∵∠ABC=60°，AB=BC，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°. ∵EG⫽BC，∴∠AGE=∠ABC=60°.∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形，∴AG=AE=GE，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF. ∵CF=AE，∴GE=CF.∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 17 （3）结论成立. 证明如下： 如图，过点E作EG⫽BC交AB延长线于点G. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC. ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°，∴∠ECF=60°. ∵EG⫽BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，∴∠AGE=∠ECF. ∵∠BAC=60°，∴△AGE 是等边三角形，∴AG=AE=GE， ∴BG=EC. ∵CF=AE，∴GE=CF. ∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 18 题 专 微 1 菱形面积 【方法指导】 计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 S=ah S=AC·BD 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 19 【针对训练】 1. 已知菱形的面积为120 cm2 ，一条对角线长为10 cm，则这个菱形的周长为 （ ） A. 13 cm B. 24 cm C. 52 cm D. 60 cm C 【解析】∵菱形的一条对角线长为10 cm，面积为120 cm2， ∴另一对角线长为 =24（cm）. 根据勾股定理，菱形的边长为=13（cm）， 则菱形的周长是52 cm. 故选C. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 20 2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O，且 AC=6，DB=8，过点 A 作 AE 垂直BC，交BC于点E，则AE的长为 （ ） A. B. C. D. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OC=OA，OB=OD. ∵AC=6，DB=8，∴OC=3，OB=4，∴BC= ==5. ∵S 菱形ABCD= AC·BD=BC·AE，∴AE==. 故选A. 目录 2 3 4 5 6 7 1 8 9 10 11 12 13 微专题1 21 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $$