1.2 集合间的关系（精讲）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的关系（精讲） 考向一 集合间的关系 【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，不是的元素，故A错误； 对于B，“”不能用于表示元素与集合的关系，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故，故C正确． 对于D，表示是无限集，而中只有元素1，2，，故D错误． 故选：C. 【例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误； 集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则成立，故B正确； 空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误； 因为空集中不含任何元素，，故D错误． 故选：. 【例1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，集合， 因为，所以C、D不正确； “”用于表示元素与集合之间的关系，故B不正确 所以． 故选：A. 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，应为；对于B，应为； 对于 C，空集是任何集合的子集，故； 对于D，是点集，是数集，故说法错误． 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合， ，故，故选：B 4．（2025·山东）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合,，则.故选：A 考向二 （真）子集 【例2-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为.故选：D. 【例2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【解析】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于． 因为集合，， 所以集合可为，共7个． 方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，所以满足的集合有（个）．故选：B． 【一隅三反】 1．（25-26湖北）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【解析】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【解析】由 又由，可得，即. 故的非空真子集的个数为. 故选：C. 3．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【解析】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】依题意，集合可以为：，所以集合C的个数为4.故选：D 考向三 空集 【例3-1】（2025天津）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【解析】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 【例3-2】（2025湖北）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 【一隅三反】 1．（2025河南南阳·阶段练习）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【解析】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是.故选：B 考向四 根据集合关系求参数 【例4-1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABD 【解析】由， ， 当时，，满足； 当时，，则或， 解得或. 综上所述，或或. 故选：ABD. 【例4-2】（2025北京）已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意得，排除C； 由，得，排除A； 由，得，排除D； 令，可得，，符合，故B正确. 故选：B． 【例4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】集合，由，得 解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】BCD 【解析】由十字相乘法可得，所以或，即． 当时，B可能为，也可能不为． B是方程的解集，求解时需对B中元素个数进行分类讨论． 当时，，此时满足； 当时，因为，所以． 又，所以或，解得或1． 综上可知，a的值为或1或0． 故选：BCD 2．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 【答案】C 【解析】因为，所以． 当时，集合不满足集合元素的互异性； 当时，或（舍去），即， 此时，，满足； 当时，或， 当时，，，满足， 当时，，，满足． 所以或或． 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 5．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【解析】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 考向五 集合相等 【例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【解析】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，为数集，为点集，则. 故选：B. 1． 单选题 1.（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 【答案】C 【解析】，故BA.故选：C 2.（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 故选：D 3.（2025北京）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 4.（2024·浙江）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 5.（2025河南）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C 6.（2024·安徽）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，， 若，则，故实数a的取值范围是. 故选：B. 7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，，，则集合 的关系是（    ） A．CB B．AB C．C=B D．BC 【答案】C 【解析】集合， 当时，， 当时，， 又集合，C， 集合，集合，， 可得， 综上可得C=B 故选：C． 8．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】A 【解析】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误； 空集是任何集合的子集，则，故B正确； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确； 空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确. 故选：A 2． 多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由可得，故，, ,,AC正确，BD错误，故选：AC 10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【解析】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【解析】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 3． 填空题 12．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 【答案】或 【解析】集合中含有参数，所以先考虑是否为空集. 因为， 所以，若为空集，则，解得； 若为单元素集合，则，解得， 将代入方程，得，解得， 所以，符合要求； 若为双元素集合，则，即， 此时，即，解得 综上所述，的取值范围为或. 故答案为：或. 14．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 4． 解答题 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1)(2)2 【解析】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 【答案】2 【解析】因为，所以．由题知， 当时，，即，解得或． 若，则，所以，满足题意； 若，则，不符合题意． 当时，，即，解得或． 若，则，不合题意． 综上所述，实数的值为2． 17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【解析】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 【答案】(1)，，，，， (2) 【解析】（1）当时，方程的根的判别式，所以． 又，故． 由已知得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为,,,,,． （2）当时，是的一个子集， 此时对于方程，有，所以． 当时，因为，所以当时，，即， 此时，因为，所以不是的子集； 同理，当时，，也不是的子集； 当时，，也不是的子集． 综上，满足条件的的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的关系（精讲） 考向一 集合间的关系 【例1-1】（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知是一个集合，则（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 考向二 （真）子集 【例2-1】（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【例2-2】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【一隅三反】 1．（25-26湖北）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．14 D．15 3．（24-25高一上·全国·周测）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考向三 空集 【例3-1】（2025天津）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例3-2】（2025湖北）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025河南南阳·阶段练习）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 3．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向四 根据集合关系求参数 【例4-1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）（多选）已知集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【例4-2】（2025北京）已知集合，，若，则x的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【例4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【一隅三反】 1．（2025高一·全国·专题练习）（多选）设集合，，若，则实数a的值可以为（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（2025高一·全国·专题练习）若集合，，且，则实数的值可以是（    ）． A．2 B．2， C．2，，0 D．2，，0，1 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 5．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）（多选）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 考向五 集合相等 【例5】（2025高二下·湖南郴州·学业考试）下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·四川雅安·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 2．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 1． 单选题 1.（23-24河北保定·期末）已知集合，，则（         ） A． B．AB C．BA D． 2.（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2025北京）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·浙江）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5.（2025河南）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ）. A．2 B．4 C．7 D．8 6.（2024·安徽）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知集合，，，则集合 的关系是（    ） A．CB B．AB C．C=B D．BC 8．（22-23高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法不正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 2． 多选题 9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则有（     ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 11．（23-24 山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 3． 填空题 12．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，若，则的取值范围为 . 14．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 4． 解答题 15．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 16．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，非空集合，若，求实数的值． 17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 19．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，． (1)若，存在集合使得，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$