1.1 集合的概念（精练）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版必修第一册）

1.1 集合的概念（精练） 题组一 集合概念的辨析 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 4．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 考向二 元素与集合的关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题组三 元素与集合的关系求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 2．（2025·江苏）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 5．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 7．（2025·甘肃庆阳 ）已知集合，且，则实数的值为 ． 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 9．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 10．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 题组四 集合的分类 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 2．（2025河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 4．（2025全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 5．（2025虜）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 题组五 集合相等 1．（2025甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 2．（2025广东东莞·期中）设三元集合=，则 ． 3.（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 4.（2024山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 题组六 综合应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2025河南焦作·阶段练习）（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 5．（24-25 ·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 6．（2025北京）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念（精练） 题组一 集合概念的辨析 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【解析】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【解析】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 4．（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【解析】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【解析】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 6．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法中正确的是（   ） A．联合国所有常任理事国（共5个）组成一个集合 B．朝阳中学年龄较小的学生组成一个集合 C．与是不同的集合 D．由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素 【答案】A 【解析】对于A，联合国所有常任理事国共5个，即：中国，美国，俄国，英国，法国，可以组成集合，故A正确； 对于B，“年龄较小”的标准不明确，无法确定集合的元素，故B错误； 对于C，集合的元素满足无序性，与是相同集合，故C错误； 对于D，集合的元素满足互异性，由1，0，5，1，2，5可组成的集合，且有4个元素，故D错误. 故选：A 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的有（    ）． ①很小的实数可以构成集合； ②R表示一切实数组成的集合； ③给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是有限集； ④2023年联合国所有常任理事国组成一个集合． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】对于①，很小的实数是个不确定的概念，不可以构成集合，故错误； 对于②，R表示一切实数组成的集合，故正确； 对于③，给定的一条长度为0.3的线段上的所有点组成的集合是无限集，故错误； 对于④，2023年联合国常任理事国有中国、俄罗斯、英国、法国、美国，能组成一个集合，故正确． 故选：C． 8．（25-26高一上·山东德州·开学考试）（多选）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【解析】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 考向二 元素与集合的关系 1．（25-26高一上·全国·课后作业）集合，则下列表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，， 故A，C，D错误，B正确. 故选：B． 2．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，则与集合的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以与集合的关系为. 故选：B. 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，则，ACD错误，B正确. 故选：B 5．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【解析】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题组三 元素与集合的关系求参数 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合的互异性，故舍去．综上所述，． 故选：C． 2．（2025·江苏）已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为.且或， 解得：.故选：B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 【答案】CD 【解析】集合中的元素必须满足互异性，所以集合中的三个元素互不相等， 即，解得， 所以且，故0，5满足题意. 故选：CD 4．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【解析】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 5．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【解析】因为，所以，解得或，符合题意．故答案为：3或． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）若，则实数的值为 ． 【答案】2 【解析】， 则：或， 当时：，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当时：，解得：（舍去）；或； 故答案为：2 7．（2025·甘肃庆阳 ）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【解析】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 8．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵，∴或，解得或， 当时，不满足集合的互异性，故舍弃， 当时，，符合题意， 所以.故答案为：． 9．（24-25高一上·山东威海·期中）已知集合，若，则 . 【答案】14 【解析】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 10．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）设集合，且，则实数m的值为 ． 【答案】5 【解析】因为，所以或，解得或或， 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，与集合元素的互异性相矛盾，不符； 当时，，符合. 所以实数m的值为5.故答案为：5. 题组四 集合的分类 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【解析】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 2．（2025河南焦作·期末）有下列四个命题中正确命题的个数是（    ） ①是空集；②集合有两个元素； ③若，则；④集合是有限集. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】对于①，{0}中有一个元素0，不是空集，不正确； 对于②，解，得，所以，因此集合只有一个元素，不正确； 对于③，当时，且，不正确； 对于④，集合是有限集，正确. 故选：B. 3．（2025河南·阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【解析】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 4．（2025全国·专题练习）下列集合中有限集的个数是（    ） ①不超过π的正整数构成的集合； ②平方后等于自身的数构成的集合； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合； ④所有小于2的整数构成的集合． A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【解析】①不超过π的正整数构成的集合为{1，2，3}为有限集； ②平方后等于自身的数构成的集合为{0，1}为有限集； ③高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合为有限集． ④所有小于2的整数构成的集合为无限集， 故选：B． 5．（2025虜）设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【解析】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确；故选：C． 题组五 集合相等 1．（2025甘肃定西·期末）设，集合，若，则 . 【答案】 【解析】因为，则，所以.故答案为：. 2．（2025广东东莞·期中）设三元集合=，则 ． 【答案】 【解析】集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时, ,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 3.（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 4.（2024山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【解析】因为，且，所以，则有， 所以，且，得，所以，故答案为：0 题组六 综合应用 1．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知，集合，则满足中有个元素的的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，可知，所以依次讨论为时，集合中的元素个数． A选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； B选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素； C选项，时，满足的的值为， 故集合中有个元素； D选项，时，满足的的值为，故集合中有个元素． 故选：AC. 2．（2025河南焦作·阶段练习）（多选）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 3．（24-25高一上·河北·阶段练习）（多选）若集合中只有一个元素，则的值（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】当，，满足条件； 当，由，则得，此时只有一个元素， 所以当或时，集合中只有一个元素. 故选：BC 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 5．（24-25 ·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【解析】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 6．（2025北京）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析 (2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【解析】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$