1.1 集合的概念（精讲）-《一隅三反》2025-2026学年高一上学期数学（人教A版必修第一册）

1.1 集合的概念（精讲） 考向一 集合概念的辨析 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【一隅三反】 1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 考向二 元素与集合的关系 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025·辽宁）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25 贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 考向三 元素与集合的关系求参数 【例3-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·辽宁）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·黑龙江）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2（2025江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向四 集合的分类 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【一隅三反】 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 考向五 集合相等 【例5-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【例5-2】（2025安徽）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【一隅三反】 1．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2025山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 考向六 元素个数求参数 【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【一隅三反】 1．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 1． 单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 2．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 3．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合是有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 6．（24-25 河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 8．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 10．（2025重庆黔江·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 11．（2025福建宁德·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 3． 填空题 12．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 13．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 14．（2025上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数 4． 解答题 15（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 16．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 17．（2025新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是没有元素，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 19．（2024广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念（精讲） 考向一 集合概念的辨析 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【解析】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 【一隅三反】 1．（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【解析】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列对象不能构成集合的是（    ） ①我国古代著名的数学家；②所有的APEC成员国；③空气中密度小的气体． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【解析】研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性． ①中的“著名”没有明确的界限； ②中的研究对象显然符合确定性； ③中“密度小”没有明确的界限． 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课前预习）下面几组对象可以构成集合的是（    ） A．视力较差的同学 B．2025年的中国富豪 C．充分接近2的实数的全体 D．大于小于2的所有非负奇数 【答案】D 【解析】根据集合的元素需要满足确定性， 对于A，B，C三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合； 对于D选项，大于小于2的所有非负奇数为1．可以构成集合．故选：D． 考向二 元素与集合的关系 【例2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或. 又，所以，，故. 故选：C. 【例2-2】（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 故选：B. 【例2-3】（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，A错误；对于BC，，B，C错误； 对于D，因为，且，D正确.故选：D 【变式】 1．（2025·辽宁）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 3．（24-25 贵州贵阳·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】集合A的元素表示的是平面直角坐标系中一条直线上的点（数对）， 选项A和选项C表示的都是只有一个点作为元素的集合，可以首先排除； 再将点的坐标代入到集合A的直线方程当中，可知不在直线上，在直线上. 故选D． 考向三 元素与集合的关系求参数 【例3-1】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，所以，时，， 解得或，即．故选：D． 【例3-2】（2025·辽宁）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以.故选：C 【一隅三反】 1．（2025·黑龙江）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【解析】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2（2025江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知且解得.故选：C. 4．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，得解得，故选：A． 考向四 集合的分类 【例4】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【解析】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 【一隅三反】 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【解析】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)不等式的解集； (3)在实数范围内的解集； (4)所有大于3且小于4的实数； (5)方程的解集． 【答案】(1)有限集；(2)无限集；(3)空集；(4)无限集；(5)有限集． 【解析】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）不等式的解集，是无限集； （3）的实数解集，是空集； （4）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （5）方程的解集，是有限集． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【解析】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 考向五 集合相等 【例5-1】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【解析】因为，且，则，解得或.故选：D. 【例5-2】（2025安徽）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】因为集合，所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，，所以，故选：B 【一隅三反】 1．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 2．（2025山东枣庄·阶段练习）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】0 【解析】因为，且，所以，则有， 所以，且，得， 所以，故答案为：0 3．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则 ． 【答案】0 【解析】因为，所以.故答案为：0. 4．（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）设a，，若集合，则 . 【答案】0 【解析】由题意可知：，因为，则，可得， 则，可得，且满足，所以.故答案为：0. 考向六 元素个数求参数 【例6】（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解析】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【一隅三反】 1．（2025高一·全国·专题练习）若集合中至多有一个元素，求实数a的值 【答案】 【解析】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【解析】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或，解得或. 5．（24-25高一上·云南红河·期中）记关于的方程的解集为，且恰有3个元素． (1)证明：； (2)若以中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形，求a,b的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为的值为62． 【解析】（1）证明：原方程等价于或， 即或. 因为关于的方程的解集为，且恰有3个元素， 所以方程或均有实数根， 由求根公式可得：，， ，. 由于， 所以当时，恰有3个元素，即． （2）由（1）知，，原方程等价于或， 则两个方程的三个根分别为. 若它们是直角三角形的三边， 则且 解得：． 故的值为，的值为62． 1． 单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【解析】只有选项有明确的标准，能构成一个集合．故选：. 2．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【解析】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 3．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合是有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据的意义,, 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．1或 【答案】C 【解析】因为，所以当时，解得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去； 当，即，即时，解得或（舍去）， 又时，，此时集合为，符合题意，所以． 故选：C 6．（24-25 河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 7．（22-23高三上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 8．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知且解得.故选：C. 2． 多选题 9．（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【解析】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 10．（2025重庆黔江·阶段练习）下列四个命题：其中不正确的命题为（    ） A．是空集 B．若，则； C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集. 【答案】ABD 【解析】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误； 对于B：当时，，则，故B错误； 对于C：只有一个元素，故C正确； 对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误. 故选：ABD. 11．（2025福建宁德·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A． B． C．集合中只有一个元素 D．集合是有限集 【答案】CD 【解析】根据的定义知，A、B均不正确； 只有一个元素，C正确； 中只有两个元素，D正确. 故选：CD. 3． 填空题 12．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 【答案】 【解析】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 13．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【解析】由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 14．（2025上海黄浦·阶段练习）已知集合各元素之和等于3，则实数 【答案】或 【解析】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 4． 解答题 15（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；如果不能组成集合，请说明理由． (1)接近于0的数的全体； (2)平面上到点的距离等于2的点的全体； (3)方程在实数范围内的解； (4)720的所有正约数； (5)所有大于小于1的实数． 【答案】(1)不能，不满足确定性 (2)能，为无限集 (3)能，为空集，也为有限集 (4)能，为有限集 (5)能，为无限集 【解析】（1）解：因为接近于0的数的全体，标准不明确，不符合集合元素的确定性，所以不能构成集合； （2）解：因为平面上到点的距离等于2的点的全体，构成以圆心，半径为的圆，符合集合的概念，且是无限集； （3）解：因为方程在实数范围内无解，所以方程的解集为空集，也为有限集； （4）解：由720的所有正约数，满足元素的确定性和互异性，可以构成集合，且为有限集； （5）解：所有大于小于1的实数，可以构成一个集合，且为无限集. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【解析】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 17．（2025新疆·阶段练习）举例说明：设集合M中含有三个元素3，，： (1)求实数，应满足的条件； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)且且且且； (2)或或. 【知识点】利用集合元素的互异性求参数 【解析】（1）据集合中元素的互异性，可知， 即且且且且； （2）若，则或，解得：或或， 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，满足题意； 故或或. 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是没有元素，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【解析】（1）A是空集，且，，解得，的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 19．（2024广西贺州·阶段练习）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)且 【解析】（1）若集合是空集，则， 解得.故实数的取值范围为. （2）若集合是单元素集，则 ①当时，即时，，满足题意； ②当，即时，，解得， 此时. 综上所述，或. （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$