21.2.1 《配方法》 课件 2025--2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法与配方法，通过复习平方根引入直接开平方法，再以无法直接开平方的方程为切入点过渡到配方法，搭建从具体问题到一般解法的学习支架。 其亮点是融合数学眼光与思维，以油漆刷盒、道路宽度等实例抽象方程模型，通过降次转化思想培养推理意识，结合纠错、挑战题及结构化小结，助学生掌握解题步骤，教师可高效教学，提升学生应用与创新能力。

第二十一章 一元二次方程 人教版九年级数学上册 21.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. (难点） 2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. (重点） 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 导入新课 复习引入 平方根 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.如果 x2=64 ,则x= . ±8 4.任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 讲授新课 直接开平方法 一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25 开平方得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例精析 7 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5 探究交流 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 例2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ； 解析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 例2 解下列方程： （2）（x－1）2－4 = 0； 即x1=3，x2=-1. 解：（2）移项，得（x-1）2=4. ∵x-1是4的平方根， ∴x-1=±2. 11 ∴ x1= ， x2= (3) 12（3－2x）2－3 = 0. 解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25. ∵3-2x是0.25的平方根， ∴3-2x=±0.5. 即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 12 解： 方程的两根为 解： 方程的两根为 例3 解下列方程： 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交流 当堂练习 (C) 4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ; x2= (D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） (A) x2=-2,解方程，得x=± (B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D (1)方程x2=0.25的根是 . (2)方程2x2=18的根是 . (3)方程(2x-1)2=9的根是 . 3. 解下列方程： (1)x2-81＝0； (2)2x2＝50； (3)(x＋1)2=4 . x1=0.5,x2=-0.5 x1＝3,x2＝-3 x1＝2,x2＝－1 2.填空: 解：x1＝9, x2＝－9； 解：x1＝5, x2＝－5； 解：x1＝1, x2＝－3. 16 4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正. ① ② ③ ④ 解： 解：不对，从开始错，应改为 17 解方程: 挑战自我 解： 方程的两根为 课堂小结 直接开平方法 概念 步骤 基本思路 利用平方根的定义求方程的根的方法 关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0). 一元二次方程 两个一元一次方程 降次 直接开平方法 第二十一章 一元二次方程 人教版九年级数学上册 21.2.1 配方法 第2课时 配方法 学习目标 1.了解配方的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点） 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. （难点） 导入新课 复习引入 (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2. 2.下列方程能用直接开平方法来解吗? 1.用直接开平方法解下列方程: (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0. 把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的 形式，再利用开平方 讲授新课 配方的方法 一 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法 用配方法解方程 二 合作探究 怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的. 问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 28 例1 解下列方程： 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 配方，得 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 解：移项，得 二次项系数化为1，得 为什么方程两边都加12？ 即 31 思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. 移项时需注意改变符号. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p. ①当p>0时,则 ,方程的两个根为 ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n. ③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根. 规律总结 例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零. 配方法的应用 二 例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为直角三角形. 1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 归纳总结 配方法的应用 类别 解题策略 1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 2.完全平方式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 3.利用配方构成非负数和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2. 37 例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？ 解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x1=6, x2=5 x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25 x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x ∴这个两位数为36或25， ∴周瑜去世的年龄为36岁. ∵周瑜30岁还攻打过东吴， 1.解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解； 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2； 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 当堂练习 2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 解：－x2－x－1=－(x2+x+ )+ －1 所以－x2－x－1的值必定小于零. 当 时，－x2－x－1有最大值 3.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？  解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1m. 43 5.已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状. 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 课堂小结 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 $$