广东省东源中学2026届高三上学期开学考试数学试题

东源中学2026届高三第一学期开学考试数学试卷 考试时间：150分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题5分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 有三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为8%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，任取一个零件，则它为次品的概率是（ ） A. 0.078 B. 0.077 C. 0.076 D. 0.075 8. 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，少选得部分分，错选或不选0分） 9. 某校对名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 估计该校学生竞赛成绩的众数为 C. 该校学生竞赛成绩的中位数大于 D. 估计该校学生竞赛成绩的平均数落在内 10. 若等差数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 为递增数列 C. D. 的前4项和为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 三、填空题（每小题5分，14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 抛物线的焦点坐标为________． 13. 在的展开式中，含项的系数是______． 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 16. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的极值． 17. 一个车间为了规定工时，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间分钟 62 68 75 81 89 （1）如果与线性相关，求回归直线方程； （2）根据（1）所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间. 附：，. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． （1）求的长； （2）求与所成角的余弦值； （3）求证：平面． 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 东源中学2026届高三第一学期开学考试数学试卷 考试时间：150分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题5分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（每小题6分，少选得部分分，错选或不选0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题（每小题5分，14题第一个空2分，第二个空3分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）极小值，无极大值． 【17题答案】 【答案】（1） （2）101.8分钟 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 【19题答案】 【答案】（1） （2）. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $