精品解析：广西南宁市沛鸿中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试模拟数学试卷

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，所以， 又由不等式，可得，所以， 则． 故选：C． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数，然后根据充分、必要性判断即可. 【详解】向量，，若，则，即， 解得或，故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆台的表面积公式求解即可. 【详解】由题可知，该旋转体为上底面半径，下底面半径，母线长的圆台， 则该圆台的表面积. 故选：C. 5. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ） A. 年甲系列产品收入比年的多 B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得出年和年种系列产品所占总收入的比例，结合该企业年种系列产品年总收入是年的倍，逐一检验选项即可得出答案． 【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的， 而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意； 对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍， 故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意； 对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意； 对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意. 故选：C. 6. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求解． 【详解】设，由得， 又，，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 故选：D． 7. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接、，或其补角即为 直线和直线所成的角，然后利用，，可得，结合，即可求解. 【详解】 如图取的中点，连接，因为点P棱的中点，所以， 所以或其补角即为直线和直线所成的角， 连接，Q为棱的中点，所以， 取的中点，连接、 则，， 又因为，平面，所以， 所以，且 所以是等腰直角三角形， 所以 故选：B 【点睛】本题主要考查了求异面直线所成的角，属于基础题. 8. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间中各要素的位置关系，结合线面平行的判定定理和面面平行的性质定理分别判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的判定定理，若平面外一条直线与平面内某条直线平行，则该直线与此平面平行，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，设正方体上底面为，下底面内任意取两条直线，有，但不一定有成立，故C错误； 对于D，由面面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的所有直线均与另一个平面平行，故D正确； 故选：AD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 11. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可得A正确；由，两边配方可得B正确；利用，展开后，利用基本不等式可判定C错误；将平方后，利用A的结论可以判定D正确. 【详解】∵是正实数，∴， ∵，∴， ∴，当且仅当时取等号， 故A正确； 由，∴， ∴，当且仅当时取等号，故B正确； ， 当且仅当时取等号；故C错误； ∵， ∴，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数列式求参即可. 【详解】由复数为纯虚数可得，解得. 故答案为：1. 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的关系式求得，再代入投影向量的公式，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 则，可得． 则向量在向量上的投影向量为． 故答案为：. 14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和性质求出球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】 设正四棱台上、下底面所在截面圆的半径为，则， 若球心到上底面距离为，球体半径为，则球心到下底面距离为， 所以，可得，则， 所以球体的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且. （1）求向量与的夹角； （2）求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）对化简结合数量积的定义可求得结果； （2）先求出，然后由化简可求得答案. 【小问1详解】 设向量与的夹角为，由，得， 因为，所以， 即， 解得， 又，所以，即向量与的夹角为. 【小问2详解】 由（1）知， 故 . 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值； （2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值； （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可 【详解】（1）由，解得. （2）这组数据的平均数为. 中位数设为，则，解得. （3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为， 记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件， 从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，， 所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个， 所以 . 17. 在锐角中，角的对边为，若． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件以及正弦定理和余弦定理计算可得； （2）利用向量法求得中线的向量表示，再由中线长即可得，结合面积公式可得. 【小问1详解】 由可得， 由正弦定理可得，即； 由余弦定理可得， 所以，又， 可得 【小问2详解】 若为的中点，可得， 又，所以； 由（1）中，可得， 所以，解得； 可得的面积. 18. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. （1）证明：平面PAE⊥平面PBF； （2）求二面角的正弦值； （3）若，求四棱锥的体积. 【答案】（1） 由题设，易知，又为等腰直角三角形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以平面PAE⊥平面PBF； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定证结论； （2）连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，根据二面角的定义找到其对应的平面角，根据题设求该角正弦值即可； （3）根据已知求得PH，结合PH⊥平面ABFE，棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点， 由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB， ∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角， 由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE， 又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE， 设，则，，，， 故二面角的正弦值为； 【小问3详解】 由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则， 故四棱锥的体积为1. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 【答案】（1） 对于函数的定义域内取， 则，，无解， 故不是“依赖函数”. （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）从存在性或唯一性来说明该函数不是“依赖函数”，取特殊值，利用唯一性或存在性可判断答案； （2）根据函数单调性的性质，可得，代入可求解； （3）分类讨论，当时，明显不符题意；当时，利用函数单调性，可得，解得，代入后，利用不等式恒能成立的性质，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上递增， 故，即，所以. 【小问3详解】 ①当时，取，则，此时不存在，舍去； ②当时，在上单调递减，从而， 由于，故.解得（舍）或， 且，所以. 由于存在实数，使得不等式能成立，故. 从而得到， 由于，所以， 综上，实数的最大值为4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是：对函数单调性的理解，以及不等式恒能成立的用法，要充分利用数形结合对函数单调性进行充分剖析才可得到答案. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在直角梯形中，，，且，，.将直角梯形绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（ ） A. 年甲系列产品收入比年的多 B. 年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多 C. 年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的 D. 年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍 6. 如图，欲测量河对岸的塔高时，选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，在两观测点处测得塔顶的仰角分别为，并测得，m，则塔高为（ ） A. m B. 15m C. m D. 30m 7. 已知三棱锥的各条棱均相等，P，Q分别为棱，的中点，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8. “投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 11. 已知正实数满足，则下列不等式恒成立的为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数为纯虚数，则实数______. 13. 已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 已知正四棱台的高为，上、下底面边长分别为2和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且. （1）求向量与的夹角； （2）求的值. 16. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率. 17. 在锐角中，角的对边为，若． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； 18. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. （1）证明：平面PAE⊥平面PBF； （2）求二面角的正弦值； （3）若，求四棱锥的体积. 19. 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”. （1）判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值； （3）当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $