2.2 直线的方程同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§2.2 直线的方程 题型1：直线的方程及辨析 【例1.1.】 （多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．点在直线上 B．直线在轴上的截距为4 C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、直线截距式方程及辨析 【分析】本题涉及直线方程的多种性质，包括点与直线的位置关系、直线在坐标轴上的截距、直线的倾斜角以及直线的方向向量。通过将点的坐标代入直线方程判断点是否在直线上；令求直线在轴上的截距；根据直线斜率与倾斜角的关系求倾斜角；根据直线斜率与方向向量的关系判断方向向量. 【详解】对A，因为，所以点不在直线上，故A错误； 对B，令，得，则直线在轴上的截距为4， 也可化为截距式得到，故B正确； 对C，由直线得直线的斜率，所以直线的倾斜角为，故C正确； 对D，若直线的一个方向向量为，则斜率，不符合题意，故D错误． 故选：BC. 【例1.2.】 （多选）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线两点式方程及辨析、直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：AC 【例1.3.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、直线的点斜式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AD，利用点斜式直线方程求解判断B，利用直线与坐标轴的围成面积求解判断C. 【详解】当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在， 所以直线的斜率不存在，所以AD错误； 对于B，过点且斜率为的直线的方程为即，错误； 对于C，对于直线，令，则，令则， 则在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为，正确. 故选：ABD 【例1.4.】 设直线l的方程为（），若直线l的斜率为，则 ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则 . 【答案】 5 1 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的斜截式方程及辨析 【分析】将一般式化为斜截式以及截距式即可求解. 【详解】因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为， 由题意得，解得. 直线l的方程可以化为，由题意得，解得. 故答案为：5，1 【例1.5.】 设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、直线斜率的定义 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合倾斜角与斜率的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】直线的方程是倾斜角为， 当时，直线的斜率不存在，则； 当时，. 若，则，求得； 若，则，求得. 综上可得，的取值范围为. 故选：B. 【例1.6.】 已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【答案】(1) (2)，方程为 (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、直线的一般式方程及辨析、直线斜率的定义 【分析】（1）注意此时x、y的系数不同时为零才表示一条直线，从而解出m的范围； （2）x的系数不为零但y的系数为零时可以表示斜率不存在的直线，以此解出m的值； （3）在x轴上有截距代表x的系数不能为零，同时结合截距大小即可解出m的值； （4）根据斜率大小列出m的方程求解即可解出m的值． 【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令，因式分解得，解得或， 令，因式分解得，解得或， 所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为． （2）结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在， 由，解得或，由解得且， 所以，此时的系数， 方程为，整理得，即此时直线方程为． （3）结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距， 可以知道的系数，也即且， 依题意，直线在轴截距为，即时， 将其代入方程得， 解得或（舍弃），故m的值为． （4）倾斜角为，则x、y前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率， 也即，解得，所以实数的值为。 题型2：直线图像的辨析 【例2.1.】 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、斜率与倾斜角的变化关系、直线的一般式方程及辨析、直线的斜截式方程及辨析 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 【例2.2.】 若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】直线图象的辨析 【分析】由一次函数的性质判断 【详解】直线即，经过第一、二、四象限， 则，得， 故选：B 【例2.3.】 直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线图象的辨析 【分析】由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解. 【详解】根据题意可知，， 对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确； 对于，由可知，，此时：符合，故正确. 故选：D. 【例2.4.】 （多选）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】直线图象的辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由斜率为正及大小关系可确定；由直线在轴截距的正负可确定正负. 【详解】直线斜率存在，则直线方程可化为，； ，，又，，C正确，D错误； 又，，，A错误，B正确. 故选：BC. 题型3：直线过定点问题 【例3.1.】 已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题 【分析】提出参数，消去参数即可. 【详解】由，得，令,得到,, 则点的坐标为. 故答案为：. 【例3.2.】 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题 【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【详解】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 【例3.3.】 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【详解】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【例3.4.】 已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】直线过定点问题、基本不等式求和的最小值、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）将直线方程整理为关于参数的表达式，利用其对任意恒成立的条件，即可证明直线过定点； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）由可得，， 令所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，直线与轴、轴正半轴的交点分别为， 令，得；令，得． 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 【例4.1.】 下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断是否成立，注意分析重合情况. 【详解】， 对于A：，可知两直线重合，不符合； 对于B：，所以不平行，不符合； 对于C：，所以不平行，不符合； 对于D：，，且，所以两直线平行，符合； 故选：D. 【例4.2.】 两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据直线方程及直线平行的判定判断两直线的位置关系. 【详解】当时，直线与重合； 当时，直线与平行； 所以，题设两直线重合或平行. 故选：D 【例4.3.】 “”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、由一般式方程判断直线的垂直 【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 【例4.4.】 （多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线：平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线：垂直 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、由一般式方程判断直线的平行、由一般式方程判断直线的垂直、求直线的方向向量（平面中） 【分析】求出直线的横截距及方向向量判断AC；由方程判断两直线的位置关系判断BD. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，直线与直线的斜率均为，它们的横截距分别为，则，B正确； 对于C，直线的一个方向向量为，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：BD 题型5：由直线的位置关系求参数 【例5.1.】 已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)；(2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 【例5.2.】 已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 【例5.3.】 若直线与直线平行，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果. 【详解】由直线与直线平行，可得:，解得． 故选:B. 【例5.4.】 （多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、直线过定点问题、求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 题型6：求直线方程 【例6.1.】 求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 【例6.2.】 平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、已知直线垂直求参数 【分析】（1）设，利用平行四边形的性质和点斜式求出即可； （2）利用相互垂直的直线斜率之间的关系，点斜式求解即可； 【详解】（1）设， 因为，所以， 即， 所以， 所以直线的方程为，即. （2）因为， 所以中边上的高所在直线的方程为，即. 【例6.3.】 已知直线l过点． (1)从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． (2)若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)所选条件见解析，； (2). 【难度】0.65 【知识点】斜率公式的应用、斜率与倾斜角的变化关系、根据直线的方向向量求直线方程、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据所选条件，由倾斜角与斜率的关系或方向向量求，再应用点斜式写出直线方程； （2）根据的几何意义，数形结合法求其范围即可. 【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即． 选②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率． 又是直线l在部分上的动点，作图如下： 则，直线AB的斜率不存在， 则，即的取值范围为. 【例6.4.】 设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)存在，． 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）确定，再分别求出直线在轴上的截距，列出方程求解即得. （2）化直线方程为点斜式，由直线不过第二象限，列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）当时，直线平行于轴，在轴上无截距，不合题意， 则，直线在轴上的截距分别为， 依题意，，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 所以直线的方程为或． （2）假设存在实数，使直线不经过第二象限， 而直线的方程化为， 则有，解得， 所以存在实数使直线不经过第二象限，的取值范围为． 【例6.5.】 设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析 【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程. 【详解】由直线PA的方程为， 当时，；当时，，所以， ∵， ∴点在线段的垂直平分线，即直线上， ∴， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为，即． 故选：A. 【例6.6.】 若直线过点，且平行于过点和的直线，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知两点求斜率、直线的点斜式方程及辨析、由斜率判断两条直线平行 【分析】先利用斜率公式求出直线的斜率，由直线与直线平行，得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程． 【详解】由于直线，则直线的斜率等于直线的斜率， 又由于直线过点，所以直线的方程为，即． 故答案为． 【例6.7.】 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.2 直线的方程 题型1：直线的方程及辨析 【例1.1.】 （多选）已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．点在直线上 B．直线在轴上的截距为4 C．直线的倾斜角为 D．直线的一个方向向量为 【例1.2.】 （多选）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【例1.3.】 （多选）下列说法错误的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 D．直线x=1的斜率为0 【例1.4.】 设直线l的方程为（），若直线l的斜率为，则 ；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则 . 【例1.5.】 设直线的方程是倾斜角为.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 题型2：直线图像的辨析 【例2.1.】 已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 若直线经过第一、二、四象限，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2.3.】 直线和直线在同一坐标系中可能是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 （多选）直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3：直线过定点问题 【例3.1.】 已知直线经过定点，则点的坐标为 . 【例3.2.】 已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【例3.4.】 已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点的直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长． 题型4：由直线的一般式方程判断直线的位置关系 【例4.1.】 下列选项中，与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 两直线与的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【例4.3.】 “”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4.4.】 （多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线：平行 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线：垂直 题型5：由直线的位置关系求参数 【例5.1.】 已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)；(2)． 【例5.2.】 已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【例5.3.】 若直线与直线平行，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 【例5.4.】 （多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型6：求直线方程 【例6.1.】 求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【例6.2.】 平行四边形中，已知，，. (1)求直线的方程； (2)求中边上的高所在直线的方程. 【例6.3.】 已知直线l过点． (1)从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． (2)若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【例6.4.】 设直线l的方程为． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【例6.5.】 设A，是轴上的两点，点的横坐标为2，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ）． A． B． C． D． 【例6.6.】 若直线过点，且平行于过点和的直线，则直线的方程为 . 【例6.7.】 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$